П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Измеримость уй' следует из тождества Еь ((у ~ й)а (у ь)з) 1 Для конечных у и д имеют место тождества У 0 й= —,' (У+й'+ ~У вЂ” й'~) У П а = фУ+й — 1У вЂ” й!) 1 откуда, согласно теоремам 2 и 3, из измеримости у и а следует измеримость У'Ц й и У П д. Если для любой действительной (конечной или бесконечной) функции у положить У+ =У() О и У- = — (У П О), то )=)+ — у и )у(=у++~ . Функция у+ называется положительной частью функции у, а 1 ее отрицательной частью. В силу только что сделанного замечания, положительная и отрицательная части измеримой функции являются измеримыми функциями; обратно, функция, у которой измеримы ее положительная и отрицательная части, сама измерима.
1. Пусть у такова, что функция )У~ измерима;измерима лп сама уУ 2. Если Х б 8, то теорема 2 верна н без предположения, что т (0) = 0; другими словами, в этом случае подстановка измеримой функции в функцию, измеримую в смысле Бореля, всегда приводит к измеримой функции. й. Подстановка измеримой функции в функцию, измеримую в смысле Лебега, не приводит, вообще говоря, к измеримой функции даже тогда, гллвл гч. измптимыв акнкции когда ХСБ.
В следующих ниже предложениях намечено доказательство этого утверждения путем построения соответствующего примера неизмеримой в смысле Лебега функции у = в(у), где ч — функция действительного переменного у, измеримая в смысле Лебега, а у — непрерывная возрастающая (в строгом смысле) функция действительного переменного х, 0 ( х (1.
Пусть Х = [О, 1) — замкнутый единичный интервал. Любое х из Х может быть представлено в виде %т «г х= у„— =0,«т«т 3 г=г где «г = О, 1 или 2, 1 = 1, 2,... Тогда, если х с С, где С вЂ” канторово множество (см. упр. 5 $15), то «1=0 или 2, 1=1, 2, ... Пусть п=п(х)— первый индекс, при котором «„ = 1; если таких индексов иет вовсе, то мы положим п(х) =со. Определим теперь функцию ф, положив ф(х) = ~~) —, + — „ г~ь(я (ф называют иногда канторовой функцией): а) Если 0(х (у(1, то О=ф(0) (ф(х) (ф(у)(ф(1) =1. (Указание.
Если х=О «г«з... (у=О 0,6«... и «! =6< при 1 (1(у, то «у(8Л) б) Функция ф непрерывна. (Указание. Если х=О,«а«з..., у= = О, бааз... и «г = бг при 1 (1( /, то ! ф (х) — ф (у) ) ~( 2У ',) в) Для любого х из Х найдется одно и только одно число у, 0 (у(1, 1 такое, что х= — (у+ф(у)); это уравнение определяет у как функцию 2 от х; обозначим ее у. Она строго возрастает и непрерывна на Х. (У к аз а- 1 ние. — (у+ ф(у)) непрерывна н строго возрастает.) 2 г) Множество у-~(С) измеримо в смысле Лебега и имеет положительную меру.
(Указание. Множество ф(Х вЂ” С) = (ф(у):уЕХ вЂ” С) счетно, 1 поэтому его мера равна нулю; следовательно, !ь(У'-г(Х вЂ” С)) = —.) 2' д) Существует измеримое в смысле Лебега множество М, такое, для которого у-х(М) не измеримо в смысле Лебега. (Указание. В силу теоремы 5 016, у-т(С) содержит неизмеримое подмножество. Вспомним, что всякое подмножество множества, лебеговская мера которого равна нулю, измеримо в смысле Лебега.) е) Если ч — характеристическая функция множества М, введенного в .д", и если у(х)=Ч(У(х)), то ф измерима в смысле Лебега, а у неизмерима. 4. Множество М в .д" служит примером множества, измеримого в смысле Лебега, но не являющегося борелевским множеством (см.
упр. 6 з!5). $20. ПОСЛЕДОВАТЕЛЪНОСТИ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ Те орем а 1. Если ( гя ) — последовательность измеримых функций на измеримом пространстве Х, принимающих конечные или бесконечные действительные значения, то все четыре функ-. 5 2к последовательности измевнмых Функций В7 иии Ь, д, 1в и Ув, оЯРеделнемые Равенствами Ь (х) = зп р ( У'„(х): и = 1, 2, ... ), д(х) =1п! (у'„(х): и=1, 2, ...
), у* (х) = 1!ш зпр У„(х), в 1 в (х) = !пп ! и!у„(х), в измеримы. Доказательство. Общий случай легко сводится к случаю, когда функции принимают только конечные значения. Измеримость функции П следует из равенства ( х: и (х) < с) = Ц ( х: у„(х) ( с ), в=1 измеримость функции Ь вЂ” из соотношения Ь(х) = — !и!( — Ув(х): и=1, 2, ...). Равенства Ув(х)= !и! Епр у„,(х), 'гв(х)=зпр !п1 г (х) в>1вь>в в~1в~в влекут за собой измеримость функций Ув и 1 . в Из теоремы 1 вытекает, что множество точек, в которых сходится ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ ИЗЛ1ЕРИМЫХ фУНКЦИй (Гв), т.
Е. МНОжЕСтВО (х: 1пп апр У„(х) = 1!ш !и! Ув (х) ) в в имеет измеримое пересечение со всяким измеримым множеством. Следовательно, функция г, определенная равенством 1(х) = 1ппгв(х) в тех точках х, в которых этот предел существует, измерима. Большую пользу в теории измеримых функций приносит понятие простой функции. Функция у, заданная на измеримом пространстве Х, называется простой, если можно указать конечный класс непересекающихся измеримых множеств (Е„..., Ев ) и конечное множество действительных чисел (а„..., ав), такие, что а;, когда хЕ Е„г'= 1, ..., и, О, когда хЧ.Е1 0 ° ° ° 0Е ° (Мы подчеркиваем, что значения простой функции суть конечные действительные числа; это важно для дальнейшего.) Простейшим примером простой функции может служить характеристическая функция ук измеримого множества Е.
Нетрудно убелиться в томе что всякая простая функция измерима; и самом деле, глава гч. измввимыв акнкцми зв простая функция у, отвечающая множествам Ег и числам а„может быть представлена в виде У( )=ф,Х,,1). Произведение двух простых функций, а также любая линейная комбинация простых функций представляют собой простые функции. Теорема 2. Всякая измеримая функция у, принимающая конечные или бесконечные действительные значения, представляет собой предел последовательности ~~„) простых функций. В том случае, когда функция у" неотрицательна, все ~„можно выбрать неотрицательными, притом так, что последовательность ~~„] будет возрастающей. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Сначала предположим, что у )~ О. Для любого и =1, 2,... положим ! — 1 г — 1 2" ' если 2" ~(,у® 2ь' г 1, 2, ..., 2"и, ~„<х) = и, если у (х))~п. Ясно, что каждая у„представляет собой неотрицательную простую функцию и последовательность [~„) — возрастающая. Если у (х)(оо, то при любом и О (~(х) — у'„(х) < — „; если же у (х) = со, то у„(х) =п, также прн любом и. Вторая поло- вима теоремы доказана. Первая половина доказывается применением полученного результата отдельно к функциям у+ н у !.
Понятая, введенные в этом н в предыдущем параграфах, а также все полученные здесь результаты, за исключением тех, разумеется, в которых существенную роль играет упорядоченность множества действительных чисел, переносятся на функции, принимающие комплексные значения. 2. Если в теореме 2 функция у ограничена, то последовательность (У„) можно выбрать так, чтобы она сходилась к у равномерно. 3. Допустив в определении простой функции выбор счетного числа множеств Е, н счетного числа соответствующих чисел ьо мы придем к понятию элементарной функции. Всякаа конечная измеримая функция служит пределом равномерно сходящейся последовательности элементарных функций. !! 21.
СХОДИМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ В трех предыдущих параграфах была развита теория измеримых функций в тех пределах, в которых это разумно делать, не обращаясь к самому понятию меры. Начиная с этого момента, мы предполагаем, что пространство Х, на котором заданы рассматриваемые нами функции, представляет собой пространство с мерой (Х, 8, р).
Если некоторое предложение, касающееся точек пространства с мерой, верно для всех точек за исключением некоторого множества, а и. сходимость почти всюдк измеримого и имеющего меру нуль (может быть, пустого), то принято говорить, что это предложение верно для почти всех точек или верно почти всюду. Так, например, некоторая функция постоянна почти всюду, если есть такая постоянная с, что множество (х: у(х) ~ с ) имеет меру нуль. Функция у называется существенно ограниченной, если она ограничена почти всюду, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
