П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Еще проще доказательство счетной аддитивности неопределенного интеграла. В самом деле, в обозначениях предыдущего абзаца утверждение теоремы 9 9 23 получзется непосредственно применением теоремы 2 9 24 к последовательности простых функций. Доказательства теорем 1 — 3 9 24 основаны на самих результатах, а не на доказательствах предыдущего параграфа, следовательно, эти теоремы оказываются справедливыми и в общем случае. 105 % гь.
интегРиРуемые Функции Будем говорить, что последовательность интегрируемых функций ( у„) сходится в среднем к интегрируемой функции г, если р® у„) = ~ (у — у„(ир-+ 0 при и-+со. Наш первый результат, относящийся к этому понятию, как по своей формулировке, так и по методу доказательства очень близок к теореме 1 й 24. Теорем а 1. Если последовательность интегрируемых функций (г„) сходится в среднем к У, то (1„) сходится к г также по мере.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если для произвольного положительного числа е положим Е„= ( х: ( г (х) — Гп (х) ~ )~ е ), ') (1 — Г (дрР- ) (У вЂ” У )др>ар(Е„), то ) У"а~а=О. Доказательство. Так как ) г ду.= ~ у,уий, а характеристи- Ж ческая функция множества меры нуль почти всюду равна нулю, то сформулированное утверждение следует из теоремы 2. чь следовательно, р,(Е„) -+ 0 при и -+ оо. эь Теорема 2. Если интегрируемая функция у почти всюду неотрицательна, то ) ~д1ь = 0 тогда и только тогда, когда 1'=О почти всюду.
Доказательство. Если у=О почти всюду, то в качестве последовательности интегрируемых простых функций, сходящейся по мере к у, можно взять последовательность функций, тождественно равных нулю; отсюда будет следовать, что ) ~с(1ь= О. Чтобы доказать обратное, заметим, что если фундаментальная в среднем последовательность интегрируемых простых функций (у„ ) сходится по мере к у, то все у„ можно считать неотрицательными, так как вместо у„ можно взять (у'„(.
Условие ~ ус(1ь = 0 влечет за собой 1пп ) у„с(1ь = О, т. е., в силу неравенств У„)~ О, (Г„ ) сходится в среднем к О. Согласно теореме 1, (у„ ) сходится к 0 по мере, и из теоремы 3 й 22 следует, что у = О почти всюду. чь Теорема 3. Если У' — интегрируемая функция и Š— множество меры нуль, то ГЛАВА Ч.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ Теорема 4. Если интегрируемая функция 1' положительна почти всюду на некотором измеримом множестве Е и ~1й11=0, то 11 (Е) = О. Доказательство. Положим Ро — — (х: г(х))0) и Р„= 11 = ( х: ~(х) )~ — (. Согласно условию теоремы, множество Š— Ре имеет меру нуль, поэтому нам достаточно будет доказать, что 11(Е П Рр) = О.
А это следует из неравенств О= ( Уйр)~ — „р(ЕПР„))~0 иПР и соотношения Р ЦР„, откуда р. (Е П Ро) ( Х р (Е П Рв) гь и=1 Теорема 5. Если ~ — интегрируемая функция, такая, что г й11=0 для всякого измеримого множества Р, то 1 =О почти всюду. Доказательство. Если Е=(х: У(х) ) 0(, то, согласно условию теоремы, ( гй11=0 и, в силу предыдущей теоремы, 1ь(Е)=0. Применяя то же рассуждение к функции — г, придем к заключению, что и множество (х:1(х)(0( имеет меру нуль.
ьь Теорема 6. Если г" — интегрируемая функция, то А1Ц)= =(х: г (х) ~ 0) есть множество о-конечной меры. Доказательство. Пусть (у„) — фундаментальная в среднем последовательность интегрируемых простых функций, сходящаяся по мере к г. При любом и = 1, 2, ...
множество М(У„) имеет конечную меру. Если Е = МЯ вЂ” Ц М(У'„), а Р†произвольн измеримое и=1 подмножество множества Е, то из равенства ( Уй11=1пп ~ У„игр. Р У и теоремы 5 следует, что г'= О почти всюду на Е. А так как, в силу определения множества М(Д, функция у отлична от нули на Е, то % за. интегРиРуемые Функции уоу р(Е) =О. Отсюда и из соотношения Д(йс= 0Дг(1.) () Е в=1 следует утверждение теоремы. эь Иногда оказывается целесообразным применять символ ) ус((ь и к некоторым неинтегрируемым функциям. Так, например, если у †не- интегрируемая измеримая функция, принимающая конечные или бесконечные значения, и ~~~ 0 почти всюду, то мы полагаем ) уа(ь= со. Наиболее широкий класс функций, для которых можно разумно определить ) у й(ь, образован теми у, для которых хотя бы одна из функций у+ и г' интегрируема.
Для них мы полагаем В правой части этого равенства только одно из слагаемых ) у~ф. и ) у б(ь может быть бесконечно, поэтому значение ) уа(ь может быть конечно или бесконечно, но оно не может свестись к неопределенному выражению оо — со. Мы будем в дальнейшем пользоваться таким расширенным понятием интеграла, хотя сам термин „интегрируемая функция" всегда будет употребляться в его первоначальном смысле. Е Если Х вЂ” пространство, состоящее из целых положительных чисел (см., например, упр. 4 4 22), то заданная на нем функция у интегрируема тогда и только тогда, когда ряд ~ у (и) сходится абсолютно.
Если это услов=1 вне выполнено, то ~ Уби = ~~~~ ~у(а). я=э 2. Если у в неотрицательная интегрируемая функция, то ее неопределен- ный интеграл представляет собой конечную меру в классе всех измеримых множеств. 3. Если у интегрируема, то, каково бы ни было в) О, Р (( х: ( у (х) ! ~~ г )) ( со. 4. Пусть я — конечная, возрастающая и непрерывная функция действи- тельного переменного и ря — индуцированная ею мера Лебега — Стильтьеса (см.
упр. 9 5 15). Если у — функция, интегрируемая относительно этой меры, то ~ у(х) бил(х) называется интегралом Лебега — Стильтьеса функции у относительно я и обозначается ~ у(х) ая(х). В частности, если е(х)ых, ГЛАВА Ч. ИНТЕГРИРОВАНИЕ то мы приходим к интегралу Лебега, который обозначается ~ у(х)дх. Если у — непрерывная функция, для которой множество АГ(у) ограничено, то у — интегрируема в смысле Лебега.
й йй. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ Теорема 1. Если (у„) — фундаментальная в среднем последовательность интегрируемых простых функций, сходящаяся по мере к интегрируемой функции у, то р(у, у„) = ) ~(1 — у,,)др.-+О при и-+ со. Таким образом, для всякой интегрируемой функции у' и для всякого положительного числа е существует интегрируемая простая функция д, такая, что р(у, д) < е. Д о к а з а т е л ь с т в о. При любом фиксированном целом положительном т последовательность простых функций ((у„ — у )) †фунда-.
ментальная в среднем и сходится по мере к (у — У ). Поэтому ) У Уы ) Ф' = )гю ~ ) 1'е Ты ( ГУ)ь Утверждение теоремы следует из того факта, что последовательность (у„) — фундаментальная в среднем. к Теорема 2. Если ( у „) — сбундаментальная в среднем последовательность интегрируемых функций, то существует интегрируемая функция у', такая, что при и-+со, р(у, уе)-+О, и, следовательно, ~ увар.-+ ~~ Я.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы 1, для всякого целого положительного и найдется интегрируемая простая функция ае, такая, 1 что р(у„, йн) < †. Последовательность интегрируемых простых функций ( Р.„) оказывается, таким образом, фундаментальной в среднем. Пусть у — измеримая (и, следовательно, интегрируемая) функция, к которой (д„) сходится по мере. Имеем и требуемое утверждение вытекает из теоремы 1.
Для того чтобы кратко сформулировать следующую теорему, вспомним введенное в 2 9 для функций множества понятие непрерывности сверху. Конечная функция множества е, заданная на некотором классе Е множеств Е, называется непрерывной сверху в О, если, какова бы ни была убывающая последовательность множеств (Е„) 4 ге. последоватзлъности интяГРиРунмых Функций 109 из Е, такая, что Иш Е„= О, имеет место соотношение Ишч(Е„) = О. Пусть теперь ( ч„) — последовательность конечных функций множества, заданных на Е; будем говорить, что функции»„, образующие зту последовательность, равностепенно непрерывны сверху в О, если для любой убывающей последовательности множеств (Е„) из Е, такой, что ИшЕ„=О, и для любого положительного числа е существует целое положительное т, обладающее тем свойством, что (ч„(Е )) ( е, и=1, 2, ..., коль скоро т) ть. Т е о р е м а 3.
Последовательность интегрируемых функций (у„) сходится в среднем к интегрируемой функции У' тогда и только то да, ко да (~ь) сходится к г по мере и неопределенные интегралы от У„, п=1, 2, ..., равностепенно абсолютно непрерывны и равностепенно непрерывны сверху в О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала необходимость этих условий. Сходимость (~„ ) по мере и равностепенная абсолютная непрерывность неопределенных интегралов устанавливаются соответственно теоремой 1 9 25 и теоремой 3 9 24.
Поэтому нам нужно доказать только равностепенную непрерывность сверху в О. Из сходимости (~„ ) к У' в среднем следует, что, каково бы ни было е ) О, существует целое положительное па, такое, что (» — г„(Ф ( 2 для и) пь. Так как неопределенный интеграл от неотрицательной интегрируемой функции представляет собой меру (см.
теорему 9 й 23), то, согласно теореме 5 99, неопределенный интеграл непрерывен сверху в О. Пусть ( Е„) — какая-нибудь убывающая последовательность измеримых множеств с пустым пересечением; можно указать целое положительное те, такое, что для т)~те .~(») ~ 2 Отсюда если т)~та, то ) (у„(ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
