П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 19
Текст из файла (страница 19)
является фундаментальной по мере). Сейчас мы докажем это утверждение, не предполагая, что мера множества Е конечна. Теорема 2. Почти равномерная сходимость влечет за собой сходимость по мере. Доказательство. Если (Я сходится к Г' почти равномерно, то, каковы бы ни были положительные числа е и а, существует такое измеримое множество р, что р(р) ч. а и !1О(х) — г'(х)(О е, когда х принадлежит рс и и достаточно велико.
Ф Теорема 3. Если последовательность (Я сходится по мере и .г", то (Я вЂ” фундаментальная по мере. Если, кроме того, (Я сходится по мере к я, то ~=у почти всюду. ГЛАВА нд измйтимыд Функции ДО к а ватель ство. Первое утверждение следует из соотношения (х: ~~ (х) — у'„(х)~)~е) с (" ~У () — У()~)-2~В( ~~.() — И Д>-~.
Для того чтобы доказать второе утверждение, заметим, что (х: »1(х) — д(х)!)~в) с= с(Х»»ч(х)~(Х)()~2)»з11Х)уи(х)е(Х)/)~ Так как при достаточно большом л мера обоих множеств в правой части последнего соотношения сколь угодно мала, то р.((х: ( У(х) — я(х) ()~а) =О, каково бы ни было е) О. Отсюда следует, что у =д почти всюду. В дополнение к этим сравнительно элементарным замечаниям приведем два несколько более глубоких результата, касающчхся сходцмости по мере. Т е о р е м а 4. Последовательность измеримых функций (Я, фундаментальная ло мере, содержит подпоследовательность, сходяи»уюся почти равномерно.
Доказательство. Для любого целого положительного й возьмем такое целое л(й), что »ь ( ( х: » у„(х) — у,„(х) ! )~ — ь ~ ) ( — „, когда л) и(Л) и т) и(я). Положим п,=и(1), ла (и,+1)()п(2), па=(ля+1)()п(3), ... Тогда л, (па(лз(... и функции Ут, ~„„» У„,, ... образуют бесконечную подпоследовательность последовательности (Я. Если Е„= ( х: ( уп (х) — у„„(х) ~ )~ — „~ и я (1(/, то для любого х, не принадлежащего Еь()ЕА+»(» выполняются неравенства »у„, (х) — у (х) ~ ( ~~~ ~ у„(х) — у„(х) ! ( —,, ю=г 4 хь сходимость по мнвй Таким образом, последовательность (уя,) равномерно фундаментальна на множестве Х вЂ” (Е»()Е»+,() ...).
Так как р (Е» 0 Е»+ г () ° ) ~( ~„р. (Ем) < —,, м=» то теорема доказана. Ф Теорем а 5. Если (Я вЂ” последовательность измеримых функций, фундаментальная ио мере, то суиьестеует измеримая функция у, к которой ()"„) сходится ио мере. Доказательство. Согласно предыдущей теореме, существует подпоследовательность (у„ ), почти равномерно фундаментальная и, следовательно, сходящаяся почти всюду. Положим у(х)=Ищу„(х) "» для всех тех х, для которых такой предел существует. Заметим теперь, что, каково бы ни было а ~ О, (х: !у„(х) — у(х) /)~а)~ ~(х: ),Уя(Х) — ун (Х) l)~ 2 ~ () (Х ° )ун (Х) — у (Х) !)~ 2 ~.
Мера первого множества справа, по предположению, сколь угодно мала при достаточно больших п и и„, а мера второго стремится к нулю при к -+ оо, так как почти равномерная сходимость влечет за собой сходимость по мере. 1. Пусть (Х, 8, И) — пространство с вполне конечной мерой и (г„), (е„) — последовательности конечных измеримых функций, сходящиеся по мере соответственно к у и »П а) Последовательность (яу„ + Ряя), где а и р †действительн постоянные, сходится по мере к чу+ р»С ()уя)) сходится по мере к )у!.
б) Если у= О почти всюду, то (© сходится по мере к Уз. в) Последовательность (У„й) сходится по мере к Уй. (Указ ание. Для заданного положительного числа Ь существует постоянная с, такая, что если е = (х: ) я (х) ) ( с), то и (х — е) к ь; поведение (У„я) можно рассмотреть отдельно на Е и на Х вЂ” Е.) г) Последовательность (у'„) сходится по мере к уз, (Указание. Применить утверждение „б" к (Ув — У) ) д) Последовательность (Уяй„) сходится по мере к Яй.
(У к а з а н и е. Выразить произведение через суммы и квадраты.) е) Верны ли утверждения .а" —.д' тогда, когда мера и не вполне конечна? 2. Всякая подпоследовательность фундаментальной по мере последовательности фундаментальна по мере. 3. Если (ун) — последовательность, фундаментальная по мере, а (У ) "е н (у ) — ее подпоследовательности, сходящиеся почти всюду соответственно к у и и, то у= и почти всюду.
4. Пусть Х вЂ” множество всех целых положительных чисел, 8 — класс всех его подмножеств, р — мера на 8, определенная таким образом, что и (Е) ГЛАВА ГЧ. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКПИИ равно числу злемеитов множества Е. Для измеримых функций на Х сходимость по мере эквивалентна равномерной сходимости. 5. Вытекает ли сходимость по мере из сходимостн почти всюду на множестве бесконечной мерыг (См. упр. 4 и упр. 4 921). 6. Пусть Х вЂ” замкнутый единичный интервал с лебеговской мерой. Если г Г1 — 1 11 и ' и)' и « — характеристическая функция интервала Е'„, то последовательность («х, «х, «~, «в «з, уа, ...) сходится по мере к О, но не сходится ни в одной точке.
7. Пусть (Е„) — последовательность измеримых множеств,(«в) — последовательность соответствующих характеристических функций. Последовательность («„) фундаментальна по мере тогда и только тогда, когда рГЕв, Е,„)-РО при и, т-ьсо. 10пределение р см. в упр. 4 $9). ГЛАВА Ч ИНТЕГРИРОВАНИЕ й лв.
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ПРОСТЫЕ ФУНКЦИИ Простая функция у = ~ а ук, заданная на пространстве с мерой »=1 (Х, 8, р), иншегрируелга, если р(Е»)(оо для всех тех значений индекса 1', при которых а»~0. Интеграл от у обозначается ~у(х)»»р(х), или ~ у»тр и определяется равенством ') ~ 1»»Р = ~~'„и» р. (Е»), »=1 Если одновременно у может быть представлена в виде у'= ~)т у »=1 то, в силу аддитивности р, ~~.'„а»р(Е»)=~~ур(Ру); таким образом, »-1 У=т значение интеграла не зависит от представления у и определяется однозначно. Заметим, что абсолютная величина интегрируемой простой функции, произведение интегрируемой простой функции на постоянную, а также сумма двух интегрируемых простых функций представляют собой интегрируемые простые функции. Если Š†измерим множество и у — интегрируемая простая функция, то, как легко видеть, произведение у у является интегрируемой простой функцией.
Интеграл от у по множеству Е определяется равенством Простейшим примером интегрируемой простой функции может служить характеристическая функция измеримого множества конечной меры; при этом ) у л»Р = ~ о»Р = р(Е). Е 1) Если ໠— — О и р»Е» ) = со, то а» р(Е» ) = О, в силу соглашения, принятого во введении, согласно которому О со=о.— Прим, иерея, ГЛАВА ч.
интвгРиРоВАннй В дальнейшем мы распространим понятие интеграла на класс функций, гораздо более широкий, чем класс интегрируемых простых функций. В то же время некоторые полезные определения и формулировки (но не доказательства!) многих теорем опираются на столь элементарные свойства интеграла, что могут быть высказаны уже теперь.
Поэтому, чтобы избежать ненужных повторений, мы условимся всюду в этом параграфе виесто „простая функция" говорить просто „функция". Таким образом, все теоремы этого параграфа будут иметь смысл сразу для того более широкого класса функций, который мы рассмотрим ниже. Доказательства же, проведенные здесь, приложимы только к простым функциям; доказательства для общего случая будут изложены несколько позднее, Доказательства теорем 1 и 2 мы опускаем; они прямо следуют из определений, только в случае теоремы 1 потребуется еще совсем простой и очевидный подсчет. Теорема 1.
Если ~ и д — интегрируемые функции, то для любах действительных а и р ~ Ю+ М др = и ~ ядр+ р ~ ад' Теорема 2. Если интегрируемая функция У почти всюду неотрицательна, то ~~Фи",р- О. Теорема 3. Если ~ и и — интегрируемые функции, такие, что почти всюду ~' ьд, то Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно применить теорему 2 к функции У вЂ” а" и воспользоваться теоремой 1 при а=1, р= — 1.
Ф Теорема 4. Если ~ и д' — интегрируемые функции, то Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно воспользоваться теоремой 3, взяв !у(+!д! вместо у и !~+у! вместо я; Ф Теорема 5. Если у — интегрируемия функция, то Докавательство. Достаточно применить теорему 3 сначала к функциям !у! и ~, затем к !~'! и — у. Ф ~ гз. интнгвивгвмые пвостын фкнкцни Теорема 6. Если 7" — интегрируемая функция, а и р — действительные числа и Š— измеримое множество, такое, что а («(х) (В для всех х из Е, то ар,(Е) ( ~ у'йр (рр,(Е). Д о к а з а т е л ь с т в о.
Основное предположение этой теоремы может быть выРажено неРавенствами аУл (7Ул~( ~~я, поэтомУ в слУчае р(Е) ( оо требуемый результат следует из теоремы 3. В случае р (Е) = оо нужно прямо обратиться к определению интегрируемости. Неопределенным интегралом функции7 называется функция множества «, заданная на всевозможных измеримых множествах Е равенством Т е о р е м а 7. Если интегрируемая функция 7 почти всюду неотрицательна, то ее неопределенный интеграл есть монотонная функция множества.
доказательство. Если Е и Р— измеримые множества и Е~Г, то почти всюду уву ()( у и требуемый результат следует из теоремы 3. ж Функция множества «, заданная на всевозможных измеримых множествах в пространстве с мерой (Х, 8, р) и принимающая лишь конечные значения, называется абсолютно непрерывной, если, каково бы ни было положительное число в, существует такое положительное число Ь, что ( «(Е) ) ( е для всякого измеримого множества Е, удовлетворяющего условию р(Е) (8. Т е оре и а 8.
Неопределенный интеграл интегрируемой функции представляет собой абсолютно непрерывную функцию множества. До к а з а т е л ь с т в о. Если с — любое положительное число, превосходящее все значения ~У~, то для любого измеримого множества Е будет выполняться неравенство Т е о р е м а 9. Неопределенный интеграл интегрируемой функции представляет собой счетно-аддитивную функцию множества. Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
