П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Подобный же результат справедлив для произвольных (конечных, счетных и несчетных) множеств функций. Теорема 2. Пусть (~»г. 'г= 1,..., й; г'=1, ..., и,) — множество независимых функций. Если р» — дейспгвительная измеримая в смысле Бореля функция от и» действительных переменных, 1=1,..., Й, и если » (х) 9» (»1 (х) 1» (х)) то функции 1„..., Ть независимы, !вр е ее.
независимость Доказательство. Эта теорема легко следует из установленной выше связи между произведениями пространств и понятием независимости. Пусть Уг~ — числовая прямая, 1= 1, ..., й, г'= 1, ..., по и У=Х Ггн Положим Т(х) =ф„(х), ..., У;„,(х), ..., Даг1х), ..., Уы,„(х)), а'о(Уы ° ° ° У1ж ° ° ° Ую ° ° ° ~ Уаа„) =Уц и А=тг(агн ° ° .1 йгаг)у тогда Уг — — нгТ, г'=1, ..., й. Независимость функций сг очевидна, следовательно, функции ~, также независимы. Ф В заключение этого параграфа введем один термин, часто употребляющийся в теории вероятностей.
Пусть ~ — действительная измеримая функция на (Х, 8, р), такая, что Уа интегрируема. Тогда, в силу неравенства Буняковского (т. е. неравенства Гйльдера при р = 2, см. теорему 1 й 42), сама ~ также интегрируема и (1 и)'<~ у'й' Если положить а= ) байр, то /(у — а)вйр называется дисперсией функции ~ и обозначается аа(г). Так как интеграл функции, тождественно равной постоянной, по пространству вероятностей равен самой этой постоянной, то, согласно определению а, УЧ) =1Рйр — (~ Ир) Ясно, что, какова бы ни была действительная постоянная с, ая(су) = сааа(у).
Теорема 3. Если У и я' — незиеисимые амуниции с конечными аа(г + д) = аа 1у)+ ав(д). Доказательство. Имеем равенства аа(1+6 = ~(~+и)ай — (~ у+ай) = = ~Рйр+2~~ай + ~Квй — (~ Уйр)— — 2®")У ")-У ')' требуемый результат следует из теоремы 1. ж глава 1)с. внройтность 1. Пусть Р— измеримое множество положительной меры в пространстве вероятностей (Х, 8, р).
Если, каково бы ни было измеримое мнозкество Е, (Е) = —, то рк представляет собой вероятностную меру нз Я, р(РПЕ) р (Р) причем рр(Р) = 1; множества Е и Р независимы тогда и только тогда, когда ру(Е)=р(Е). Число рр(Е) называется условной вероятностью Е нри условии Р. 2. Если (Ег:1 =1,..., и) — конечный класс измеримых множеств положительной меры, то р(Етй ... ДЕВ) =р(ЕЛ) рн (Ез) ... рн П ...
Пи (Е„). Этот результат называется теоремой умножения для условных вероятностей. 3. Если (Ег.'1=1,..., н) — конечный класс непересекающихся измеримых множеств положительной меры, соединение которых равно Х (т. е. (Ег) представляет собой рззбиение Х), то, каково бы ни было измеримое множество Р, р (Р) = ~~~~ р(Е ) рн (Р); если Р имеет положительную меру, то а=а р(Еу) ря (Р) ру(Еу) = „ ~ р(Еч) рн (Р) с=1 Это — так называемая теорема Байеса.
4. Разбиения (Ез..)=1,..., и) и (Рз./= 1, ..., т) пространства Х называются независимымн, если р(ЕгПРу) = р(Ег)р(Р.) для 1= 1,..., и и / = 1, ..., т. Два множества Е и Р независимы тогда и только тогда, когда независимы разбиения (Е, Е') и (Р, Р'). 5. Пусть Х = (х: О (х ~1) — единичный интервал с лебеговской мерой, Лля любого целого положительного и зададим на Х функцию ун, положив ун(х) =+ 1 или — 1, в зависимости от того, нечетно илн четно целое поло! — 1 1 жительное число й при котором н (х( — „.
Функции Д„называются функциями Радемахера. Любые две из трех функций уг и ут и Уьу независимы, тогда как все три не независимы. 6. Пустьу и я — независимые интегрируемые функции,М вЂ” борелевское н р е у. е у- <м~, ~нь- (н„. (еь. и [У к а з а н и е. Так как ун (х) = ум (у (х)), то, в силу теоремы 2, функции раж(у) и л независимы.) 7. Если у и а — измеримые функции с конечными дисперсиями, причем ч(Де(а) ф О, то )уйд — )уд ) йд а(у) а(я) называется коэффициентом корреляции между у и я; число е (г) = )уча (у) называется средним квадратичным отклонением функции у. Говорят, что функции У и я некоррелированы, если г(у, а) =О. Равенство ат(У+й) = =ат(у)+ат(я) имеет место тогда и только тогда, когда у" и л некоррелированы.
(р! % за. Ряды незАВисимых Функций 8. Всегда ли независимы две некоррелированные функции у и б) (У к аз а н и е. Взять в качестве Х единичный интервал и положить у'(х) = з!п 2ях, е (х) = соз 2их.) 9. Если у и е — независимые интегрируемые функции, такие, что функция (у+к)з интегрируема, то уз и ба также интегрируемы.
$46. РЯДЫ НЕЗАВИСИМЫХ ФУНКЦИЙ Всюду в этом параграфе рассматривается некоторое фиксированное пространство вероятностей (Х, $, Р). Прежде всего мы установим так называемое неравенство Колмогорова. Теорема 1. Если уг, 1=1, ..., и,— независимые функции, такие, что ~ узбек.=О и ~ )'збр(со, 1=1, ..., и и если и г (х) = ч а ~ с.'гД(х) ~ (и. е. у есть наибольшая из абсолютных а=1 1=1 величин сумм ~,~о А=1, ..., и), то, каково бы ни было полог=1 жительное число е, р((х: ~)'(х) ~)~е))~( —., ~) ез(уь). Доказательство.
Положим Е=(х:!У(х)/.-ье)э зь= ХУ1 Е„= (х: ~ з„(х) ~)~ е) П П (х: ! з, (х) / < е). 1 ч. С < Ь Тогда ~ з,',би= ~ з,',бр.+р,(ЕА),~~ ~ Дс(Р)~ )~ ~ зз бр)~ и(ЕА) ез. ка Так как Е= О Еа н множества Е„не пересекаются, то Ь=1 и Е аЧА) = 1 а+ ... +Ми б(ь Ъ 1 зз б = в и ~ зз бр~~ ~~~~ Р(Еа) ее=а(Е) ее. А=1 а=1 ГЛАВА ГХ. ВЕРОЯТНОСТЬ Т е о р е м а 2. Если (Я вЂ” последовательность независимых функций, таких, что ) ~„с(р = 0 и ~~~~ ~аз(~'„) ( ОО, то ряд в=1 ~~„(х) сходится почти всюду.
в=1 Доказательство. Положим вв(х) = „).',~1(х), п= 1, 2, ..., а (х) = знр ( ! в„,+„(х) — вы (х) ( 1 й = 1, 2, ... ), а (х) = Ы (а (х): и = 1, 2, ... ). Тогда для сходнмости ряда ~~.',~„(х) необходимо н достаточно, чтобы в=1 а(х)=О. В силу неравенства Колмогорова, для любого положительного е н для любых двух целых положительных чисел т и п р((х: Ц ~з,„+ь(х) — зы(х)~>е)) < —, ~ ав(уь), +1 откуда СО р((х: а (х))~е)) ( —, ~~) аа(~ь). Ь 1в+1 Следовательно, р((х: а(х) > е)) ~( — ~ ав®,).
Ь 1В+1 Так как ряд ~ аз(~в) сходится, то 11((х: а(х))~е)) =О. Но е было в=1 выбрано произвольно, поэтому теорема доказана. чь Следующая теорема содержит результат, в известном смысле обратный предыдущему. Т е о р е м а 3. Если (Я вЂ” последовательность независимых функций, таких, что ~~„др= 0 и ~У'„(х)! (с, где с — некоторая положительная постоянная, и если ряд ~~.'~~„(х) сходится на множестве положительной меры, то а гв.
виды независимых екнкцнй Доказательство. Обозначим го(л)=О и ач(л)=ХА(л) г=1 ' и = 1, 2, ... Тогда, в силу теоремы Егорова (см. упр. 2 в 21), существует положительное число а', такое, что множество Е = 1 1 (х: ( гч (х) ! .ь'. сК) имеет положительную меру. Если мы положим Е„=11(х:(г~(х)~(а'), в=О, 1, 2, ..., 4=1 то 1Е„) будет убывающей последовательностью множеств, пересечение которых равно Е. Положим Р„=Е„,— Е,„п 1, 2, ..., и а„= ~ г'„ф., и =О, 1, 2, ...; тогда ч — а'ар — ~ а'гр — ) а',ар= еь 1 гв ж„г у а гор+ 2 ~ ~„а,„, ф. — ~ га ф, и = 1, 2, лв-а Так как ~ У„'Ф=р(Е )оа(Л,) ~ Л,а 4"=О Е р. (Е„,) )~ р (Е„) )а„(л) ( (с+Н для л, принадлежащих Р„, л=1, 2,..., то а„— а„, )~ р (Е) аа (~ ) — (с+й)а р (Р„), и = 1, 2, Суммируя эти неравенства по л от 1 до и, получим ла)~р (Еа) ~Р)~ аа)~ р(Е) .~, оа(У„) — (с+И)а.
эь Из теорем 2 и 3 вытекает, что если (Я вЂ” равномерно ограниченная последовательность независимых функций, таких, что ) ~„Ыр = О, и = 1, 2, ..., то ряд ~~~ У„(х) либо почти всюду сходится, либо ГЛАВА !Х. ВЕРОЯТНОСТЬ почти всюду расходится; таким образом, мера множества, на котором этот ряд сходится, равна либо О, либо 1.
Т е о р е м а 4. Если (Я вЂ” последовательность независимых функций, таких, что почти всюду (У„(х)( <с, п=1, 2, ..., где с— некоторая постоянная, то ряд ~ У„(х) сходится почти всюду тогда и только тогда, когда сходятся ряды ~ ~Т'„Ы1а и ~ ов(~'„).
в=1 в=1 Доказательство. Достаточность высказанного условия получим, применив теорему 2 к последовательности функций (д„), определенных равенствами а„(х) =Тв(х) — ) ~ваа1а, и = 1,2, ... Длядокавательства необходимости условия рассмотрим декартово произведение пространства Х самого на себя и функции Ьв на этом произведении, определенные равенствами Ь„(х, у) =г"„(х) — Тв(у), п = 1, 2, ...
Одновременно с рядом ~ ув (х) сходится почти всюду и ряд ~ Ьв (х, у), а!=! в=! и так как ) Ь й(РХр)=О ОЭ то, согласно теоРеме 3, ~ о'(Ьв) <со. Ноев(Ьв) 2ев(Т'„), поэтомУ в=1 ~, ов(гв)(со. Так как вв(дв)=ов(У„), то, в силУ теоРемы 2, РЯд в=1 ав ~, Ь"„(х) сходится почти всюду, и из соотношений в=1 ),рве(р=,Ув(х) — я„(х), п=1, 2, ..., следует сходимость ряда ~ ) ~'„ф,. эь в=а Полученные здесь результаты представляют собой частные случаи следующей весьма общей теоремы, принадлежащей Колмогорову и носящей название теоремы о трех рядах.
Т е о р е м а 5. Пусть (1 в) — последовательность независимых функций, 'с — положительная постоянная и Ев=(х:(~„(х)! (с). ОЭ Тогда для того, чтобы ряд,Е~У„(х) сходился почти всюду, яеобв=! ходимо и достаточно, чтобы сходились следующие три ряда: Ш а) .'~',;и (Е„'), 4 ай ВЯДЫ НнйаВНСНМЫХ ЕКНКций б) в) Доказательство. Положим (~() и() г~х(и«, н„(х)=~ и йв(х)=[ когда Ь [ — с, ~ (у „(х) ( ) с.
Ясно, что ряды .)~~ ( ~ У„ф + с(ь(Е„)), я ~~.', ( ~~„гУ(ь — (~ ~„г((ь)а+сер(Е„) р(Е„):,2ср(Е„) ~~„г(р ) лч л лч г) д) Непосредственно видно, что условие сходимостн рядов „а", „б' н „в' эквивалентно сходимости всех четырех рядов „г" и „д" (при обеих комбинациях знаков -+- и ~). Остается только заметить, что так как члены сходящегося ряда ограничены, то ряд, полученный почленным перемножением двух сходящихся рядов, в одном из которых все члены неотрицательны, сходится.
эь 1. Следующий результат, который неявно фигурировал в рассуждениях, касавшихся соотношений между сходимостью в среднем и сходимостью по мере, известен под названием неравенства Чебышева. Если у' — измеримая функция с конечной дисперсиеи, то, каково бы ни было положительное число с, р ( (л; ~ у (х) — ~ у'Ыл ~ ~ а ) ) ~ — аз (у). Неравенство Колмогорова приводится к неравенству Чебышева при и 1. Так как в обозначениях теоремы 1 п (х:(г(х)~~е)= ц (л:/ Ь~', гг(х)(~з), ь-1 г х сходятся в одних и тех же точках. Из теоремы 4 (примененной отдельно к (Еь) и (Ь„)) следУет, что ~ У„(х) сходитса почти всюдУ и=1 тогда н только тогда, когда сходятся ряды ГЛАВА 1Х. ВЕРОЯТНОСТЬ то, применив неравенство Чебышева отдельно к каждой из сумм вида к ~~~'уг (х), мы получим 1=1 р((х:/У(х) /) е)) к„'з ~ (и — я+1) ез(ун), ! Л=1 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
