П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Если кость неправильная, то вероятности р 1 выпадения л очков, вообще говоря, не равны —; в этом случае математическое ожидание определяется как взвешенное среднее 1 р,+ +2 ° Ра+... +6 ° Ра. В слУчае когда число значений фУнкции У" не обязательно конечно, аналогом такого взвешенного среднего служит интеграл; итак, если измеримая функция у интегрируема, тО ее мате- % 44. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ матическим ожиданием является, по определению, интеграл этой функции. Мы выяснили, как интерпретируются в теории вероятностей измеримые функции и интегралы; для того чтобы найти интерпретацию произведений пространств, продолжим рассмотрение примера с игральной костью.
Для простоты мы снова допустим, что кость правильная 1 и выпадение каждой из шести граней имеет вероятность, равную —. Рассмотрим события Е= (2, 4, 6( и Г=(1, 2). Понятие условной вероятности, которое мы сейчас введем, позволяет давать ответы на вопросы такого рода: „Какова вероятность события Е, если иввестно, что наступило событие Е?". В нашем примере: „Какова вероятность того, что х — четное число, если известно, что х меньше 3?" Термин „условная вероятность" отражает специфику в постановке вопроса: определяется вероятность события в предположении, что выполняются некоторые ззранее заданные условия.
Рассмотрим сначала событие О = (2) н поставим вопрос, какова условная вероятность события Е, если известно, что событие О произошло. Ответ на этот вопрос интуитивно ясен и не зависит от предположений, определяющих численные значения самих вероятностей (например, от предположения, что кость правильная). Если известно, что х равно 2, то х — четное число, и искомая условная вероятность должна равняться 1. Легкость ответа в этом примере обусловлена тем, что О содержится в Е.
В общем случае нужно оценить долю события Е, содержащуюся в событии О. Ее естественно измерять не просто вероятностью совместного осуществления событий Е и )ч, т. е. числом )4(ЕПЕ), а отношением (4(ЕПЕ) к вероятности события Е. Поэтому условная вероятность )4 (Е) события Е при условии, что событие Е наступило, определяется как, . При Е = (2, 4, 6) и(ЕПР) и (Р) и О= (2) мы имеем )Ап(Е) =1, т. е. ответ, полУченный выше. ПРИ Е= (2, 4, 6) и Е= (1, 2) мы получаем )А „(Е) = —, что интуитивно 1 вполне разумно: если известно, что значение х равно 1 или 2, то оно может быть четно ( 2) или нечетно (=1), причем каждая из 1 этих возможностей осуществляется с вероятностью, равной —.
Сопоставим теперь следующие два вопроса: „Какова вероятность события Е, если известно, что наступило событие Е?" и, просто, „Какова вероятность события Е?" Ответы на этн вопросы даются соответственно числами )4к(Е) и )4(Е). Может случиться, как это было в предыдущем примере, что эти два числа совпадают, т. е., другими словами, что наступление события Е не влияет на вероятность события Е. Такое взаимоотношение событий удачно характеризуется словом „независимость": два события Е и Е называются независимыми (иначе, статистически или стохастически независимыми), если 18б ГЛАВА 1Х. ВЕРОЯТНОСТЬ 1ь (Е) = 1ь(Е). Воспользовавшись указанным вып|е выражением условной вероятности, этому определению можно придать следующую более симметричную форму: события Е и Е независимы тогда и только тогда, когда й(ЕП г) =1ь(Е)1ь(Р).
Предположим теперь, что мы имеем дело с двумя независимыми осуществлениями некоторого эксперимента, например с двумя последовательными бросаниями правильной игральной кости. Результат такого составного эксперимента должен выражаться, конечно, парой чисел (х„ х.). Точки пространства с мерой, соответствующего этому составному эксперименту, являются, таким образом, точками декартова произведения исходного пространства с мерой самого на себя; задача заключается в том, чтобы разумным образом определить вероятности, т. е, меру, в таком произведении. Чтобы наметить путь к решению этой задачи, рассмотрим события Е = „х, ( 3" и Е= „хз " 4'. Для 1 1 них 1ь(Е) = — и 1ь(р) = —,; если под независимостью испытаний понимать независимость любых их результатов, в данном случае Е 1 и Р, то должно выполняться равенство 1ь(ЕП Р) = Мы видим, таким образом, что если математическое описание некоторого эксперимента дается пространством с мерой (Х, $, 1ь), то двукратное независимое повторение этого эксперимента должно описываться декартовым произведением пространства (Х, 8, 1ь) самого на себя.
Так же как два повторения эксперимента приводят к двумерному декартову произведению, так любое конечное число и повторений приводит к и-мерному декартову произведению. Математической моделью бесконечной последовательности независимых повторений является бесконечномерное произведение. Хотя бесконечная последовательность повторений эксперимента практически неосуществима, но рассмотрение бесконечных произведений приносит большую пользу. Дело в том, что многие вероятностные утверждения относятся к результатам длинных серий испытаний, и точный смысл эти утверждения получают только в строго сформулированных предельных теоремах.
На этом мы заканчиваем наши вводные замечания и переходим к подробному изучению основных понятий и результатов теории вероятностей. $45. НЕЗАВИСИМОСТЬ Пространством вероятностей называется пространство (Х, 8, 1ь) с вполне конечной мерой, такое, что 1ь(Х) = 1; мера 1ь называется при этом вероятностной мерой или просто вероятностью. Если Š— конечный или бесконечный класс измеримых множеств в пространстве вероятностей (Х, $, й), то множества класса Е называются независимыми, если ч Р(Й Ее) = 111(Е~) 1=1 5 45. независимость для любого конечного класса (Е;:ю' = 1, ..., л) множеств из Е. В случае, когда класс Е состоит всего из двух множеств Е н Р, условие независимости выражается равенством р(ЕП Г) =р(Е) р.(Р).
В качестве примера независимых множеств возьмем множества Е = ((х, у): 0 ( х ( 1, а (у ( Ь) и Р = ((х, у): с (х ( И, 0 (у (1 ) в единичном квадрате с лебеговской мерой (а, д, с и е1 — произвольные числа, принадлежащие замкнутому единичному интервалу (О, 1)). Заметим, что для того, чтобы множества некоторого класса Е (даже конечного) были независимы, не достаточно попарной независимости этих множеств. Если $ — конечное или бесконечное множество измеримых действительных функций на пространстве вероятностей (Х, $, р), то функции, принадлежащие множеству Ю, называются независимыми, если р (П (х: У; (х) ~ М,)) = П р ((х: ~, (х) ~ Ме)) 4кп е=г для любого конечного множества (У',:1=1, ..., и) различных функций из б и для любого конечного класса борелев=ких множеств (М;: 1= 1, ..., л) на числовой прямой.
Этому условию эквивзлентно следующее: если для каждой функции У из 6 произвольным образом выбрать борелевское множество Мг на числовой прямой, то множества класса Е= (~ '(МГ):~~$) независимы. Пример двух независимых функций можно получить, взяв в качестве Х, как в предыдущем примере, единичный квадрат с лебеговской мерой и определив функции у и д равенствами Т (х, у) = х и а (х, у) =у. Наши примеры независимых множеств и функций указывают на весьма тесную связь между понятиями независимости и декартова произведения.
действительно, пусть у, и уз — две независимые функции, заданные на (Х, 8, 1ь); рассмотрим отображение Т пространства Х в эвклидову плоскость, определенное равенством Т(х) = (г,(х), г (х)). Если измеримость на плоскости понимать в смысле Бореля, то, так как Х~З и функции ~, и Уз измеримы, измеримо и отображение Т; сами функции Г, и Уа являются, конечно, измеримыми отображениями пространства Х в числовую прямую. Обращаясь непосредственно к определению независимости, мы видим, что независимость функций Г', и 1я может быть очень пРосто выРажена Равенством 1ьТ = ру Х рТа (Если обозначить, как это иногда делается, отображение Т символом ,Г, К~я, то последнее равенство примет вид дистрибутивного закона,) гзв ГЛАВА 1х.
ВВРоятность Если функции д» и яг определены на плоскости равенствами й (У»~ Уг) '.":~У» " Юг(ун Уг) — Уг~ то, как легко видеть, Л=й'1Т и Та=оТ. Уже из этих соображений вытекает следующий нетривиальный результат. Теорема 1. Если гг и гг — независимые функции, ни одна из которых не равна нулю почти всюду, то Т1 и Тг обе интегрируемы тогда и только тогда, когда интегрируемо их произведение Я~. Если зто условие выполняется, то ~ 1Лй = ) Л 4 ~ гг й~' Доказательство.
В только что введенных обозначениях )Т»( интегрируемы тогда и только тогда, когда интегрируемы а», г'=1, 2 (см. теорему 3 $39). Если интегрируемы (дг~ и (йг(, то, в силу теоремы Фубини, интегрируема функция ~й»да~. Обратно, если функция ~ д»дг ~ интегрируема, то интегрируемы почти все ее сечения, а так как всякое такое сечение пропорционально )дг) или (дг( и множители пропорциональности могут быть выбраны отличными от нуля, в силу того, что Тг и »г не равны нулю почти всюду, то (дг~ и )йг~ оказываются интегрируемыми. Еще раз применяя теорему 3 2 39, мы придем к заключению, что ~й»да~ интегрируема тогда и только тогда, когда интегрируема (~гуг). Первое утверждение теоремы доказано. Второе следует из теоремы Фубини. ж Применение произведений пространств в исследовании независимых функций выходит далеко за прелелы описанного частного случая.
Пусть, например, (Я вЂ” последовательность независимых функций и у — декартово произведение последовательности числовых прямых„ на каждой из которых измеримость понимается в смысле Бореля. Если для любого х Т(х) = 1Т»(х), Т"г(х), ...), то Т будет измеримым отображением Х в У; для того, чтобы функции ~„были независимыми, необходимо и достаточно условие: рТ ~=руг')(г»Д'К ... Если на У задать функции яп равенствами л„ (уг, уг, ...) =у„, и = 1, 2, ..., то г =й„Т, и = 1, 2,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
