П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Из предположений, относящихся к у, следует, что при любом действительном числе с множество дг(у) П (х:у'(х) ( с) представляет собой о-ограниченное множество и в то же время множество р;. 21б ГЛАВА Х. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Т е о р е м а 3. Если В есть подбавив, а $ — какое-нибудь о-кольцо, содержа1цее В, то $~$э.
Доказательство. Если С вЂ” компактное множество, а У— открытое множество, содержащее С, то существует множество Е, такое, что СС=.Е~0 и Е представляет собой конечное соединеи41е конечных пересечений некоторых множеств из В, откуда следует, что Е принадлежит классу $. Следовательно, если С= ДУ„, где 0„— и=1 открытые множества, то для всякого п=1, 2, ... существует Е„ ОЭ из $, такое, что СГ=.Е„сИ„; итак, С= ПЕ„~$. Мы доказали, п=г таким образом, что Сэ~$, и утверждение теоремы вытекает из определения $ . Класс бэровских множеств был определен как е-кольцо, порожденное компактными 01.
Можно поставить вопрос, нет ли среди баронских множеств компактных множеств, не являющихся 01. Следующая теорема показывает, что таких множеств в классе $а нет. Теорема 4. Всякое компактное бзровское множество есть 01. Доказательство. Пусть С вЂ” компактное множество, принадлежащее классу $о. Согласно теореме 4 йб, существует последовательность множеств (С„) из С, такая, что С~$((С„~). В силу теоремы.
3 й50, прн любом и =1, 2, ... существует функция Т„из 3г, для которой С„= (х;~„(х) = 0). Если для любой пары точек х и Р из Х мы положим СО д(х, у) = ~ — „(~„(х) — У„(у) ), в 1 то д(х, х) = О, д(х, у) =И(У, х) и 0 (б(х, У) (б(х, е)+ д(х,у). Таким образом, если под х у условиться понимать, что д(х, у)=0„ то отношение = оказывается отношением эквивалентности (т. е. оно рефлективно, симметрично и транзитивно); класс всех множеств, попарно эквивалентных, в указанном смысле, точек пространства Х обозначим В. При любом х из Х пусть 1= Т(х) обозначает (единственный) элемент из В, содержащий х.
Если Т(х,) = Т(у,) н Т(х~ = Т(у,) (т. е. если х1=— У1 и ха — Уа) то а(х11 ха) 4. б(хн Уг) +а (ун Уа)+а (Уа~ ха) — и(У11 Уа). Точно так же можно доказать, что д(У„Уа)(а(х„ха), следовательно, д(х„ха) =И(у„уа). Таким образом, если 61 = Т(х1) И са — Т(хв) — два элемента из В, то Равенство 3(61, са)=а(х„ха) однозначно определяет число 3(Е„$ ). Так как из 6(61,'Ев)=0 'следует, что 11=бы 'то функция 3 определяет в В некоторую метрику; % Ы.
БОРБЛБВСКИБ И БЭРОБСКИБ МНОЖЕСТВА 277 Пусть 1о= Т(хо) — произвольная точка метрического пространства В, „— любое положительное число; тогда если Е = (1: 3(Ео, 1) ( го), то Т-г(Е)=(х: И(хо, х)(г ). Так как а(хо, х) зависит от х непрерывно, то Т представляет собой непрерывное отображение Х на В. Множество А в Х служит прообразом (при отображении Т) некоторого множества в В тогда и только тогда, когда, коль скоро А содержит какую-нибудь точку х, оно содержит одновременно все точки, эквивалентные х (иначе говоря, когда А является соединением некоторого класса множеств эквивалентных друг другу точек). Каждое С„ обладает этим свойством; класс прообразов всевозможных множеств из Н образует о-кольцо и, наконец, С~В((Ся)), поэтому в Я существует такое множество Г, что Т-' (1') = С. Из того, что Т(Т-'(1')) =ь', Т непрерывно, а С компактно, вытекает, что множество Г компактно.
Так как всякое замкнутое (а следовательно, и всякое компактное) множество в метрическом пространстве есть Ою то в В существует такая последовательность открытых множеств (Ь„(, что СО Положим У„= Т-'(ая), и= 1, 2, ...; тогда, в силу непрерывности СО отображения Т, все ӄ— открытые множества. При этом С= П У„, в=т так что СЕ Со. Теорем а б. Если Х и 1г — локально компактные хаусдорфоеы пространства и если Ао, Во и Во — о-кольца бэроеских множеств соответственно е Х, У и ХХг', то Во=АоХ Во.
Доказательство. Если А и  — компактные бэровские множества соответственно в Х и У, то АХ — компактное О, и, следовательно, компактное бэровское множество в ХХ У. Так как АоХВо представляет собой о-кольцо, порожденное классом множеств вида АХ В, то АоХ Вот=Ко. Пусть теперь У и 1г — открытые бэровские множества соответственно в Х и У, тогда У Х 1гЕ Ао Х Во, а так как класс множеств вида УХ Р является базисом в пространстве ХХ У, то, согласно теореме 3, АоХ Во~Во.
В заключение этого параграфа мы сформулируем одну теорему, касающуюся строения классов бэровских и борелевских множеств (см. упр. 2 и 3 $5); доказательство ее очень простое. Теорема 6. Всевозможные конечные соединения непересекаюгцихся собственных разностей множеств из С (или из Со) образуют кольцо; порожденное им о-кольцо совпадает с 8 (соответственно с 8о). 1. Если в качестве локально компактного пространства взять числовую прямую, то определение бореяевского множества в таком пространстве согласуется с определением, данным в ф 15.
ГЛАВА Х, ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 2. Все пространство Х представляет собой борзлевское множество тогда и только тогда, когда оно а-компактно. 3. а-кольцо, порожденное классом всех ограниченных открытых множеств, илн, что то же самое, а-кольцо, порожденное классом (), совпадает с 8. [Указание. Для любого компактного множества С следует взять открытое множество У, содержащее С, и рассмотреть У вЂ” (У вЂ” С),[ 4.
Если Х вЂ” произведение пространств, описанное в упр. 4 550, то [[вронские множества а Х совпадают с измеримыми множествами (см. определение в 5 38). 5. а-кольцо, порожденное классом всех ограниченных открытых бэровских множеств, нли, что то же самое, а-кольцо, порожденное классом Нм совпадает с Зэ. [Указание. Если С вЂ” компактное множество, У вЂ” открытое множество и С т:. У, то существует тзкое ограниченное открытое бэровское множество Уэ, что Сс: Уэс: У.[ 6. Термин .баронское множество' подсказан термином,бэровсиая функция".
Пусть Д)т — наименьший класс функций, охватывающий все непрерывные функции н содержащий предел любой сходящейся (не обяззтельно равномерно) последовательности функций, принадлежащих 4У; функции, входящие в Д[т, называются бэровакими функциями на Х. Для того чтобы множество в Х было бэровскнм множеством, необходимо и достаточно, чтобы оно было борелевскнм, а его характеристическая функция была баронской функцией. 7.
Всякая булевская а-алгебра изоморфна классу бэровскнх множеств, приведенному по модулю бэровскнх множеств первой категории, в некотором вполне несвязном компактном хаусдорфовом пространстве. [У к а з ан н е. См. упр. 15,,в', 5 40; заметим, что а-кольцо, порожденное классом всех одновременно открытых и замкнутых множеств во вполне несвязном компактном хаусдорфовом пространстве, совпадает с классом всех баронских множеств.1 $52. РЕГУЛЯРНЫЕ МЕРЫ Борвлевсной мерой назовем меру р, заданную на классе $ всех борелевских множеств и обладающую тем свойством, что р(С) ( Оо для любого С из С; баронской мерой условимся называть меру Р, заданную на классе $о всех баронских множеств и Обладающую тем свойством, что Ро(Сэ) ( Оо ДлЯ любого Со из Со. Теория борелевских мер и теория баронских мер в некоторых отношениях весьма похожи друг на друга; целесообразно поэтому ряд теорем изложить так, чтобы одновременно охватить и борелевские и бэровскне меры.
Для этого условимся под С, () и $ понимать соответственно либо С, () и Б, либо Со, ь)э и Бо. При этом р будет обозначать борелевскую меру Р тогда, когда $ есть 8, и бэровскую меру тогда, когда Б есть Во. Множество Е из $ назовем внвшнв рвгулярным (по отношению к мере р), если Р(Е) = [В[ [р(У): Е~ИЕ ()); множество Е из 8 назовем внутренне рвгулярным (по отношению к Р), если Р(Е) = зпр (Р(С): Е~СЕ С). % ьг.
РЙГуляРные меРы 2гз Назовем множество Е из $ регулярным, если оно и внешне и внутренне регулярно. Мера р регулярна, если по отношению к ней регулярны все множества Е из $. Грубо говоря, мера р регулярна, если она полностью определяется своими значениями на компактных и на открытых множествах, т. е. на множествах, наиболее важных с точки зрения топологии.
Свойство регулярности меры, таким образом, означает наличие некоторой связи между топологическими свойствами пространства и его строением как пространства с мерой. С точки зрения теории меры нерегулярные множества обладают чрезвычайно уродливыми свойствами. Нетрудно убедиться в том, что множество внешне регулярно, в частности, тогда, когда Е~ 8 и м(Е) = со или когда Е принадлежит О или может быть представлено как пересечение последовательности множеств конечной меры из О. Верно также двойственное предложение: если Е~ 8 и р(Е) = 0 или если Е принадлежит С или может быть представлено как соединение последовательности множеств из С, то Е внутренне регулярно. Теперь мы перейдем к доказательству того, что регулярность некоторых множеств влечет за собой регулярность значительного числа лругих.
Расчленение доказательства на отдельные этапы оправдывается теоремой 6 ф 51: от компактных множеств мы переходим к их разностям, а от разностей в к соединениям разностей. После того как будет показано, что класс регулярных множеств обладает известными свойствами замкнутости, позволяющими применить теорему о монотонных классах, порожденных кольцами (теорему л $6), мы установим регулярность некоторых мер.
Теорема 1. Если все множества, принадлежащие С, внешне регулярны, то любая собственная разность двух множеств из С также внешне регулярна. Если все ограниченные множества, принадлежащие О, внутренне регулярны, то любая собственная разность двух множеств из О также внутренне регулярна. Лака зательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
