П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 26
Текст из файла (страница 26)
йоказательство. Так как Х представляет собой соединение счетного числа измеримых множеств, на каждом из которых н и э конечны, то, не нарушая общности доказательства, можно с самого начала предположить, что обе рассматриваемые обобщенные меры конечны. Так как ч конечна, то функция 7 ннтегрируема, и единствен- ность 7, в указанном смысле, следует из теоремы 5 й 25.
Наконец, предположение т ((р эквивалентно совокупности условий э+ ~«' 1А, э ((й, поэтому существование Г достаточно доказать в том случае, когда р и э являются конечными мерами. Пусть е7У' — множество функций T на Х, обладающих следующими свойствами: у неотрицательны, интегрируемы относительно р. и ~Ы1ь~ч(Е) для всякого измеримого множества Е. Положим я=вар(ГИ'.УЕ,ЯГ1 и возьмем последовательность функций (Я из в7У', такую, что 1пп ) ~„а~р = а. Пусть Š— произвольное измеримое множество, л — любое целое поло- жительное число и л„=7, ()... () У„.
Тогда Е можно представить в виде соединения л непересекающихся измеримых множеств, Е =Е, ()... Ц Е„, таким образом, что л„(х) =гг (х), когда х принадлежит Е~, / = 1,..., л. Следовательно, н в ~Е Ф =.к~а ~ у~4 (Х»(Е~) =г(Е). д=г Положим Уо(х)= анр(~„(х): л 1, 2, ...). Тогда Д (х) = 11шЕ (х) э и, согласно теореме 2 э 27, Д~ОЯ' и ~ДЫр=и.
Так какуе инте- грируема, то существует такая конечная функция 7, что Д=у [н]; теперь мы покажем, что если эа(Е) =ч(Е) — ) ~И~А, то мера Ж тождественно равна нулю. глава чй овщии ернкции множвстйа Если бы чр не обращалась в нуль тождественно, то, в силу теоремы 1, можно было бы указать положительное число а и измеримое множество А, такие, что р(А) ) 0 и ар (Е Й А) ~»о (Е П А) = ч (Е П А) — ~ у «р.
дПл дла любого измеРимого множества Е. Тогда, положив Е=~+а)(л, мы получили бы для любого измеримого Е [ к ф. = '[ у «р+ ар(Е П А) ~( ~ у «р+ ч (Е [) А) ~( ч (Е), и и е-л т. е. Е~ е®'. Но ~ Е «р = ) у «р+ ар. (А) ) а, то противоречит выбору функции у. 1. Если (Х, 8, р) — пространство с мерой н ч(Е) = [ у «р для любого и измеримого множества Е, то Х = (х: у'(х) ) О) () (х: у (х) ~ О) представляет собой разложение в смысле Хана по отношению к ч. 2. а) Предположим, что (Х, 8) — измеримое пространство, а р и ч — вполне конечные меры на 8, причем ч~~' р. Если р=р+» и ч(Е)= у«р для любого Е из 8, то 0~~(х) (1 [р[.
б) Если ~ ««ч= ~ уа «р для любой неотрицательной измеримой функции л, то ч(Е) = ) — «р, каково бы ни было измеримое множество Е. г — 31 — У (Указание. Записав сделанное предположение в виде ~ л(1 — у)«ч= Хи = ~ уя«р, положим, дая заданного Е, « = — .) 1 — У 3. Пусть (Х, 8, р) — единичный интервал с лебеговской мерой и М вЂ” какое-нибудь его неизмеримое подмножество. Пусть, далее, (ав 6») и (аз, рз) — две пары положительных чисел, таких, что а»+рг аз+уз= 1 и р», 1= 1, 2,— продолжения меры р, заданные с помощью а» и ре как зто указано в упр. 2,е' 6 16, на з-кольце 8, порожденном классом 8 и множеством М.
Тогда существуют такие измеримые функции У» и уз, что р» (Е) = [ у» «рз и ра(Е) = ~ уз «р, для любого измеримого множества Е. Как строятся функции уз и уз) 4. Теорема Радона — Никодима справедлива в том случае, когда р представляет собой обобщенную меру. (Указание. Пусть Х=А() — разложение в смысле Хана по отношению к р; применить теорему Радона — Никодима отдельно к ч и р+ на множестве А и к ч и р- на множестве В.) 1 зк тйовйыа вхдбил-ии«бдиыл 5. Пусть р — вполне е-конечная обобщенная мера. Так как р+ н рабсолютно непрерывны как относительно р, так и относительно ] р ~, то Функции у+, йь, у н е удовлетворяют соотношениям у+ «ь [р] и у =й [р]. Как строятся эти функции1 6 ь 6 6 ч,,(ь [гч ) )(е)=1 еч) ) Ю любого измеримого множества Е, то й = ]У[[4.
7. Теорема Радона — Никодима спрзведлива и тогда, когда ч нее-конечна, но в этом случае функция у может принимать бесконечные значения. (У к азание. Достаточно рассмотреть тот случай, когда ч представляет собой меру, а р конечна; в этом случае пользуемся упр. 11 б 30.) 8. Теорема Радона — Никодима, вообще говоря, неверна тогда, когда гь не вполне е-конечна, даже если при этом ч конечна.
(У к а ванне. Пусть Х вЂ” какое-нибудь несчетное множество, а 8 — класс тех его подмножеств, которые либо сами конечны или счетны, либо имеют конечные или счетные дополнения. Для любого Е из 8 положим р (Е) равным числу точек в множестве Е, а «(Е) положим равным О, если Е конечно или счетно, и равным 1, если Е несчетно.) 9. Пусть (Х, 8) — измеримое пространство, р и ч — заданные на 8 е-конечные меры, такие, что ч (( р. Тогда теорема Радона — Никодима может быть применена отдельно к каждому измеримому множеству, и возникает вопрос, нельзя ли задать на Х функцию у так, чтобы она служила подинтегральной функцией в теореме Радона — Никодима сразу для всех измеримых множеств. Следующий уродливый пример показывает, что это, вообще говоря, невозможно.
Возьмем какое-нибудь несчетное множество А мощности в и множествоВ мощности р) а. В качестве Х возьмем множество всех упорядоченных пар (а, Ь), где ачА и ЬбВ. Множество вида ((а, Ьь):абА) условимся называть горизонтальной линией, множество вида ((аь, ь): ь о В) — вертикальной линией. Пусть 8 — класс всех тех множеств Е, которые могут быть покрыты конечным или счетным числом горизонтальных и вертикальных линий Е и, кроме того, обладают тем свойством, что либо ЕПЕ, либо Š— Е не более, чем счетно.
Для любого Е из 8 положим р(Е) равным числу горизонтальных и вертикальных линий Е, таких, что Š— Е конечно или счетно, а ч(Е) — равным числу вертикальных линий с тем же свойством. Очевидно, что р и ч — е-конечные меры и ч (( р. Допустим теперь, что на Х можно задать такую функцию Д что ч(Е) = ~ уйр для любого Е из 8. Легко и видеть, что множество М = (х:у'(х) = О) должно иметь конечное или счетное пересечение со всякой вертикальной линией и в то же время, какова бы ни была горизонтальная линия Е, Š— М должно быть конечно или счетно, Из первого условия вытекает, что мощность множества М не может превзойти а1(э = и, а из второго, — что эта мощность не меньше 3(а — )(э)е р. 10.
(1. С. ОхгоЬу) Меру р в пространстве (Х, 8, р) можно подчинить условию, более слабому, чем полная е-конечность, и более сильному, чем а-конечность, при выполнении которого справедлива теорема Радона — Никодима. Это условие состоит в том, что пространство может быть представлено в виде соединения непересекающихся измеримых множеств конечной меры, образующих класс )У, такой, что всякое измеримое множество может быть покрыто, с точностью до множества меры нуль, конечным или счетным числом множеств из В. Приведем пример пространства с не вполне е-конечной мерой, удовлетворяющего высказанному условию. ГЛАВА чг.
Овщив Функции множнствА В качестве Х возьмем эвклидову плоскость, в качестве 8 — класс всех тех множеств, которые можно покрыть конечным илн счетным числом горизонтальных прямых и пересечение которых с каждой такой прямой измеримо в смысле Лебега (на прямой).
Если Е из 8 помещается на одной горизонтальной прямой, то р(Е) полагаем равной лебеговской мере множества В на втой прямой; для произвольного Е из 8 значение р(Е) определяется однозначно свойством счетной аддитивности. !1. Если в упр. 9 положить В = А, а мощность этого множества равна )Чз (= наименьшая несчетная мощность), то мы не придем к противоречию. В самом деле, в этом случае Х содержит множество Е, обладающее тем свойством, что если А — произвольная вертикальная линия, то Е()А конечно или счетно, а если А' — произвольная горизонтальная линия, то А' — Е конечно или счетно.
(У к а за н не. Пусть А вполне упорядочено, т. е. каждому элементу а множества А поставлено в соответствие некоторое порядковое число 1(а)к. Я (где Я вЂ” наименьшее несчетное порядковое число), и соответствие между А и множеством всех чисел, меньших й, взаимно однозначно. Тогда Е= ((а, Ь):1(а))1(Ь)).] 12. Если р — вполне конечная мера н э(Е) = уйр для любого нзме- римого множества Е, то В (г) = (х:у(х) <г) представляет собой отрицательное множество по отношению к обобщенной мере э — гр (см. упр. 1 выше). теорему Радона — никодима можно доказать иначе, восстановив функцию у по заданным множествам В(г) (см. упр. 10 818).
Основная трудност~ этого доказательства состоит в том, что отрицательные множества определяются не единственным образом. Трудность эту можно частично устранить, выбрав для всех т множества В(т) так, чтобы значения р(В(Г)) были наименьшими. и 82. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ОБОБП(ЕННЫХ МЕР Для функций, фигурирующих под знаком интеграла в теореме Радона — Стильтьеса, часто употребляется весьма выразительное специальное обозначение. Если Р— вполне о-конечная мера и если «(Е) = ) у ДР для любого измеримого множества Е, то мы будем и писать дт — или дт =~др, др а самое функцию )' называть производной Радона — Стильтьеса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
