П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Так как АГхь (ххе~.р(хЕ, Е)<а) =(х:р(хх Е, Е)<а(, ь ег. вяйлввскля топология 2бв то, каково бы ни было х из М, р(ххоЕ> Е) <р(ххоЕ, хоЕ)+р(хоЕ, Е)< <е — р(хоЕ, Е)+р(хоЕ, Е) =ю Таким образом, х~ Мх-', следовательно, Мхо ~ гч'.'ч Теорема 6. Если Х вЂ” измеримая группа со свойством отделимости, то Х локально ограничена относительно своей вейлевской топологии. Если измеримое множество Е содержит непустое открытое множество, то р (Е) )0; если измеримое множествоЕ ограничено, то )ь(Е) < оо. Доказательство. Пусть Ио — произвольное множество конечной меры из Х (см. теорему 3), а Мо — множество из Х, такое, что МоМ, ' ~ Мт Покажем, что множество Ма ограничено. Допустим противное: тогда существует множество И нз Х и последовательность (х„) элементов нз Мо, такие, что е х +1с Ц х,й(, п=1, 2,... 4=1 Согласно теореме 1, существует множество Е конечной положительной меры, обладающее следующими свойствами: Е ~ М-' и ЕЕ-' с= Л.
Последовательность (х„ ) такова, что множества х, Е, хгЕ,... ие пеРесекаютсЯ, а так как х„Е ~ МаМ;,' г. Д7о, то (ь(Мс) = оо. ПолУ- ченное противоречие доказывает первое утверждение теоремы. То, что измеримое множество с непустым открытым ядром имеет положительную меру, вытекает нз теоремы 3. Последнее утверждение доказываемой теоремы следует из теоремы 3 и из того факта, что ограниченное множество может быть покрыто конечным числом множеств вида хЖ, где Ф принадлежит классу Х. Ф Результат, содержащийся в теореме 6, в известном смысле нельзя улучшить.
Однако ему можно придать более полезную форму, если воспользоваться тем, что всякая локально ограниченная группа может быть представлена как всюду плотная подгруппа некоторой локально компактной группы. Соответствующая формулировка содержится в теореме 8. Предварительно, однако, мы установим некоторый вспомогательный результат, касающийся произвольных (т. е. необязательно инвариантных слева или справа) бэровских мер в локально компактных группах. Теор е ма 7. Пусть )ь — произвольная бэровская мера в локально компактной группе Х. Если à — множество всех тех элементов у, для которых )ь(уЕ) =)ь(Е) при любом бэровском множестве Е, то г' представляет собой замкнутую подгруппу группы Х До к аз а тел ь ство.
То, что у является подгруппой, тривиально. Для того чтобы доказать, что У замкнуто, рассмотрим произвольный ГЛАВА Хп. МЕРА И ТОПОЛОГИЯ В ГРУППАХ фиксированный элемент уо из 1' и произвольное компактное бэровское множество С. Если У вЂ” какое-нибудь открытое бэровское множество, содержащее уоС, то существует окрестность У единичного элемента е, такая, что УуоС с= У.
Так как Ууь представляет собой окрестность элемента уо, то г' содержит элемент у, такой, что у~ Уу . Так как уС ~ УуоС с У, то откуда, в силу регулярности меры и, получаем Р(С)(Р(уеС). Применив это рассуждение к элементу уь и множеству уьС(вместо у, и С), мы получим обратное неравенство.
Итак, й(С)=и(у С), каково бы ни было С. Отсюда следует, что р(Е) =1с(уьЕ) для любого бэровского множества Е, т. е. элемент Уь пРинадлежит множествУ У'. Ф Массивной подгруппой мы будем нззывать подгруппу, одновременно являющуюся массивным подмножеством группы (см. й 17). Т еорема 8. Если (Х, 8, р) — измеримая группа, обладающая свойством отделимости, то существует локально компактная топологическая группа Х с мерой Хаара У., определенной в классе 8 всех бвровских множеств, такая, что Х представляет собой массивную подгруппу группы Х, 8 "ь 8 П Х и р(Е)=1ь(Е), коль скоро Е~ 8 и Е=ЕПХ. Д о к а в а т е л ь с т в о.
Пусть Х вЂ” пополнение группы Х относительно ее вейлевской топологии. Тогда Х будет представлять собой локально компактную группу, содержащую Х в качестве плотной подгруппы. Рассмотрим класс всех тех множеств Е в Х, для которых Е П Х~ 8. Ясно, что этот класс является о-кольцом; чтобы показать, что это е-кольцо содержит все бэровские множества, мы установим, что оно содержит некоторый базис группы Х. Пусть х †произвольн элемент группы Х, а У в произвольная окрестность единичного элемента й в Х. Возьмем окрестность У А элемента й, такую, что У ' Уг= У. Так как УПХ представляет собой открытое множество в Х, то УДХ содержит некоторое измеримое открытое (в Х) множество У.
Так как (согласно определению группы Х) топология в Х является относительной топологией Х как подпространства пространства Х, то в Х существует такое открытое множество Ф, что Ю'= 1УПХ. Множество Ф можно всегда заменить множеством 1УП У, поэтому, не нарушая общности, мы можем сразу предположить, что В' <= У.
В силу того, что Х плотно в Х, в Х существует такая точка х, что х~ х Ф ', отсюда х ~ хй' с х Ф-1 Ф с х У-~ У <= х О, 5 ах. ВпйЛВВСКАЯ ТОПОЛОГИЯ убу Определим теперь на множествах Е нз 8 меру р, положив р (Е) = р(Е П Х). Легко видеть, что р оказывается бэровской мерой в Х. Так как р(хЕ) =)ь(Е), когда х~ Х и Е~ 8, то, в силу теоремы 1, мера р инвариантна слева. Согласно теореме единственности, р совпадает на 8 с мерой Хаара в группе Х. Отсюда следует, что если ЕЕ 8 и Е ОХ=О, то р(Е)=р(ЕПХ)=0, т.
е. множество Х массивно в Х. 1. Пусть Х вЂ” локально компактная топологическая группа, 8 — класс всех ее баронских множеств, и — заданная на 8 мера Хаара. Пусть, далее, Х Х )( Х и 8 — класс всех множеств вида Е Х Х, где Е с $. Если р (Е Х Х) = р(Е), то (Х, $, р) оказывается измеримой группой, не обладающей свойством отделимости. Какой степенью общности обладает этот прием построения измеримых групп без свойства отделимости2 й. Если Х вЂ” измеримая группа со свойством отделимости, то множество Е в Х ограничено (в смысле вейлевской топологии в Х) тогда и только тогда, когда существует измеримое множество А конечной положительной меры, такое, что ЕА содержится в измеримом множестве конечной меры. 3.
Справедлива ли теорема 7 для борелевских мер2 4. Всегда ли инвариантна подгруппа У, описанная в теореме 72 5. В предположениях теоремы 7, положим У(х) = р(хЕ) для любого х из Х и для произвольного бэровского множества Е Непрерывна ли функция у2 6. Приведем нетривиальный пример массивной подгруппы. Пусть Х вЂ” числовая прямая, рассмотрим локально компактную топологическую группу Ху(Х. Множество В в Х назовем линейно независимым, если из соотношения вида Я ггхт=О, хгбВ, 1=1,..., я, с рациональными го следует, что а=1 гз — — ... — — г„=О: а) Волн Š— борелевское множество в Х 2( Х положительной меры и  — линейно независимое множество в Х мощности, меньшей мощности континуума, то существует такая. принадлежащая Е, точка (х, у), что множество В() (х) линейно независимо.
(Указание. Можно указать такоеу, при котором мера сечения Е" положительна, следовательно, ЕЯ имеет мощность континуума.] б) в Х2(Х существует такое множество С, что (1) С Д Еф О, каково бы ни было борелевское множество Е в Ху(Х положительной меры, (П) множество значений первой координаты точек из С линейно независимо, (1П) с любой вертикальной прямой С имеет не более одной точки пересечения. [У к а за н не. С можно построить с помощью трансфинитной индукции, вполне упорядочив класс всех борелевских множеств положительной меры в Ху(Х и воспользовавшись только что полученным результатом, а'.) в) Базисом Гамаля называется линейно независимое множество В в Х, обладающее следующим свойством: для всякого х из Х в В существует такое конечное подмножество (хп..,, х„), что х = ~ ггхо где (гп..., г„)— т=1 некоторое множество рациональных чисел.
Представление х в виде линейной комбинации элементов из В с рациональными коэффициентами единственно, Всякое линейно независимое множество содержится в некотором ГЛАВА ХП. МЕРА И ТОПОЛОГИЯ В ГРУППАХ базисе Гамелз. (У к з з а н и е. Воспользоваться трансфииитной илдукцией или леммой Церна гь) г) В силу .б' и .в', в Х р, Х существует множество С, обладающее свойствами (1), (П) и (П!), указанными з .б", и такое, что множество В значений первой координаты точек из С образует базис Гзмеле. Пусть х ~ Гчх1, где Г1 рациональны, и (хг,у1)ВС, 1=1, ..., п; положим 1=1 у(х) = ~ Г1у,.
Тогла множество Х= т(х,у):у =у(х)) (т. е. график функ1=1 ции у) представляет собой массивную подгруппу группы х)сх. $63. ФАКТОР-ГРУППЫ Всюду в этан параграфе предполагается, что Х вЂ” локально компактная топологическая группа; Р— мера Хаара в Х; г — некоторый компактный нормальный делитель группы Х; ч — мера Хаара в 1; такая, что ч(У)= 1; я — проекция группы Х на фактор-группу Х=Х)У. большинство результатов этого параграфа справедливо в предположении, что у — замкнутый (не обязательно компактный) нормальный делитель.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
