П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 37
Текст из файла (страница 37)
ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ ТОЧКИ В этом параграфе мы изучим связь между некоторыми функциями действительного переменного и конечными мерами на действительной прямой. Всюду в этом параграфе Х будет обозначать числовую прямую, 8 — класс всех борелевских множеств и р — лебеговскую меру на 8. Будем рассматривать монотонные неубывающие функции 1 на Х, т. е. такие функции 1, для которых 1(х) (1 (у), если х ~у; для краткости будем называть такие функции просто монотонными.
Если 1 †ограниченн монотонная функция, то легко видеть, что !!а 1 (х) и !!т 1 (х) всегда существуют и конечны; как обычно, обозначим эти пределы соответственно у( — оо) и У(+ со). Теорема 1. Если ч — конечная мера на 8 и если для любого действительного числа х 1„(х) = ч((1: — со( г(х)), то 1„— ограниченная монотонная функция, непрерывная слева и такая, что 1„( — оо)= О. Доказательство.
Ограниченность и монотонность 1„следуют из соответствующих свойств меры «. Так как 1,( — и) = «(( — оо,— и)), п=1,2,..., то СО 1„( — оо) = !!т1„( — л) = » (Д (1: — оо (1( — л)) = «(0)=0. п и=а Чтобы доказать непрерывность функций 1„слева при любом х, предположим, что (х„) — возрастающая последовательность чисел, такая, что 1ппх„=х; тогда СО 0 =«(П (х„, х)) =1пп«(!х„, х)) =!!Га(1„(х) — 1„(х„)). исм и и Теорема 2. Если 1 — ограниченная непрерывная слева монотонная функция, причем г ( — со) = О, то существует единственная конечная мера ч на 8, такая, что 1 =1„.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Это доказательство во всех деталях повторяет построение лебеговской меры. Именно, если определить «для каждого полузамкнутого интервала, положив «((а, Ь)) 1 (Ь) — 1 (а), то все, что говорилось в $8 относительно !с, применимо к «, и, следовательно, может быть применима теорема о продолжении (см. теорему 1 $13). Нуждается в изменении только рассуждение, использованное в доказательстве теоремы 3 $8. Нам нужно доказать, 1 еч. екнкции множиствл и огнкции точки 177 что если [ао, Ьо) — полузамкнутый интервал, содержащийся в соединении последовательности ([а», Ь»)) полузамкнутых интервалов, то чоао Ьо))( .~,'ч([а», Ь,)).
Если ао = Ь, то результат тривиален; в противном случае пусть е— такое положительное число, что е ( Ьо — ао. Так как 7 непрерывна слева в а», то для всякого положительного числа 3 и всякого целого положительного ! существует такое положительное число е», что 3 »(а») —.»(໠— е») < —, »=1, 2, 2» Если ро=[~о Ьо е[ и У» — — (໠— е„д»), »'=1, 2, ..., то ОЭ Ро»= Ц !7» и, следовательно, в силу теоремы Гейне — Бореля, сущест»=1 вует такое целое положительное п, что е "-Цц Так же, как и в теореме 2 и 8, получаем е 7(до — е) — У(ао) <,~Я(у(Ь») — 7(໠— е»)) = »=1 е И =:~Е(Х (Ь») — 1(а»))+ Х(У(а») — 7 (໠— е)) < ( ~~.', (7 (Ь») — /(а»)) + 3. Так как е и 3 произвольны, то требуемое неравенство следует из непрерывности функции )» слева в точке Ьо.
Ф Теоремы 1 и 2 устанавливают взаимно-однозначное соответствие между всеми конечными мерами « на о и некоторыми функциями ~„ действительного переменного; следующие две теоремы показывают, как некоторые свойства меры ч могут быть охарактеризованы с помощью соответствующей функции у„. Теорема.
3. Если ч — конечная мера на $, то для того, чтобы функция 7„была непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы ч((х)) =0 для любой точки х. Доказательство. Если (х„) — убывающая последовательность чисел, такая, что 1!т х„=х, то «((х)) =ч ( П [х„, х)) = Ит«([х„, х)) = 1!ю(7'„(х„) — 7„(х)). и 1 В Я пв ГЛАВА ч!п.
ОтоБРАжвния и Функции „~~ [у (Ь») — у (а») [ < е для каждого конечного класса [(а», Ь»): ! = 1, 2,... ) непересекающихся ограниченных открытых интервалов, для которого ~~.'„(Ь» — а»)<3. »О1 Т е о р е м а 4. Если ч — конечная мера на 8, то, для тово чтобы функция ~„была абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы ч была абсолютно непрерывна относительно [1.
Доказательство. Если ч(([ь, то для каждого положительного числа е существует такое положительное число 6, что ч(Е) < е для любого борелевского множества Е, для которого [А(Е) <3. Следовательно, если ((а», Ь,): »=1, 2,...,п) — конечный класс непересекающихся ограниченных открытых интервалов, такой, что О п р. ( дл [а», Ь»)) = „~, (Ь, — а,) < В, то и и ~~.'~ [»„(Ь») — У„(а») ! = ~~Р~« ([а„Ь»)) = ч (»1„в1 [а„Ь!)) < е.
Обратно, предположим, что функция »„абсолютно непрерывна. Пусть е — произвольное положительное число, а 3 — такое положительное число, что .~, [,»„(Ь») — у„(а») ! < а, как только ~~(Ь» — а») < 3. Если »О1 »О1 Š— борелевское множество лебеговской меры нуль, то существует такая последовательность [[ао Ь,)) непересекающихся полузамкнутых интервалов, что Е»= а»[а»ч Ь») »=1 СО и ~~~~~(Ь,— а,) < 3. »=1 Так как отсюда следует, что ~[У,(Ь») — »„(а»)! <е для любого »=1 целого положительного и, то СО СО «(Е)<Х ч([а» Ь»))= Х [1,(Ь») — 1,(и»)[.4е »О1 »О1 Так как е произвольно, то ч(Е) = О. и Остается только заметить, что »„непрерывна в точке х тогда и только ! [Ги Д„(хп) — у„(х)) = О.
ж действительная функция у действительного переменного называется абсолютно непрерывной, если для любого положительного числа е существует такое положительное число В, что 4 аг. вункциИ Мнбжйства и оункци[4 тбцки )уз Для того чтобы сформулировать следующий результат (представляющий собой простое, но часто используемое следствие теоремы Лебега о разложении), нам понадобится еще одно определение. Будем говорить, что конечная мера ч на Я является чисто атомической, если существует такое конечное нлн счетное множество С, что .
(Х вЂ” С) =О. Теорема 5. Если ч — конечная мера на Б, то существуют три однозначно определенные меры ч„чз и чз на $, сумма которых равна ч, причем ч, абсолютно непрерывна относительно [ь, ч, является чисто атомической, а ч сингулярна относительно р,, но чз([х)) =О для любой точки х. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме Лебега о разложении (см. теорему 3 2 32), существуют две меры чо н ч, на Б, сумма которых равна ч, причем ч„сингулярна, и ч, абсолютно непрерывна относительно лебеговской меры [ь. Пусть С вЂ” множество тех точек х, для которых чо([х)) ~ О; так кзк мера ч конечна, то множество С конечно или счетно. Если положить чз(Е) =чо(Е П С) и чв(Е) =чз(Е С)~ то ясно, что разложение ч=ч,+ч +чз обладает требуемыми свойствами. Единственность этого разложения следует из единственности разложения Лебега и очевидной единственности множества С. 1.
Все результаты этого параграфа справедливы и для обобщенной меры ч, если условие монотонности у«заменить условием ограниченности ее вариации. [У к а з а н и е. Каждая функция ограниченной вариации является разностью двух моиотоиных.[ 2. Некоторые хорошо известные свойства монотонных функций и абсолютно непрерывных функций могут быть доказаны применением методов этого параграфа; укажем два примера: а) Монотонная функция имеет не более счетного множества точек разрыва.
[У казан не. Если ограниченная монотонная функция у непрерывна слева и у( — со) О, то применим теорему 2 и рассуждение, использованное при доказательстве теоремы 3. Общий случай очевидным образом сводится к этому частному.) б) Если ограниченная монотонная н абсолютно непрерывная функция У такова, что у( — со) = О, то существует такая неотрицательная интегрируемая в смысле Лебега функция ч, чтоу(х)= ~ ч(г)йв(г). [Указание. Ш Применить теоремы 2 и 4.] 3. Следующие замечания показывают, что теорема 3 2 15 и результат упр. 1 2 15 могут быть распространены на весьма широкий класс мер, включающий меры, исследованные в этом параграфе: а) Если две конечные меры р и ч на ч-кольце 3 подмножеств множества Х совпадают на некоторой структуре Е множеств из 3, то они совпадают и на е-кольце 3(Е), поролщениом 1,.
[Указание. Если Е51., ген и Ес:г", то и(Р— Е) =«(Р— Е). Применим теперь результаты упр.2 2 5 и упр. 5 2 8 и теорему 1 2!3.] б) Есзи две конечные меры И и ч определены на всех борелевских мно. жествах в метрическом пространстве Х и совпадают на классе 1) открытых ГЛАБА ЧИ1. ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ подмножеств пространства Х, то они совпадают на всех борелевских множествах. в) Если Р— конечная мера, определенная на всех борелевских множествах в метрическом пространстве Х, а Π— класс открытых множеств пространства Х, то Р (Е) = 1п1 (Р (О): Е с: О б О) для любого борелевского множества Е. (Указание.
Функция множества ч*, определенная равенством ч*(Е) = 1п1 (Р (О): Е~ О 6 О), является конечной метрической внешней мерой; она определяет меру ч на всех борелевских множествах, и ч совпадает с Р на О.) г) Если Р— мера на всех борелевских множествах в метрическом пространстве Х, а С вЂ” класс замкнутых множеств пространствз Х, имеющих конечную меру, то Р(Е) =зяр(Р(С):Е.:» СбС) для любого борелевского множества Е а-конечнои меры.
[Указание. Лостаточно рассмотреть множества Е конечной меры. Положим ч(Е) =Р(ЕДЕ) и применим,в" к ч и Х вЂ” Е.] д) Если Р— мера на всех борелевских множествах в полном сепарабельном метрическом пространстве Х, а Со — класс компактных множеств в пространстве Х, имеющих конечную меру, то Р (Е) = зар (Р (С): Е:» Сб Со) для каждого борелевского множества Е а-конечной меры. [Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
