П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Если, в частности, само пространство Х принадлежит классу измеримых множеств, то определение измеримости7' сводится к требованию, чтобы при любом борелевском множестве М на числовой прямой множество~ '(М) было измеримым. Таким образом, в этом случае, т. е. когда измеримо само Х, функция 7 измерима, если отображение 7 †' переводит множества определенного с-кольца, именно, борелевские множества на числовой прямой, в множества другого заранее выбранного а-кольца, именно, а-кольца 8. Ясно, что понятие измеримости зависит от выбора в-кольца 8, поэтому в тех редких случаях, когда будут рассматриваться несколько а-колец одновременно, мы будем говорить о функциях, измеримых относительно 8, или просто измеримых (8).

Если, в частности, Х есть числовая прямая, 8 — класс борелевских множеств, а 8 — класс множеств, измеримых в смысле Лебега, то функции, измеримые относительно 8, мы будем называть функциями, измеримыми в смысле Бореля, а функции, измеримые относительно 8,— измеримыми в смысле Лебега. Важно подчеркнуть еще, что измеримость функции, так же как измеримость множеств, согласно й 17, зависит лишь от выбора а-кольца 8 и не зависит от того, задана ли на 8 какая-либо мера и если задана, то какие числовые значения она принимает. Можно сказать, что множества и функции деяретируются измеримыми; понятие измеримости — чисто теоретико-множественное, и от теории меры оно совершенно не зависит. Такое положение вещей сходно с тем, что имеет место в современной теории топологических пространств, где некоторые множества можно объявить открытыми, а некоторые функции — непрерывными, не обращаясь к метрике.

Возможность ввести метрику, в терминах которой открытые множества и непрерывность могут быть определены, хотя и представляет известный интерес, но обычно не столь уж существенна. Эта аналогия более глубока, чем может показаться на первый взгляд: читатель, знакомый с определением непрерывной функции на топологическом пространстве Х, вспомнит, что функция 7' называется непрерывной, если отображение 7'-1 переводит открытые множества на числовой прямой (в нашем случае, т. е. когда у принимает 82 глава 1ч. измвгнмыв екнкцнн действительные значения) в множества некоторого заранее выделенного класса, названные открытыми множествами. Понятие измернмости надо распространить на функции, могущие принимать бесконечные значения.

Достигается это тем, что одноточецные множества (оо) и ( — со) на расширенной числовой прямой причисляются к классу борелевских множеств. После этого само определение измеримой функции повторяется дословно. Таким образом, функция, принимающая действительные значения, конечные или бесконечные, измерима, если измеримы множества у-'((со)) и у ' (( — со)), а также М(у) Пу '(М), каково бы ни было борелевское множество М на числовой прямой. Заметим, что класс борелевских множеств с присоединением к нему (оо) и ( — оо) перестает быть о-кольцом, порожденным всевозможными полузамкнутыми интервалами.

Теперь мы займемся изучением измеримых функций и постараемся выяснить все подробности их строения. Весьма полезен следующий предварительный результат. Теорема 1. Функции у на измеримом пространстве (Х, 8), принимаюиьая действительные значения, измерима тогда и только тогда, когда, каково бы ни было действительное число с, множество И([) П (х: у (х) < с) измеримо. Д о к а з а т е л ь с т в о. Высказанное здесь условие необходимо для того, чтобы у была измерима. В самом деле, если М = (г: г < с)— открытая полупрямая от — со до с, то М представляет собой боре- левское множество и (х:у(х) < с) = у-'(М). Предположим теперь, что множество И(/) П (х: у (х) < с) при любом с измеримо.

Если с, и св — действительные числа, причем с, <са, то (х: у'(х) < св) — (х: у'(х) < с ) = (х: с, < у (х) < сг). Таким образом, если М вЂ” полузамкнутый интервал вида [с„сг), то 111(г) Пу'-'(М), будучи разностью двух измеримых множеств, измеримо, Пусть Š— класс всех тех множеств М на числовой прямой, для которых ?ч'(г) Пу '(М) измеримо. Тогда Е представляет собой а-кольцо, содержащее, как мы только что видели, все полузамкнутые интервалы. Следовательно, Е охватывает все борелевские множества, и теорема доказана. ч 1. Теорема 1 остается справедливой, если вместо множеств (х:у(х) < с? рассматривать мноьаества (х гу(х) < с), илв (х гу(х) ) с), влв (х ые(х) ~ с).

[Указание. Если — се<с<со, то, например, (х: у (х) ( с) = П ~х: у (х) < с + — ) .[ 11 2. Теорема 1 справедлива и тогда, когда значения с берутся лишь из некоторого всюду плотного множества действительных чисел. 3. Если у — измеримая функция и с — любое действительное число, то су также измерима. 4. Если Š— измеримое множество, то его характеристическая функция измерима. Верно ли обратное предложение? в ю.

днйствид нлд измнйимыми функциями 83 ()В(С)=Х, ПВ(г) =О, ДВ(г) =В(е). в)в б) в) Обратно, если (В(г)) — класс множеств, обладающий свойствами „а* — „в', то существует единственная функция у; заданная на Х и принимающая (конечные) действительные значения, для которой (х:у(х) ( г) = В (1). (У к а з а н и е. у (х) =! п( (С: х б В (Г)).) 11. Пусть у — измеримая функция, заданная на пространстве (Х, 8, р) с вполне конечной мерой. Если для всякого борелевского множества М на расширенной числовой прямой положить ч (М) = Р (у-г (М)), то ч будет мерой в классе всех борелевских множеств. Если все значения у конечны, то функция е действительного переменного, определенная равенством е(г) = и((х:у(х)ч г)), обладает следующими свойствами: она монотонно возрастает, непрерывна слева, я( — оо) = 0 и «(со) = в(Х); я называется функцией распределения для функции у.

Если я непрерывна, то мера Лебега — Стильтьеса ре, порожденная функцией й (см. упр. 9 615), будет служить пополнением меры м Если у =уз — ларактеристическав функция измеримого множества Е, то соответствующая ей мера ч будет обладать следующим свойством: (М) = уж (1) Р (Е) + ум (О) и (Ег). 6 19.

ДЕЙСТВИЯ НАД ИЗМЕРИМЫМИ ФУНКЦИЯМИ Теорема 1. Если у и й — измеримые Функции, заданные на измеримом пространстве (Х, Б) и принимающие конечные или бесконечные действительные значения, то, каково бы ни было действительное число с, каждое из множеств А = (х: ~ (х) < й (х) + с), В = (х: у'(х) ( д (х) + с), С = (х: у (х) = я (х) + с) 5. функция, тождественно равная отличной от нуля постоянной, измерима тогда н только тогда, когда Х С 5. 6.

Если Х вЂ” числовая прямая и у — заданная на ней возрастающая функция, то у измерима в смысле Бореля. Будет ли измерима в смысле Бореля всякая непрерывная функция? 7. Пусть Х вЂ” чнсловзя прямая и Š— какое-нибудь множество на ией, не измеримое в смысле Лебега; функция у задана следующим образом: у(х) = х, когда хЕЕ, и у(х) = — х, когда хбЕ.

Измерима ли у в смысле Лебега? 8. Если У' — измеримая функция, то, каково бы ни было действительное число с,множество (х:у(х) = с) измеримо. Верно ли обратное предложение? 9. ФункцияД принимающая комплексные значения, называется измеримой, если одновременно измеримы Деу и 1шу. Доказать, что функция у, принимающая комплексные значения, измерима тогда и только тогда, когда, каково бы ни было отнрытое множество М в комплексной плоскости, множество )У(У) ПУ-т (М) измеримо. 10.

Пусть у' — функция на измеримом пространстве (Х, 8), принимающая действительные значения. Для действительных Г положим В (Г) = (х: у (х) ~ Г). Тогда а) из вч г следует В(е) с: В(г), В4 ГЛАВА ЬЧ. ИЗМВРИМЫК ФУНКЦИИ имеет измеримое пересечение со всяким измеримым мнохсеством. Доказательство. Пусть М вЂ” множество всех рациональных чисел. Утверждение теоремы, относящееся к множеству А, следует из соотношения А = Ц [ (х: Г'(х) < г) й (х: г — с < я (х))), гбм а утверждения, относящиеся к В и С,— соответственно из равенств В=Х вЂ” (х: д(х) <4 (х) — с) и С= — А. Теорема 2. Пусть Ф вЂ” измеримая в смысле Бореля функция, заданная на расширенной числовой прямой и принимающая конечные или бесконечные действительные значения, причем Ф(0) = О, а г" — измеримая функция на каком-нибудь измеримом пространстве Х, принимающая конечные или бесконечные действительные значения.

Тогда, если г (х) =у(У'(х)), то 4 представляет собой измеримую функцию на Х. Д о к а з а т е л ь с т в о. Здесь удобнее обратиться непосредственно к определению измеримой функции, нежели пользоваться необходимым и достаточным условием измеримости, установленным в й 18. Пусть М вЂ” произвольное борелевское множество на расширенной числовой прямой. Тогда 4Чф й 4 '(М)=(х:е(Г'(х))~М вЂ” (О) ) = = (х: Т'( ) Е у '(М вЂ” (0)) ). Так как Ф(0)= О, то су '(М вЂ” (0)) = Ф-'(М вЂ” (0)) — (0). Функция ~у измерима в смысле Бореля, поэтому Ф '(М вЂ” (0)) представляет собой борелевское множество и измеримость функции влечет за собой измеримость множества д'(Т) й7 '(м)=дг(Т) й г '(Ф '(м — (О))).

Легко убедиться в том, что при всяком положительном а функция Ф, определенная на всей числовой прямой равенством Ф(г) =)4)', измерима в смысле Бореля. Отсюда следует, что измеримость функции 4 влечет за собой измеримость )4 )". Точно так же измеримы любая целая поло кительная степень измеримой функции и произведение измеримой функции на (действительную) постоянную. Рассматривая измеримые в смысле Бореля функции двух и большего числа переменных и проводя аналогичные рассуждения, мы обнаружим, что сумма и произведение двух измеримых функций представляют собой измеримые функции. Но так как мы еще не ввели понятие измери- а ю. действия над измигимыми егнкциями мости в смысле Бореля для функций нескольких переменных, то эти рассмотрения мы отложим и обратимся к прямому доказательству измеримости суммы и произведения.

Теорема 3. Если у' и д — измеримые функции на измеримом пространстве Х, принимающие конечные или бесконечные действительные значения, то ~+у и Я' также измеримы. Доказательство. Так как смысл выражения у(х)+й(х) и ~(х)й(х) в тех точках, в которых хотя бы одно из значений у (х) и н(х) бесконечно, легко установить, перебрав немногочисленные возможные случаи, то мы сразу ограничимся рассмотрением функций, принимающих конечные значения. (Попутно мы напомним читателю, что в случае у(х)= -оо, н(х)=:,оо сумма у(х)+й(х) не имеет смысла.) Тогда, когда у и и конечны, для любого действительного числа с мы имеем (х: у(х)+н(х) < с) = (х: у(х) ( с — н(х)), и измеримость функции У+д вытекает из теоремы 1, если взять в ней — н вместо д.

Характеристики

Список файлов книги