П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

е. если сушествует такая постоянная с, что множество (х:~ у(х)~ ) с) имеет меРу нуль. Нижняя грань множества тех с, для которых только что высказанное утверждение справедливо, называется существенной верхней гранью функции ~У! н обозначается авр чга1 ( У !. Пусть на пространстве Х с мерой задана последовательность функций (1„), принимающих конечные или бесконечные действитель- ные значения. Предположим, что эта последовательность сходится почти всюду к некоторой функции г'. Это означает, что, каковы бы нн были е) О и точка х из Х вЂ” Е„где Ео — некоторое фиксиро- ванное множество меры нуль (может быть пустое), можно указать такое целое число по=по(х, е), что для всех л)~по у„(х) < — —, если у (х) = — со, 1 ~ у„ (х) — у (х)~ < е, если — оо < у (х) < со, у„(х) ) †, если у (х) = со .

1 Будем говорить, что последовательность функций ( у„), принимающих конечные значения,— фундаментальная почти всюду, если, каковы бы ни были е ) О и точка х из Х вЂ” Еь, где Ео — некоторое определенное множество меры нуль, можно указать такое целое число па= по(х, е), что для всех л)~по и т)~по !~„,(х) — у„(х) ! < е. Очевидно, что если последовательность сходится почт и всюду к некоторой конечной функции, то эта последовательность — фундаментальная почти всюду, и, обратно, всякая фундаментальная почти всюду последовательность сходится почти всюду к некоторой конечной функции.

Далее, если последовательность сходится почти всюду к некоторой функции 1 и одновременно к некоторой другой функции д, то почти всюду у(х) = й (х), т. е. предельная функция единственна с точностью до определения ее на некотором множестве меры нуль. В дальнейшем нам придется иметь дело с различными видами сходимости, и всегда мы будем придерживаться аналогичной терминологии. Коль скоро введено какое-нибудь новое понятие сходимости, т.

е. определено, в каком смысле у'„ оказываются близкими к У' при ГЛАВА щ. измвгнмыи фхнкцин больших п, так без дальнейших пояснений мы будем пользоваться понятием последовательности, фундаментальной в этом новом смыспе, т. е, такой, для которой при больших т и и разность У,„ — ~„ близка в указанном смысле к нулю.

Первым из таких „новых" понятий сходимости появится равномерная сходимость почти всюду. Последовательность функций (У„ ) называется почти всюду равномерно сходящейся к функции г, если существует такое множество Ев меры нуль, что, каково бы ни было в) О, можно указать целое число по — — по(е), обладающее тем свойством, что ) у„(х) — г (х) ) ( а для всех п' пе и для всех х из Х вЂ” Ео. Другими словами, )~„) сходится равномерно (в обычном смысле) вне множества Ео. И в этом случае, как легко проверить, последовательность сходится равномерно почти всюду тогда и только тогда, когда она почти всюду равномерно фундаментальная. Следующий результат, известный под названием теоремы Егорова, устанавливает интересную и очень полезную связь сходимости почти всюду с равномерной сходимостью. Теорема 1. Пусть Š— измеримое множество конечной меры и ) У„) — последовательность почти всюду конечных измеримых функций, сходящаяся почти всюду на Е к конечной измеримой функции ~.

Тогда для всякого а>0 в Е существует измеримое подмножество Р,, такое, что 1ь(г) < а, и на множестве Š— Р последовательность )У'„) сходится к У' равномерно. Доказательство. Исключая из Е, если это нужно, некоторое множество Еа меры нуль, мы добьемся того, что (~„) будет сходиться во всех точках множества Š— Ео. Поэтому мы вправе сразу предположить, что последовательность (~„) сходится к у на всем Е.

Пусть 1 1 Е~~= ) ) ')х: )Уг(х) — У(х) ~ ( т ) тогда Е7сЕа С..., и так как (у„ ) сходится к у на Е, то Е с ИшЕ„ при любом т=1, 2, ... Отсюда следует, что Иш1ь(Š— Е'„")=О, поэтому для некоторого по — — пе(т) а и. сходимость почти всюдь (Номер пе зависит, конечно, от выбора е, но е в этом рассуждении фиксировано.) Если Р= 0 (Š— Еьшо) то множество Р измеримо, Р г- Е и СО ОЪ р(Р) =р(0 (Š— Е„'"„,ю)) < Р, р(Š— Е."и 1) < . гя=г м=1 Каково бы ни было т, если х~Š— Р= Е() 1 1Е„"',1„,1, то хйЕя, где п)~па(т), следовательно, ~~„(х) — у(х))< —. Таким образом, (Я 1 сходится на Š— Г равномерно. ж Теореиа Егорова подсказывает определение почти равномерной сходимости. Будем говорить, что последовательность ( у„) почти всюду конечных измеримых функций сходится почти равномерно к функции у, если для всякого в ) О существует измеримое множе- ство Р, такое, что (ь(Р) < е и (уя) сходится к у равномерно на Р'.

Пользуясь понятием почти равномерной сходимости, теорему Егорова можно сформулировать так: на множестве конечной меры сходимость почти всюду влечет за собой почти равномерную сходимость. Теорем а 2. Если послвдоватвльность измвримыхЯункций (Я сходится к г почти равномерно, то (Я сходится к у почтим всюду. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ря — измеримое множество, такое, 1 Р что (с(г„) < — и на г„ последовательность (Я сходится к у равно- мерно. Положим г: = 1 1 Р„, тогда я=г р(р) <р(р ) < — „, следовательно, (ь(Р) =О и, очевидно, в любой точке х из Р' последовательность (у„(х)) сходится к у (х).

Ф Заметим, что термин „почти равномерная сходимость", к сожалению, вполне установившийся, неудачен, так как он может неверно ассоциироваться со свойствами, имеющими место „почти всюду"; лучше подошло бы название вроде „сходимость, близкая к равномерной". Во всяком случае не следует смешивать почти равномерную сходимость со сходимостью, равномерной почти всюду. 1. для всякой измеримой в смысле Лебега функции у можно найти функцию К, измеримую в смысле Бореля, такую, чтоу(х) =и(х) почти всюду.

(У к аз а н и е. Пусть Е, = (х:у(х) <г), где г — рациональное число. глава ид измнеимык екнкции В силу теоремы 2 й !3, Ее= г,.ЬДГ„, где Є— борелевское множество, а 1Ч„имеет меру нуль. Возьмем борелевское множество ДГ меры нуль, содержащее 0 йгг, и положим г =( О, когда хбПГ, к(х) = У(х), когда х б Ф.) 2. Пусть Š— измеримое множество, такое, что О ( и (Е) (со, (уя) — почти всюду фундаментальная последовательность функций, измеримых и почти всюду конечных. Тогда существуют такая положительная постоянная с и такое измеримое подмножество Е~Е положительной мерм, что 1,5„ (х)! 'с для всех х из Е и для всех и = 1, 2, ...

3. Пусть Š— измеримое множество а-конечной меры и (уя) — последоваз тельность почти всюду конечных измеримых функций, сходящаяся почти всюду на Е к некоторой конечной измеримой функции у. Тогда существует такая последовательность измеримых множеств (Е„), что р(Š— (.) Ез) =О, и на г=г каждом Ег последовательность (уп) сходится равномерно. [Указание.

Достаточно доказать зто предложение для случая и(Е)(со. Пользуясь теоремой Егорова, можно выбрать Ег таким образом, чтобы (у„) сходилась на Ег 1 равномерно и р (Š— 0 Е,) ( —,) г=г п 4. Пусть Х вЂ” множество всех целых. положительных чисел, $ — класс всех его подмножеств. Для Е, принадлежащих Б, положим р(Е) равным числу элементов множества Е. Пусть у„— характеристическая функция множества (1,..., и).

Тогда последовательность (у„) сходится к 1 всюду на Х, но зта последовательность не является фундаментальной в смысле почти равномерной сходимости. Таким образом, теорема Егорова не верна тогда, когда множество Е имеет бесконечную меру. 5. Для всякой существенно ограниченной функции у положим )УЦ = = знр та!(у(. Тогда для того, чтобы последовательность существенно ограниченных функций (у„) сходилась равномерно к у почти всюду, необходимо и достаточно условие 1!щ!уп — у 1 = О. 6.

Образует ли множество % всех существенно ограниченных измеримых функций с нормой !у!= вирта!)У( банахово пространство? й йлй. СХОДИМОСТЬ ПО МЕРЕ В этом параграфе, как и в предыдущем, мы буден рассматривать произвольное фиксированное пространство с мерой (Х, 8, Р).

Теорема 1. Г!усть у и у„, п=1, 2, ...,— конечные измеримые функции на некотором множестве Е конечной меры и Е„(е) = (х: ~~„(х) — у'(х) ! )~ е), где е > О произвольно. Последовательность (Я сходится к у почти всюду на Е тогда и только тогда, когда СО 11 Р1,Е()ОЕ ('))=О каково бы ни было е ) О. а ех сходнмость по мзев Д о к а з а т е л ь с т в о. Последовательность действительных чисел (Г'„(х)) не сходится к действительному числу у'(х) тогда и только тогда, когда существует такое е )О, при котором точка х входит в Е„(е) при бесконечно многих значениях п.

Другими словами, если П вЂ” множество тех точек х, в которых (1„(х)) не стремится к у(х)~ то /11 ЕГ= Ц 1пп зпр Е„(е) =(.)111ш звРЕ„(,~!. с)Ь О !с=1 О Следовательно, для того чтобы Е П П имело меру, равную нулю, (т. е. (Я сходилась бы к г' почти всюду на Е), необходимо и достаточно выполнение равенства р(Е()1!шзпрЕ„(е)) = О при любом е ) О. Окончательно, утверждение теоремы следует из соотношений СО СО СО О(ЕП11шзирЕО(е)) = !с(ЕП П Ц Е (е)) =1!ш1с(ЕП 1ЛЕОс(е)).

О=Г МОО Осуществив напрашивающееся само собой ослабление условия, сформулированного в теореме 1, мы придем к еще одному виду сходимости, с которым часто приходится иметь дело в теории функций. Говорят, что последовательность почти всюду конечных измеримых функций (Я сходится по мере к функции г, если 1! ш р ((х: (1„(х) — у (х) ()~ е)) = О, каково бы ни было е ) О. В соответствии с нашим общим замечанием относительно терминологии (см. в21), функции гы га, ... образуют последовательность, фундаментальную по мере, если, каково бы ни было е) О, й ((х: (г О (х) — ~;„(х) ( )~ е) ) = О при и, т-+ со. Из теоремы 1 прямо следует, что если последовательность конечных измеримых функций сх. дится почти всюду к конечной функции (или является фундаментальной почти всюду) на некотором множестве Е конечной меры, то она сходится на Е также по мере (соотв.

Характеристики

Список файлов книги