П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Так как Т сохраняет соединения и разности и так как эти операции являются равномерно непрерывными функциями своих аргументов, то отсюда следует, что Т есть изоморфизм. 1. Если (8р) — неатомическое кольцос а-конечной мерой и если Еас8, Еа ф О, то для любого положительного числа е существует такой элемент Е из 8, что Ее=Ее и 0(р(Е)(ю [Указание. Если р(Еэ)(со и если Ет — такой элемент из 8, что Е, с- Еэ н Оч..р(Ех) с. р(Еэ), то либо р (Ех) ~ 1 1 ~( 2 Р (Еэ), либо и (Еэ — ЕД К 2 Р(Ес) [ 2.

Если (8,р) — неатомическое кольцо с е-конечной мерой и Еэб8, то для любого неотрицательного числа а(р(Еа) (может быть равного со) существует такой элемент Е из 8, что Е~ Ее и р(Е) =е. [У к а ванне. Так как случай а=со тривиален, то можно, не ограничивая общности, предположить, что р (Ез)(со. Требуемый результат получается трансфииитным методом исчерпывання. Этот метод сходен с тем, при помопги которого обычно доказывается, что две любые точки полного выпуклого метрического пространства могут быть соединены сегментом.

Наше утверждение является частным случаем этой общей теоремы метрической геометрии (см. упр. 2 н 3 % 40).! 3. Если (8, р) — неатомнческая алгебра с вполне а-конечной мерой н если Ее й 8, то, каково бы ни было а (конечное или бесконечное), заключенное между р(Еа) и р(Х), существует такой элемент Е из 8, что Ее~Е и р(Е)=а. (Указание. Если а конечно, то применим упр. 2 к Х вЂ” Еа и р (Х) — а,) 4. Если (8, р) — алгебра с вполне конечной мерой, то множество всех значений меры Н замкнуто. 5.

Если неатомическое кольцо (8, р) с с-конечной мерой содержит по крайней мере один элемент, отличный от О, то его метрическое пространство Я (р) не имеет изолированных точек. Верно ли, что если Я (р) не имеет изолированных точек, то кольцо (8, р) — неатомическое. 6. Всякая сепарабельная неатомическая алгебра (8, р) с вполне е-конечной мерой, такая, что р(Х) = со, изоморфна алгебре с мерой (Т, т) ГЛАВА ЧПГ. ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ 172 числовой прямой. [У к а ванне. Из упр. 2 следует, что существует такая СО последовательность (Х„) элементов нз 8, что Х= [з Хя и Р(Х„) =1, я=а и =*1, 2, ...; каково бы нн было л,к алгебре, состоящей из всех тех элементов, которые содержатся в Х„, применима теорема 3.] Т.

Каждая алгебра с мерой изоморфна алгебре с мерой некоторого пространства с мерой (см. упр. 15, .в', 5 40). й 42. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Существуют некоторые метрические пространства, связанные с произвольным пространством с мерой (Х, Е, Р), аналогичные пространству 3(Р) измеримых множеств конечной меры.

Одним из них является класс .Я', (или Л',(Р)) всех интегрируемых действительных функций, принимающих конечные или бесконечные значения. Если для 7' из,Я'1 положить [!П= ~ [У[Ф и для 1 и д' из 3', положить р (1, А) = ![1 — д]! (см. 2 23), то функция р будет обладать всеми обычными свойствами расстояния, кроме одного — из р(1, Е)=0 не вытекает, конечно, что у=йт в силу теоремы 2 $25, равенство р(1, и) =О означает, что У=у [Р].

Мы снова станем на ту же точку зрения, что и в случае пространства измеримых множеств конечной меры. Два элемента (т. е. две функции) из .Я', будем считать равными, если расстояние между ними равно нулю, или, что то же самое, если они равны почти всюду [Р]; при этом .Я*, становится метрическим пространством, даже, как известно (см. теорему 2 2 26), полным. Для некоторых целей анализа желательно обобщить это построение. Если р †действительн число, большее единицы, то обозначим .3'Р (или,Я'р(Р)) класс всех измеримых функций 7, таких, что ]7 [я интегрируема. Подобно тому как это мы делали для .2~„ будем отождествлять два элемента из .3'р, если они равны почти всюду [Р].

Теория пространства .3'р весьма похожа на теорию пространства .3'и однако до известного предела. Например, определяя ° для 1 из .9'р норму равенством и полагая, для 1 и д из .3'р, рр(1, К) =[]1 — й[~„мы сталкиваемся с некоторыми трудностями. В то время как ясно, что р (1, д)= =р (К, 7)' ~0 и рр(1, л)=0 тогда и только тогда, когда 1 =д [Р], справедливость неравенства треугольника совсем не очевидна и даже, что еще более серьезно, не очевидно, что ря всегда конечно. Чтобы преодолеть эти трудности, мы докажем сйачала две классические 9 41. ФУНКЦИОНАЛЬНЫВ ПРОСТРАНСТВА 173 теоремы; из них первая устанавливает так нааываемое неравенство с ельдера. Теорема 1. Если р и д — действительные числа, большие 1 и такие, что — + — =1, и если У~,Я'Р и уЕ.Д'а, томб~.3'1 1 1 и !!й!! <!!ПР !!А. Доказательство.

Рассмотрим вспомогательную функцию са, определенную для всех положительных действительных чисел С равен- сР с а ством ср(с)= — + —. Лифференцируя, получим Р Ч < Р-1 мы видим, что су' обращается в нуль только при Ь='1. Так как Вш 9 (С) = !1щ ср !С) = оо, с+о с.ью то отсюда следует, что функция са достигает в точке 1=1 своего наименьшего значения; таким образом, с 1 1 — + — =9(г) >9(1) = — + — =1. Р Ч Р Ч Если а и Ь вЂ” два произвольных положительных числа, то, положив 1 аа г= —, получим Ь" ав Ьч ав Ьа.

1< — + —, т. е. аЬ( — + —; Ьр ав ' ' ' р О' ясно, что последнее неравенство справедливо и тогда, когда а и Ь равны нулю. Переходим непосредственно к доказательству теоремы. Если !М! =О или !!л!!а — — О, то утверждение теоремы тривиально; если !!с !!Р и )!д!!а отличны от нуля, то положим а= — и Ь= —. !г! !л! !!а!!а' В силу последнего неравенства, получим !уб! < ! !у!Р +! !Л!а !!е!! .!! !! Р ~ !у!РВ Ч ! ! !ч л Так как ~Ь измерима, то зто неравенство показывает, что ф~Я'1! интегрируя его, получим требуемый результат. Ф Теперь мы установим так называемое неравенство Минковского.

ГЛАВА Уп!. Отбв»лжиния и ФУнкции 774 Т е о р е и а 2. Если р — действительное число, большее единицы„и 7 и а принадлежат,Я'р, то [+д~ 2' и [!У+к[! <[!.г [[,+Ы Д о к а з а т е л ь с т в о. Неравенство Гельдера для метрического пространства, состоящего из двух точек, меры 1 каждзя, дает элементарное неравенство 1 1 ! а1д!+а~д~ ! ~<([а1!»+ [аз!»)» ° ([Ь! [ч+ ! дз[ч)ч ' где, как и раньше, — + — =1. Отсюда вытекает, что 1 1 Р т [у+а[»<у! у+а!» '+[к! у+а!» '< 1 1 <([У! + [б! ) (2!У+к!а! ")' и, следовательно, [У+а !" <2'У!»+[б! ). Таким образом, 7+ д~.2'».

Требуемое неравенство следует из соотношений Ю+д'[!,)»= '[ У+а!»бр < <! [У! [О+а[» ' й. +~[а! [1+а!» 'б~ < 1 1 <(Х й»бр)' Ц [У+а!»б )'+ 1 1 +и [б[х'б ~' ®У'+К!'бр)'- » = (И~+ [[к [[,) (![7'+ Х[[,) ' Из теоремы 2 следует, что если 7', а и 71 принадлежат .Я', то М б)=!У вЂ” Х!~<!!У вЂ” й!!,+![й — б!! =Р Ч й)+Р (й Х)' мы доказали, что 9'р — метрическое пространство; доказательство полноты пространства .2'! переносится, с очевидными изменениями, на 2'». 1. Метрическое пространство .2~ (») пространства с мерой (Х, $, ») сепарабельно тогда и только тогда, когда пространство Я(») измеримых множеств конечной меры сепарабельно.

[У к а з а н н е. Если некоторый класс множеств плотен в 3(ь), то множество всех конечных линейных ком- $42. ФУНКЦНОНАЛЬНЫВ ПРОСТРАНСТВА бинаций с рациональными коэффициентами характеристических функций этих множеств плотно в Я'Р(Р).[ 2. Другим полезным пространством является множество 5)( всех существенно ограниченных измеримых функций. Если положить для любой У из 5)( [[у[[ = зпр ща1 ([у(х) [:хбХ) и для у и к из уу( положить р (у, к) =[[у — к[[, то у)( (с обычным соглашением относительно равенства двух элементов) становится полным метрическим пространством.

3. Из описанных нами функциональных пространств наиболее полно изучено пространство .Я'э; оно является наиболее естественным и плодотворным обобщением обычного конечномерного эвклидова пространства. Линейным функционалом на ~ег называешься такая действительная функция Л на .Я"г, что Л (ау + ру) = аЛ (у) + рЛ (к), где а и Р— действительные числа, а У'и и пРинадлежат Кг.

Линейный функционал Л называется ограниченным, если существует такая положительная конечная постоянная с, что ~ Л (у) ) ( с Щ~ для всех у' из .Я'э. Для каждого ограниченного линейного функционала Л существует такой элемент я из ,'~г, что Л(у) = ~ фг(Р, каково бы ни было у из Я'г.

(Доказательство этого элементарного геометрического факта не опирается на свойства, более глубокие, чем полнота ,Я'т.) Этот результат может быть использован для доказательства теоремы Радона — Никодима (простым следствием которой он, в свою очередь, является). Для простоты ограничимся ири наброске этого доказательства случаем конечных мер. Допустим, что Р и ч — две конечные меры, такие, что ч(( р, и положим А = Р + ч. а) Если Л (у) = [ у'г(» при любом у из .'К.г(А), то Л вЂ” ограниченный линейный функционал иа 3'а(ь).

б) Если Л(у) = ~ улгГЛ, то 0~(Е~(1 [Л). [Указа ние. Если у' — характеристическая функция измеримого множества Е, то Л(г) =ч(Е) (А(Е).) в) Если Е = (х: к(х) = 1), то Л(Е) = О. [У к а з а ни е. Л (Е) = т(Е) ) г) [у(1 — е)ггч= [ убггр для любой неотрицательной измеримой функции у'. д) Если д= —, то т (Е) = ~ даягр для любого измеримого мновгеАг ! — л' Ж ства Е. [Указание. Положить у'= ' .[ йи 1 — л' 4. Пусть (Х, Я, Р) — пространство с конечной мерой; для любых двух действительных измеримых функций у и я положим Функция ра определяет в множестве всех измеримых функций некоторую метрику; сходимость в смысле этой метрики эквивалентна сходимости по мере. ГЛАВА ЧПЬ ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ и 13.

Характеристики

Список файлов книги