П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Применить .г" и упр. 10 6 9.] 4. Если ч — конечная мера на 8 и если борелевское множество Ео является для меры ч атомом, то в Ео существует такая точка хо, что Р(Ео — (хо))=0. [Указание. Посредством упр. 3 общий случай может быть сведен к случаю замкнутого и ограниченного Ео.) 5. Если ч — конечная мера на $, то, для того чтобыу'„была непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы мера ч была неатомической.
6. Большинство результатов этого параграфа остается справедливым для мер и обобщенных мер ч, не являющихся конечными; существенно только, чтобы ч была конечна на ограниченных интервалах. 7. В связи с упр. 6 и для построения примеров интересно заметить, что существуют а-конечные меры ч на $, абсолютно непрерывные относительно Рч для которых ч(Е) = со для каждого интервала Е, имеющего хотя бы одну внутреннюю точку.
(У к аз а н и е. Пусть у — положительная инте+а грируемая в смысле Лебега функция, такая, что ~ учлР =со для любого -а положительного числа о, яапример г(х) = (е~~' )г[х]) ~. Если (гп га, ...)— последовательность всех рациональных чисел, то для каждого х положим с~ 1 л(х) = т — „у(х — г„); .Ь 2" мера ч, определенная для каждого борелевского множества Е равенством «(Е) =~ Еойр, обладает требуемыми свойствами.
Заметим, что так как Оа -Х %ч 1 Г л яр = 7 — [ у лр, то функция д принимает конечные значения почти .У4 2" 3 я 1 всюду [Р] ) Гллва 1Х ВЕРОЯТНОСТЬ $44. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 11ель этого параграфа — дать интуитивное оправдание построению теории вероятностей на основе теории меры. Основным неопределимым понятием теории вероятностей является понятие „события'. Говоря не строго, можно назвать событием любой из возможных исходов произвольного фиаического эксперимента. В качестве хорошо известного примера рассмотрим эксперимент, заключающийся в бросании обычной игральной кости и наблюдении выпавшего числа очков х (= 1, 2, 3, 4, 5 или 6).
„Число х четное", „х меньше 4", „х равно 6" — каждое такое утверждение соответствует некоторому возможному исходу рассматриваемого эксперимента. С этой точки зрения возможно столько событий, сколько существует сочетаний из шести чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Если в целях удобства рзссматривать также невозможное событие, состоящее в том, что „число х не равно ни одному нз чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6", то существует 2з возможных событий, связанных с экспериментом бросания кости.
Для того чтобы более подробно изучить этот пример, введем следующие обозначения: пусть символ (2, 4, 6) означает событие „х есть четное число", (1, 2, 3) †событ „х меньше 4" и т. д. Невозможное событие и достоверное событие (= (1, 2, 3, 4, 5, 6)) заслуживают специальных обозначений; условимся обозначать их соответственно О и Х. По отношению к событиям постоянно употребляются следующие выражения: „два события Е и Е несовместимы, или взаимно исключают друг друга", „событие Е является дополнительным к событию Е", „событие Е заключается в одновременном наступлении событий Е н О", „событие Е заключается в наступлении хотя бы одного из событий Е и 0".
Такие фразы подсказывают определения отношений между событиями и операций образования новых событий из уже имеющихся, что должно быть, конечно, частью математической теории событий. Понятие дополнительного события, вероятно, наиболее прозрачно. Событие, дополнительное к событию Е, заключается в ненаступлении события Е и обозначается Е'. Таким образом, если Е=(2, 4, 6), то Е' = (1, 3, 5). Можно ввести также комбинации событий, отвечающие логическим отношениям „и" и „или". Любым двум событиям 182 ГЛАВА 1Х. ВЕРОЯТНОСТЬ Е и Е мы ставим в соответствие их „соединение" Е1) Е и „пересечение" Е П Е: событие Е 1) Е наступает тогда и только тогда, когда наступает по крайней мере одно из событий Е и Е, а ЕП Е есть событие, наступающее тогда и только тогда, когда наступают оба события Е и Е. Так, например, если Е = )2, 4, 6) и Е = )1, 2, 3), то Е Ц Е = (1, 2, 3, 4, 6) и Е Д Е = )2).
Эти соображения и их очевидные обобщения, относящиеся к более сложным экспериментам, позволяют нам заключить, что теория вероятностей занимается изучением булевских алгебр множеств. Событие представляет собой множество, дополнительное событие †дополнен этого множества; несовместимые события являются непересекающимися множествами; событие, заключающееся в совместном наступлении двух событий, есть пересечение . двух множеств. Такой перевод понятий на теоретико-множественный язык может быть очевидным образом продолжен. Для классической теории вероятностей, имеющей дело с простыми играми, вроде игры в кости, когда общее число возможных событий конечно, описанное выше сведение класса рассматриваемых событий к булевской алгебре множеств удается осуществить полностью и без каких-либо дополнительных ограничений.
В условиях же, возникающих в современной теории и практике, и даже в более сложных азартных играх, приходится дополнительно предполагать, что система событий замкнута относительно образования счетных соединений, т. е., в нашей терминологии, что рассматриваемая булевская алгебра является а-алгеброй. Попробуем пояснить необходимость этого дополнительного предположения на одном несколько искусственном примере. Предположим, что игрок бросает кость до первого выпадения шестерки; пусть ń— событие, заключающееся в том, что шестерка выпала первый раз при и-м бросании. Событие Е=ЦЕ„наступает тогда и только =1 тогда, когда игра оканчивается после конечного числа бросаний.
Наступление противоположного события Е', если не практически, то, по крайней мере, теоретически возможно; естественно поэтому подвергнуть изучению и зто событие. Многочисленные примеры такого рода, вместе с более серьезными чисто математическими соображениями, оправдывают утверждение, что математическая теория вероятностей состоит в изучении булевских а-алгебр множеств. Это не значит, что любые булевские а-алгебры множеств служат предметом теории вероятностей. утверждения, касающиеся таких алгебр и отношений между их элементами, носят обычно лишь качественный характер, тогда как теория вероятностей подходит к изучению булевских алгебр также с количественной стороны.
Теперь мы перейдем к описанию самих вероятностей. 4 еи вводныи замвчания Когда мы спрашиваем, „какова вероятность некоторого события", то мы ожидаем ответа на этот вопрос в виде числа, связанного с этим событием. Другими словами, вероятность есть числовая функция р события Е, т.
е. функция множества на некоторой а-алгебре. Исходя из интуитивных и практических соображений, мы требуем, чтобы число р(Е) давало представление о частоте наступления события Е. Если при многократном повторении эксперимента, исходом которого может служить событие Е, мы замечаем, что событие Е наступило в одной четверти общего числа всех испытаний (так что в остальных трех четвертях осуществилось событие Е'), то можно попытаться 1 отразить этот результат, положив р(Е) = 4. Лаже эта весьма грубая „прикидка" дает некоторые наводящие указания относительно природы функции р.
Итак, пусть 1ь(Е) равно частоте наступления события Е, т. е. отношению числа наступлений события Е к общему числу повторений эксперимента; тогда р(Е) должно быть неотрицательным действительным числом, заключенным в интервале (О, 1]. Если события Е и Г несовместимы, скажем, в примере с костью Е = (1) и Р = (2, 4, 6), то чзстота наступления события Е () Р = (1, 2, 4, 6( равна, очевидно, сумме частот наступления событий Е и Р в отдельности.
Если единица выпадает в одной шестой всех испытаний, а четное число очков — в половине всех испытаний, то событие, заключающееся в выпадении либо единицы, либо четного числа очков, должно насту- 1 1 пать с частотой — + —. Отсюда следует что функция р не может 6 2' быть совершенно произвольной; необходимо подчинить ее условию аддитивности, т. е. потребовать, чтобы р(Е() Р) при ЕДЕ=О было равно р(Е)+р(Р). Так как достоверное событие наступает при всех осуществлениях эксперимента, то нужно потребовать также, чтобы р(Х) =1.
От окончательного определения вероятности нас отделяет сейчас одна подробность чисто математического характера, незначительная на первый взгляд, но в действительности весьма важная. Если р — аддитивная функция на булевской а-алгебре, а (Е„( — последовательность непересекающихся множеств, принадлежащих этой алгебре, то равенство 1ь(Ц Е„~)= ~, 1ь(Е„) может выполняться или не выполняться. и=1 в=1 Дальнейшим ограничением, налагаемым на функцию 1ь, является условие счетной аддитивности, без которого современная теория вероятностей не может обойтись. С точки зрения интуиции конечная и счетная адаптивность в равной мере оправданы. Во всяком случае счетная аддитивность ие противоречит нашим интуитивным представлениям, а успешное развитие теории в предположении счетной аддитивности вполне оправдывает введение этого ограничения.
Итак, ТВ4 ГЛАВА 1Х. ВЕРОЯТНОСТЬ вероятность 1А ПРедставляет собой меру, определенную на некоторой булевской а-алгебре 8 подмножеств множества Х, причем 1А(Х) = 1. В предыдущих главах основную роль играли понятия измеримой функции, интеграла и произведения пространств; сейчас мы выясним, какой смысл приобретают эти понятия в теории вероятностей. Начнем с часто употребляемого понятия „случайной величины". „Случайная величина есть переменная, значения которой зависят от случая'.
Таким образом, мы имеем дело с переменной величиной. Известно, однако, что там, где строится математическая теория, „переменная величина", особенно такая, значения которой чем-то „определяются", всегда представляет собой функцию. Значения такой функции, как мы сказали, „зависят от случая". Иначе говоря, наша функция связана с некоторым экспериментом таким образом, что, коль скоро эксперимент произведен и зарегистрирован определенный его исход, значение функции оказывается известным. В нашей схеме эксперименту соответствует пространство с мерой Х; следовательно, функция исхода эксперимента должна быть функцией точки х пространства Х. Случайная величина есть, таким образом, действительная функция, заданная на пространстве с мерой.
Предыдущая фраза не дает еще полного описания „случайной величины" в обычном понимании этого термина. Функция у, определенная на пространстве Х, называется случайной величиной только в том случае, когда имеется Возможность ответить на некоторые вопросы, относящиеся к вероятностям значений, принимаемых функцией г. Типичен, например, такой вопрос: „Какова вероятность того, что 1 принимает значение, заключенное между а и рг'", т.
е., на языке теории вероятностей: „Чему равна мера множества тех точек, для которых а (У (х) ( ~7' Для того чтобы на вопрос такого рода всегда можно было дать ответ, необходимо и достаточно, чтобы множества, о которых идет речь, принадлежали выделенной е-алгебре 6 множеств в пространстве Х, другими словами, чтобы случайная величина была измеримой функцией. Рассмотрим более подробно случайную величину У, связанную с экспериментом бросания правильной игральной кости и определенную равенством у(х) = х. Возможными значениями функции у служат числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Особый интерес для теории вероятностей 1 представляет их среднее арифметическое — (1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6); оно называется средним значением или математическим ожиданием случайной величины у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
