П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Грубо говоря, ч (( Р означает, что значения ч малы, коль скоро малы значения Р. Следует обратить внимание на известное отсутствие симметрии в точном определении; малость Р выражена условием, наложенным на ее полную вариацию. Мы сейчас покажем, что это отсутствие симметрии только кажущееся. Теорема 1. Если Р и ч — обобщенные мера, то условия (1) ч (( Р, (2) «+ ((Р и ч ((Р, )ч) (( ) р) (3) эявивилентна между собой Доказательство. Если выполняется (1), то «(Е)=0, коль скоро ! Р ~ (Е) = О. Пусть Х= А Ц В вЂ” разложение в смысле Хана по отношению к ч; тогда если ~Р)(Е) = — О, то 0<!Р)(ЕГ1А) (! Р((Е) =0 и О <~Р~(ЕПВ) <~Р!(Е)=О, следовательно, ч+ (Е) = ч (Е П А) = О, ч- (Е) = ч (Е () В) = О, т.
е. выполняется условие (2). То, что (2) влечет за собой (3) и (3) влечет за собой (1), вытекает соответственно из соотношений /ч/(Е)=ч+(Е)+ч-(Е) и 0~(~ч(Е)!~( 1«~(Е). Ф ГЛАВА ч1. Онщиз Функции множвстВА Следующая теорема устанавливает связь между общим определением абсолютной непрерывности и тем определением, которое мы имели в $ 23 (для конечных функций множества). Эта теорема по существу утверждает, что фразе „значения ч малы, коль скоро малы значения р" можно придать иную точную интерпретацию, эквивалентную первоначальной, хотя внешне отличную от нее. Теорема 2. Пусть р и ч — обобщенные меры, причем ч конечна и ч((р.
Тогда для всякого положительного числа а найдется такое положительное число 6, что ~ч~(Е)(е для всякого измеримого множества Е, для которого ~р~(Е) (6. Доказательство. Предположим, что для некоторого а)0 можно найти последовательность измеримых множеств (Е„), такую, что 1р ~(Е„) ( †„ и (ч((Е„))~ е, и 1, 2, ...
1 Если Е = Иш анр Е„, то 11 )р~(Е)( ~~~~~ Иь((Еч)( 2'-', и=1, 2, ..., откуда 1р)(Е) = О. С другой стороны, так как ч конечна, то 1 ч ~ (Е) = Иш /ч / (Е„И Е„+, ()... ) ь Иш зпр ~ ч ! (Е„) )~ е. Это противоречит условию ч (( р; тем самым теорема доказана. Легко видеть, что отношение „((" рефлективно (т.
е. р((р) и транзитивно (т. е. если 1ь,((р и р. ((1ьа, то р,((ра). Две обобщенные меры 1ь и ч называются эквивалентными, если одновРеменно ч (( р и р (( ч. Отношение эквивалентности записывается 1ьш ч, Пусть (Х, 8) — измеримое пространство и на 8 заданы обобщенные меры р и ч. Назовем 1ь и ч взаимно сингулярными, если в Х существуют непересекающиеся множества А и В, такие, что А() В=Х и, каково бы нн было измеримое множество Е, множества А ПЕ и В ПА измеримы и (1ь1(А ПЕ) =~ч)(В()Е) =0; отношение сингулярности условимся записывать р ! ч. Несмотря на симметрию этого отношения, часто удобнее бывает говорить, что мера ч сингулярна относительно р. Сингулярность ч относительно 1ь представляет собой как бы крайнюю форму отрицания абсолютной непрерывности ч относительно р.
В самом деле, при 1ь 1 ч, если, например, ~р ~(Е)=0, то не только отсюда не следует равенство ~ч((Е)= О, но вообще мера )ч( способна быть отличной от нуля лишь на тех множествах, на которых (р! равна нулю. В заключение этого параграфа введем еще одно новое обозначение. Традиционный термин „почти всюду", которым мы уже неоднократно пользовались, вполне удовлетворителен в тех случаях, когда $ Вз. АБСОЛЮТНАЯ ННПРБРЫВНОСТЬ мы имеем дело с одной мерой.
Однако уже при рассмотрении понятий абсолютной непрерывности и сингулярности мы по необходимости сталкиваемся с несколькими мерами, и для того, чтобы не повторять часто выражений вроде „почти всюду по отношению к р", условимся применять следующее обозначение. Пусть п(х) †как-нибудь предложение, которое может быть отнесено к любой точке х измеримого пространства (Х, 8), и 9 в обобщенная мера на 8; тогда к(х) [р.) или к [р,) будет означать, что если Š— множество всех тех точек х, для которых я(х) неверно, то [р[[Е)=0.
Так, например, если у и д— функции, заданные на Х, то ~=у [р) означает, что [х:у (х) + л(х)) представляет собой измеримое множество меры нуль относительно ! р ~. Символ [р) можно читать: „по модулю р". 1. Пусть р — обобщенная мерз, у — функция, интегрируемая относительно Р; если ч задана на измеримых множествах посредством равенства ч (Е) = / у г(Р (см. упр. 7 929), то ч (( Р. й 2. Пусть (Х, 8, Р) — единичный интервал с лебеговской мерой. Положим 1 1 Р = [ х: О < х ( — 1 и зададим функции уг, Рз и функции множества Рг, Рт 2) следующим образом: уг (х) = 2ул (х) — 1, уз (х) = х; Рг (Е) = [ У) йр, 1 = 1, 2.
тогда Рз (( Рп Однако из Рг (е) = О, вообще говоря, не следует, что Рз (е)=О. 11 Если бы Рз было определено, например, так: Рв(Е) = ~ (уз — — ~др, то из 2) Ж Р (Е) = 0 вытекало бы Рз (Е) = О. 3. Какова бы ни была обобщенная мера Р, вариации Р ь и р- взаимно сингулярны и обе они абсолютно непрерывны по отношению к Р. 4. Какова бы ни была обобщенная мера Р, всегда Р=[Р[. 3. Если Р— обобщенная мера и Š— измеримое множество, то [Р[(Е) = 0 тогда и только тогда, когда и (Р) = 0 для всякого измеримого подмножества Р множества Е. 6. Если Р и ч — любые две меры на каком-либо е-кольце 8, то и (( Р+ ч 7. Пусть уг и уз — интегрируемые функции, заданные в пространстве. (Х, 8, Р) с вполне конечной мерой, и Рг — неопределенный интеграл от До 1 = 1, 2. Тогда если Р ((х:уг (х) = 0) а (х:уз (х) 0)) = О, то рг = Рз.
3. Пусть ф — канторова функция (см. упр. 3 919), Рз — порожденная ею мера Лебега — Стильтьеса на борелевских множествах единичного интервала (см. упр. 9 915). Если Р— лебеговская мера, то Ре и Р взаимно сингулярны. 9. Если Р и ч — обобщенные меры, причем ч (( р и в то же время ч ( Р, то « = О. 10. Пусть чи чз и р — конечные обобщенные меры; если ч, и ч, сингулярны относительно Р, то чг+чз также сингУлЯРна относительно Р.
(У казание. Пусть Х=АгЦВг и Х=Аз()Вт — такие разложения, что [Р.[ обращается в нуль на всех измеримых подмножествах множеств Аг, а [ч,[ — на измейимых подмножествах множеств Вп 1=1, 2; тогда Х = [(Ахй Аз) [) (АхП Вз) () (Азй Вг)1[) (ВгПВз) будет представлять собой соответствующее разложение для Р и ч.) глава ук овщие екнкции множества 72В 11. Пусть р и ч — меры на какой-либо юалгебре $, такие, что и конечна и ч (( р.
Тогда существует измеримое множество Е, обладающее следующим свойством: Х вЂ” Е есть множество ч-конечной меры по отношению к ч и, каково бы ни было измеримое подмножество Е множества Е, «(Р) равно либо О, либо со. (Указ ание. Е строится методом исчерпывання (см. упр. 3 б 17), исходя нз условий: ч должна равняться О или оэ на измеримых подмножествах Е и и должна принимать на Е свое наибольшее значение; требуемое свойство множества Х вЂ” Е устанавливается также методом исчерпывання.) 12. Теорема 2 мозкет нарушиться, если не предполагать, что ч конечна.
(У к а з а и и е. Пусть Х вЂ” множество всех целых положительных чисел; положим н(Е) = ~ 2 " ч(Е) = ~~~~ 2".) вся пчя $31. ТЕОРЕМА РАДОНА — НИКОДИМА Т е о р е м а 1. Если р и ч — вполне конечные меры, причем ч((Р и ч не равна нулю тождественно, то существуют положительное число а и измеримое множество А, такие, что р(А) ) О и А положительно по отношению к обобщенной мере ч — вр,.
До к аз а т е л ь с т в о. Пусть Х= А„)) „— разложение в смысле 1 Хана по отношению к обобщенной мере ч — — р, и=1, 2, ... По- ложим СО со Ао — ОАв> Во= ПВп Тогда, так как В„с=В„, то О ( ч (Ве) ( — Р (Во), п = 1, 2, ..., и, следовательно, ч(В ) = О. Отсюда следует, что «(Ао) > О и, в силу абсолютной непрерывности ч относительно Р, р(Ае) > О. Следовательно, р(А„) ) О хотя бы для одного значения п; остается для такого п 1 положить А = А„и е = —. л Теперь мы установим основной результат, касающийся абсолютной непрерывности; это — так называемая теорема Радона — Никодима.
Теорема 2. Пусть (Х, Б, Р) — пространство с вполне е-конечной мерой. Если о-конечная обобщенная мера ч, заданная на $, абсолютно непрерывна относительно р, то на Х существует конечная измеримая функция у, такая, что (Е)=~ Уйр и для любого измеримого множества Е. Такая функция у единственна, е том смысле, что если ч(Е) = ~ ядр. для всякого измеримого Е, то Т = д !р.]. 9 Зь твОРвмА РАДОНА — никОдимА Следует особо отметить, что интегрируемость г при этом не утвер- ждается; 7' будет интегрируемой, очевидно, тогда и только тогда, когда а конечна. Впрочем, употребляя символ ) У'др, мы тем самым Ж в неявной форме утверждаем (см. э 25), что хотя бы одна из функ- ций 7+ и Г интегрируема; если интегрируема 7+, то конечна верхняя вариация ч+ обобщенной меры э, если интегрируема 7 , то конечна нижняя вариация ч-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
