П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 29
Текст из файла (страница 29)
$ 35. ПРОИЗВЕДЕНИЯ МЕР Продолжая изучение декартовых произведений, мы будем теперь в качестве множителей брать пространства с мерой. Теорема 1. Если (Х, 8, Р) и (У, Т, ч) — пространства со-конечными мерами и Š— любое измеримое множество в Х)( У, то функции у и к, заданные соответственно на Х и У равенствами г' (х) = » (Ем) и к (У) = р(Ее), представляют собой неотрицательные измеримые функции, такие, что ~ ~йр= ~ ай». Доказательство.
Если М вЂ” класс всех тех множеств Е, для которых справедлива зта теорема, то, как легко видеть, М замкнут относительно образования счетных соединений непересекающихся множеств, входящих в него. Так как меры р и ч о-конечны, то всякое множество из Бр, Т может быть покрыто счетным числом непересекающихся измеримых прямоугольников со сторонами, мера которых 4 ы.
и' оизввдвний мйг конечна. Поэтому, если бы нам удалось доказать, что всякое измеримое подмножество измеримого прямоугольника со сторонами конечной меры входит в М, то отсюда следовало бы утверждение теоремы, т. е. что любое измеримое множество входит в М.
Другими словами, мы свели доказательство к случаю, когда меры конечны. В этом случае достаточно показать, что в М входят все измеримые прямоугольники (а следовательно, все конечные соединения измеримых прямоугольников) и что М представляет собой монотонный класс. Если Е=АК — непустой измеримый прямоугольник, то 7 = = ч(В))(л и й= р(А))(в. Следовательно, функции 7 н я измеримы и )7'йр = ~ ай« = р. (А) ч (В). То, что М вЂ” монотонный класс, следует из теоремы об интегрировании последовательностей функций, в частности, из теорем 4 $26 и 2 $27, (Возможность применения этих теорем обусловлена тем, что меры )ь и ч конечны.) Так как всевозможные соединения конечного числа непересекающихся измеримых прямоугольников образуют кольцо (см. теорему 5 $33) и так как, по самому определению, класс измеримых множеств является о-кольцом, порожденным этим кольцом, то, согласно теореме 2 $6, все измеримые множества принадлежат М.
Ф Теорема 2. Если (Х, 8, р) и (1', Т, ч) — пространства с е-конечными мерами, то функция множества Л, заданная на множествах Е из 8)(Т равенством Л(Е) = ~ ч(Е ) й)ь(х) = ~ )ь(Ев) бч(у), представляет собой е-конечную меру и обладает твм свойством, что, каков бы ни был измеримый прямоугольник А)(В, Л (А )( В) = р. (А) ч (В). Этим последним свойством функция Л определяется однозначно. Мера Л называется произведением мер )ь и «и обозначается Л = )ь )( «; при этом (Х)( У, 8)( Т, (ь)(«) называется декартовым произведением пространств с мерами (Х, 8, )ь) и (У, Т, «).
Д о к а з а т е л ь с т в о. То, что Л есть мера, следует из теоремы 2 э 27 (см. также упр. 2 $27). Мера Л а-конечна, так как всякое измеримое множество з Х)( У может быть покрыто счетным числом измеримых прямоугольников конечной меры. Единственность Л следует нз теоремы 1 й 13. 1. Пусть Х= 1' — единичный интервал, а 8 = Т вЂ” класс борелевских множеств; пусть, далее, н (Е) — лебеговская мера множества Е, а ч (Е) равно числу точек множества Е.
Тогда Р =((х, у):х =у) представляет собой измеримое множество в Х)( 1; такое, что ~ ч(Р ) йн(х) =1 н н(Рв) йч(у) =О.Таким образом, теорема 1, вообще говоря, неверна, если меры не е-конечны. ГЛАВА «1Ь ПРОНЗВВДПННЯ ПРОСТРАНСТВ 2. Произведение двух а-конечных полных мер может не быть полной мерой.
(У к а з а н и е. Пусть Х У вЂ” единичный интервал, М вЂ” неизмеримое множество в Х, у — любая точка из У; рассмотрите множество М)((у); см. также упр. 4 334.) 3. Пусть (Х, 8, Р) — пространство с вполне а-конечной мерой, (1; Т, «)— числовая прямая, Т вЂ” класс всех борелевских множеств и «-лебеговская мера; пусть Л = р )с «. Мы уже видели (см. упр.
5 834), что для любой неотрицательйой измеримой (следовательно, для любой неотрицательной интегрируемой) функцииу множества ординат Уч(г) и У„(у) представляют собой измеримые множества в Х )4 У. Теперь мы утверждаем, что А (У„(г)) = А (Уь (у)) = = ~ удр. (У к а ванне. В силу известных результатов, относящихся к приближению функций простыми функциями и к интегрированию последовательностей, зто равенство достаточно установить для простых функций у.) Само зто равенство может служить определением интеграла ~ у'вн; вием заключена точная формулировка утверждения, что,интеграл равен площади, органиченвой кривой". 4. При условиях, высказанных в предыдущем упражнении, графнкизмеримой функции имеет меру нуль.
(Указание. Достаточно рассмотреть неотрицательные ограниченные измеримые функции на пространстве с вполне конечной мерой; для ннх справедлив результат предыдущего упражнения.) 5. Если (Х, 8, Р) н (У, Т, «) — пространства с а-конечными мерамн и А=э)4 «, то для любого множества Е из Н(8)(Т) значение Ав(Е) равно нижней грани сумм вида ~~«' А(Ея), где (Е„) — последовательность измев=1 римых прямоугольников, покрывающая Е. (Указание.
См. упр. 3 $33, теорему 1 310 и упр. 5 58.) $36. ТЕОРЕМА ФУБИНИ В этом параграфе мы рассмотрим связь между интеграламн по произведению пространств н интегралами по множителям. Всюду в этом параграфе мы предполагаем, что (Х, $, р) и (У, Т, ч) — пространства с о-конечными мерами, а А = РХ« — произведение мер, заданное на 8 зс' Т. Если функция Ь на ХК У такова, что для нее имеет смысл интеграл по этому пространству (например, если Ь интегрируема нли измерима и неотрицательна), то такой интеграл мы будем записывать / Ь(х, у)~ТА(х, у) или ~ Ь(х, у)Ф(1«Кт)(х, у) и называть двойналг интегралом функции Ь. Если функция у такова, что для нее существует интеграл ) Ь„(у) о«(у) =у (х), причем и ~ ~Яр имеет смысл, то мы будем писать ~ у ор = ~ ) Ь (х, у) Е«(у) с)р (х) = ) Ер (х) ~ Ь (х, у) г(ч (у). !45 чае.
теОРемА Фувиии Подобным же образом определяется ) ~ Ь (х, у) д1ь (х) сЬ (у) нли г4т(у) ) Ь(х, у) дй(х), как интеграл (еслн он существует) функции д на У, определенной равенством а (у) =- ) Ь" (х)дй(х). Интегралы ~' ~' Ьф.дч и ~' ~ Ьд~ дй называются повторными интегралами функции Ь. Двойной и повторные интегралы функции Ь по измеримому множеству Е в пространстве Х)( 1', т. е.
соответствующие интегралы функции Ьтя, обо~~с!Л, ( ( Уд1 Ь ( ~ УЬдр,. Всякое Х-сечение (множества или функции) определяется выбором точки х из Х. Поэтому, говоря, что некоторое утверждение верно для „почти всех Х-сечений", мы будем подразумевать, что Х-сечения, для которых это утверждение неверно, отвечают некоторым точкам х, образующим множество меры нуль. Подобный же смысл мы будем вкладывать в выражение „почти все 1'-сечения". Если некоторое утверждение справедливо одновременно для почти всех Х-сечений и для почти всех У-сечений, то мы будем просто говорить, что оно верно для почти всех сечений.
Начнеы с того, что установим один простой, но важный результат. Теорема 1. Множество Е в Хк', г' имеет меру нуль тогда и только тогда, когда почти все его Х-сечения (или почти все у-сечения) имеют меру нуль. До к а з а те л ь с т в о. Согласно определению произведения мер, ~ у(Е )с!а(х), Л(Е) = ~ р.(Е") г(ч(у). Если Л(Е)=0, то интегралы в правой части конечны, и, в силу теоремы 2 $ 25, неотрицательные подинтсгральные функции справа должны почти всюду обращаться в нуль. Обрзтно, если хоти бы одна из подинтегральных функций равна нулю почти всюду, то Л (Е) = О.
+ Теорема 2. Если Ь вЂ” неотрицательная измеримая функция на Хр' ,1', то ~ Ы (р, 1( У) = ~ ~ Ь ф. дч = ~ ~ Ь г4ч с(й. До к а за тел ь с тв о. Если Ь вЂ” характеристическая функциякакогонибудь измеримого множества Е, то ) Ь (х, у) сЬ (у) = ч (Е ) и ) Ь (х, у) г!1ь (х) = 1ь (Е"), ГЛАВА ЧП. ЙРОИЗВВДВНИЯ ПРОСТРАНСТВ и наше утверждение следует, из теоремы 2 й 35. В общем случае мы возьмем возрастающую последовательность неотрицательных простых функций (Ь„), сходящуюся всюду к Ь (см. теорему 2 й 20). Так как всякая простая функция представляется в виде линейной комбинации характеристических функций, то утверждение теоремы верно для функций Ь„.
Согласно теореме 2 й 27, Пш ) Ь„л!Л = ~ Ь АЛ. Уп (х) = ~ Ь„(х, У) д«(У), Если то из свойств последовательности (Ь„) вытекает, что (уп) представляет собой возрастающую последовательность неотрицательных измеримых функций, сходящуюся к ) (х) = ) Ь(х, у)д«(у) при любом х (см. теорему 2 й 27). Отсюда следует, что функция 7 измерима (и, очевидно, неотрицательна); еще раз применяя теорему 2 й 27, мы получим равенство !!ш ~~„гур= ~)'ар. ные равенствами )'(х) = ~ Ь(х, у) с!«(у) и д(у) = ) Ь(х у)с!р(х) интегрируемы и 1Ьд(рХ.)= 11др= 1дд..
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как действительная функция интегрируема тогда и только тогда, когда интегрируемы ее положительная и отрицательная части, то достаточно рассмотреть случай неотрицательной Ь. В этом случае требуемый результат следует из теоремы 2. Интегралы неотрицательных функций 7 и д оказываются конечными, следовательно, сами ) и я †интегрируемы. Отсюда вытекает, что 7 и д почти всюду конечны и,следовательно, почти все сечения функции Ь интегрируемы.
4 1. Пусть Х вЂ” множество мощности !Чг, $ — класс всех его конечных нли счетных подмножеств н их дополнений; Р задана нв $ таким образом, что для любого А из $ значение Р (А) равно О, если А конечно нлн счетно, н 1, если А несчетно. Положим теперь (); Т, «) = (Х, $, Р) н возьмем в Х ~ У Мы доказали, что двойной интеграл совпадает с одним из повторных интегралов; совпадение его с другим повторным интегралом устанавливается точно так же. ч Следующий результат называется теоремой Фубини.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
