П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Если, например, Е и Р— элементы булевского кольца м, то Е() Р действительно является наименьшим элементом, содержащим и Е и Р; это означает, что Ес=.Е() Р, ГтЕ() Р, и, каков бы ни был элемент 0 из и, такой, что Есб и Рсб, непременно Е Ц Рсб. Однако для бесконечного множества элементов из булевского кольца не всегда существует элемент, содержащий все элементы этого множества, и даже если такие элементы существуют, то среди них может не быть наименьшего. Булевское кольцо 8 называется булевским е-иольцолг, если каждое счетное множество элементов из 8 имеет соединение; легко проверить, что каждое счетное множество элементов из булевского а-кольца ГЛАВА ЧП!. ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ имеет пересечение.
Типичным примером булевского а-кольца является, конечно, а-кольцо подмножеств множества Х. Булевсггая алгебра есть булевское кольцо й, в котором существует элемент (его естественно обозначить Х), отличный от О и обладающий тем свойством, что Е~Х для любого Е из В. Булевсиая а-алгебра есть булевское о-кольцо, являющееся булевской алгеброй. Для функций, определенных на булевском кольце, понятия аддитивности, о-конечности и т. п. вводятся так же, как и для функций множества на кольце множеств; очевидным образом переносятся на булевские кольца и понятия меры, а-конечной меры и т.
д. Мера [А на булевском кольце называется положилгельной, если она равна нулю только на нулевом элементе. Мера]А на а-кольце 8 подмножеств некоторого множества Х обычно не является положительной. Однако существуют хорошо известные методы, с помощью которых можно построить, исходя из заданной меры р., некоторую положительную меру. Один из таких методов заключается в том, что рассматривается класс Р] измеримых множеств меры нуль, являющийся идеалом кольца 8 (эти слова употребляются в их обычном алгебравческом смысле), и кольцо 8 заменяется фактор-кольцом 8/]ч'. Другой метод, равносильный только что описанному, заключается в том, что пишут Е Р, если ]А(ЕЬР)=О, и затем, пользуясь рефлективностью, симметричностью и транзитивностью этого отношения, заменяют 8 множеством всех классов эквивалентных между собой (относительно ) элементов. В теории меры наиболее удобен следующий вариант (который мы и будем применять) указанного выше приема.
Мы не будем заменять 8 другой системой, †элемента булевского а-кольца, которые мы будем рассматривать, попрежнему являются измеримые множества. Однако при этом мы изменим само понятие равенства; если два множества Е и Р из 8 таковы, что [А(ЕЬ Р) =О, то мы будем считать нх равными и писать Е= Р []ь] (равенство по модулю р). Если Е„= Р„[й], п=1, 2,..., то Е,— Р1=Е — Ря и 0Е.=БР. [р], ч=г в=1 так что даже после изменения понятия равенства 8 остается булевским е-кольцом относительно обычных теоретико-множественных операций.
Если Е = Р[]А], то ]А(Е) = ]А (Р), т. е. мера ]А снова оказывается однозначно определенной на 8. Так как соотношения ]А(Е) = О и Е = О []А], очевидно, эквивалентны, то при новом определении равенства ]А становится положительной мерой. Если (Х, 8, ]ь) — пространство с мерой, то 8(р) будет обозначать о-кольцо 8, в котором равенство элементов понимается как равенство по модулю р. Кольцом с мерой (8, ]ь) мы назовем булевское в-кольцо 8 с заданной на нем положительной мерой ]А. Из предыдущего видно, что а а. кольца с миной если (Х, 8, р) — пространство с мерой, то (8(р), р) представляет собой кольцо с мерой; мы будем называть его кольцом с мерой, связанным с Х, или просто — кольцом с мерой пространстваХ.
Алгебра с мерой есть булевская алгебра, являющаяся в то же время кольцом с мерой. Выражения „(вполне) конечная" и „о-конечная" употребляются для колец с мерой и алгебр с мерой в том же смысле, что и для пространств с мерой. Изоморфизмом двух колец с мерой (8, р) и (Т, «) называется такое взаимно-однозначное отображение Т кольца 8 на кольцо Т, при котором Т(Š— Р) = Т(Е) — Т(Г), Т( Ц Е„) = Ц Т(Е„) для любых элементов Е, Г и Е„, и = 1, 2, ..., кольца 8.
Два кольца с мерой называются изоморфными, если между ними можно установить соответствие, являющееся изоморфизмом. Два пространства с мерой (Х, 8, р) и (У, Т, ч) называются изоморфными, если изоморфны связанные с ними кольца с мерой (8®, р) и (Т(ч), ч). Атомом кольца с мерой (8, р) (или меры 1«) называется всякий отличный от О элемент Е этого кольца, такой, что если Гг=.Е, то либо Р=О, либо Г=Е; кольцо с мерой, не содержащее атомов, называется неатомическим. Если (Х, 8, р) — пространство с мерой, кольцо с мерой которого является неатомическим, то и пространство Х, и сама мера р также называются неатомическими.
Если (8, р) — кольцо с мерой, то символом 3 (или 3(р)) мы обозначим множество всех элементов из 8, имеющих конечную меру, и для любых двух элементов Е и Р из 3 положим р (Е, Р) = р (Е а Р). Легко проверить, что функции р определяет в 3 некоторую метрику; мы будем называть 3 метрическим пространством, связанным с (8, р), илн просто — метрическим пространством кольца (8, р). Мы будем пользоваться обозначением 3 (р) также для метрического пространства, связанного с кольцом с мерой (8 (р), р) пространства с мерой (Х, 8, 1ь).
Кольцо с мерой, или пространство с мерой, называется сепарабельным, если сепарабельно связанное с ним метрическое пространство. Те оре м а 1. Если 3 — метрическое пространство кольца с мерой (8, р) и если ~(Е Р) = Е 0 Г и я(Е, Р) = Е П Г то г, я и р являются равномерно непрерывными функциями своих аргументов.
ГЛАВА ЧПЬ ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ Доказательство. Утверждение теоремы непосредственно следует из соотношений «ь ((Е! 0 Р!) — (Ез 0 Ра)) + Р ((Ев 0 Рв) (Е 0 Р)) ~~( р((Егй Р,) — (Евй Рв))+р((Евй Рв) — (Е, й Р,)) ~ ~( р (ń— Ев) + р (Р, — Ра) + р (Ев — Е,) + р (Ра — Р,) и ~р(Е) — р(Р) ~= ~р(Š— Р) — р(Р— Е)! < ~( р. (Š— Р)+р. (Р— Е). Ф Теорема 2. Если (Х, 8, р) — пространство с о-конечной мерой, такое, что е-кольцо 8 имеет счетное множество образующих, то метрическое пространство 3(р) измеримых множеств конечной меры сепарабельно.
Доказательство. Пусть (Е„) — последовательность множеств из 8, такая, что 8=8((Е„)). Так как мера р о-конечна, то без ограничения общности можно предполагать, что р(Ен) с, со для Всех и= 1, 2, ... В силу теоремы 3 $ 5, кольцо, порожденное последовательностью (Е„1, также счетно, поэтому мы можем предполагать, что класс (Е„: и=1, 2, ...) сам является кольцом. Из теоремы 4 3 13 следует, что для каждого Е из 3(р) и каждого положительного числа в существует такое целое положительное число и, что р(Е, Е„) ( е. Но это и означает, что в 8(р) имеется счетное, всюду плотное множество; теорема доказана. Ф 1. Метрическое пространство 3 пространства с мерой (Х, 8, р) полно.
(У к аз ание. Если (Ее) — фундаментальная последовательность в 3 н если у„— характеристическая функция множества Е„, то последовательность (у ) фундаментальна по мере и к ней может быть применена теорема 5 3 22,) 2. Полно ли метрическое пространство кольца с меройс 3. Понятие полноты булевского кольца родственно соответствующему понятию для метрических пространств, но не тождественно ему. Булевское кольцо Я называется полным, если каждое подмножество Е кольца К имеет соединение.
Ясно, что каждое полное булевское кольцо является булевской ь-алгеброй; обратно, каждая алгебра с вполне конечной мерой полна.(У к аз а н и е. Пусть Š— множество всевозможных конечных соединений элементов из Е. Положим а = зцр (Р(Е):Еб Е) и построим последовательность (Е„) элементов из Е, такую, что «!щр(Е„)=а; искомым соединением является множество Е = 0 Еч.) я=! 4.
Результат упр. 3 остается справедливым для алгебр с вполне е-конечными мерами. 5, Если р — расстояние в метрическом пространстве 3 кольца с мерой (8, р), то р инвариантно относительно сдвигов в том смысле, что р(едО, Ра!з) = р(е, Р), если е, Р и 0 принадлежат 3. % оо. кольца с меРОЙ 6. Если взаимно-однозначное отображение Т кольца с мерой (8, р) на кольцо с мерой (Т, «) таково, что Т(Š— Е) = Т(Е) — Т(Е), Т(Еи Е) = Т(Е)() Т(Е) и р (Е) = (Т(Е)), когда Е и Р принадлежат 8, то Т есть изоморфнзм. 7. Если взаимно-однозначное отображение Т кольца с мерой (8, р) на кольцо с мерой (Т, ч) таково, что р(Е) = ч (Т(Е)) и Е ~ Р тогда н только тогда, когда Т(Е)с- Т(Г~, то Т есть изоморфизм. 8.
Метрическое пространство о« с расстоянием р нззывается выпуклым, если для любых двух различных злементок Е и Р из 5 существует такой злемент О, отличный от Е и Р, что р (Е, Р) = р (Е, О) + р (О, Р). Метрическое пространство кольца с о-конечной мерой выпукло тогда и только тогда, когда зто кольцо неатомическое. 9. Изоморфизм двух колец с мерой является нзометрией их метркческих пространств.
10. Нольцо с вполне о-конечной мерой содержит не более чем счетное множество атомов. 11. Если 3 — метрическое пространство пространства с мерой (Х, 8, р1 и ч — конечная мера на 8, такая, что ч(( и, то функция ч однозначно определена и непрерывна на 3. 12. Если (Х, 8, р) — пространство с о-конечной мерой и (ч„) — последовательность конечных обобщенных мер на 8, такая, что каждая «„ абсолютно непрерывна относительно р и существует конечный Игл ч„(Е) для каждого Е из 8, то функции множества чн равностепенно абсолютно непрерывны относительно и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
