П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 22
Текст из файла (страница 22)
( ~ )ӄ— ь ) ар+ ~ (У) др. (е Лч» Иеч для всех целых положительных и. Равностепенная непрерывность в О неопределенных интегралов от )'„, и = 1, 2, ..., установлена. Переходим к доказательству достаточности высказанных условий. Так как соединение счетного числа измеримых множеств а-конечной ГЛАВА Ч. ИНТЕГРИРОВАНИЙ меры само является измеримым множеством е-конечной меры, то таким, согласно теореме 7 2 25, должно быть множество Ее Ц (х:1в(х)ЕО).
Пусть ( Е„ ) †возрастающ последовательность измеримых множеств конечной меры, такая, что !Ип Е„ =Ее. Тогда если Р„ = Ее в Е„, и=1, 2, ..., то ( Е„) — убывающая последовательность и Иш Е„=О. п По предположению, для всякого 3) О можно указать такое целое и, при котором 3 ~уе~ !' < 2 и, следовательно, ~!У'„— У„!4 < ~ !У'„!ФЬЮ+ ~Л!4'<Й. Для любого фиксированного е) О положим бм„= ( х: /У,„(х) — 1„(х) ~ )~ е ); тогда ~М вЂ” У Мр< ~ !У вЂ” У!4+ Г 1У вЂ” У!Ф< ла и» лайоме < Ч" (Еа)+ ) У вЂ” 1 ~!'1!". лейн В силу сходимости (1„) по мере и равностепенной абсолютной непрерывности соответствующих неопределенных интегралов, второе слагаемое в последней части неравенств при достаточно больших гв и л сколь угодно мало, поэтому Иш зцр ) \ ~,„— 1„~ ф!А < е!е (Еа).
еь е а Так как е произвольно, то Иш знр ~ ~У' — ~„)г(р.=О. еее Из равенств ~У вЂ” 1 ~Я=~У вЂ” 1 М=~У вЂ” 1.Мр+~Л вЂ” 1.~ Ь ле ьа л ага. послвдоватвльностн ннтяггнегвмых охнкций Ш мы заключаем, что Иш знр ( ) У вЂ” у „) Н!ь < 3 и, так как 3 произвольно, 1йп авр ) ) У вЂ” ~„) аг!ь = О. Мы доказали таким образом, что последовательность (Я вЂ” фундаментальная в среднем; отсюда, согласно теореме 2, следует, что существует интегрируемая функция а, к которой (Я сходится по мере.
А так как сходнмость в среднем влечет за собой сходимость по мере, то ~ ° а почти всюду. ж Следующий результат известен под названием теоремы Лебега об ограниченно сходящихся последовательностях функций. Теорема 4. Если последовательность интегрируемых функций (У„) сходится к г по мере (или почти всюду) и почти всюду ) г'„(х) ) ( ) я'(х) ), и = 1, 2, ..., где а — некоторая интегрируемая функция, то г интегрируема и последовательность (у„) сходится к У' в среднем.
Доказательство. В случае, когда (Я сходится к у по мере, наше утверждение прямо следует из теоремы 3; легко видеть, что выполнение условий втой теоремы, касающихся неопределенных интегралов, обеспечено неравенством ) ) У' ) Ф < ( ) Е) Ф" Случай, когда имеет место сходимость почти всюду, может быть сведен к случаю сходимости по мере, в силу существования функции я (даже тогда, когда мера множества, по которому берутся интегралы, бесконечна; см. упр.
4 и 5 9 22). В самом деле, не нарушая общности, мы можем предположить, что неравенства )У„(х) ) < с )К(х)) и )г" (х)) <)к'(х)) выполняются для всех х из Х. Тогда, каково бы ни было положительное а, Е„= О (х: ) Л (х) — у (х) ) )~ е ) ~ (х: ) к (х) ) > 2 ~ откуда следует, что р(Е„)<оо, п=1, 2,.:. Сходнмость почти всюду влечет за собой равенство р (ПЕ„) =О, поэтому, в силу и=г теоремы 5 $9, !пп акр !ь ((х: ) /г (х) — ~ (х) ) )~ а)) < Иш р (Е„) = р (Иш Е ) = О, П2 ГЛАВА Ч.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ Таким образом, последовательность, ограниченная интегрируемой функцией и сходящаяся почти всюду, сходится по мере. На этом доказательство теоремы заканчивается. Ф 1. Является ли банаховым пространством множество всех интегрируемых функций с нормой !|У!! = ~ ~Д! 0Р2 2. Пусть (уп) — равномерно фундаментальная последовательность функций, интегрируемых на измеримом множестве Е конечной меры. функция у, определяемая равенством У(х) = !!шу„(х), интегрируема на Е, и (у„ — у'(бн-ь О при п-ьсо.
й 3. Для случая пространства с конечной мерой теорема 3 справедлива без предположения о равностепенной непрерывности неопределенных интегралов в О. 4. Пусть (Х, $, И) — простраисзво целых положительных чисел, описанное в упр. 4 6 22. а) Положим — при ! ~(й ~(п ~ О при л)п. На этом примере мы видим, что условие равиостепенной непрерывности неопределенных интегралов в О в общем случае не может быть опущено. б) Тот же пример позволяет заключить, что из равномерной сходимости последовательности интегрируемых функций (Г„) к интегрируемой функции у не следует, вообще говоря, что !!ш ~ у„яр = ~ уп' (см.
выше, упр. 2). в) Пусть 1 ~ — при 1~( л (и, !! О при й)п. На этом примере нетрудно показать, что предел равномерно сходящейся последовательности интегрируемых функций может не быть интегрируемой функцией. б. Пусть Х вЂ” замкнутый единичный интервал, Р— лебеговская мера, Возьмем убывающую последовательность открытых интервалов Е„, такую, 1 что и (Е ) = —, и = 1, 2, ... На примере последоватеиьности (пу„) мы п' убеждаемся в том, что условие ограниченности в теореме 4 не может быть опущено. 6.
Если (!и) — последовательность интегрируемых функций, сходящаяся в среднем к интегрируемой функции у', а л — существенно ограниченная измеримая функция, то последовательность (у„я) сходится в среднем к уЕ. 7. Если (у„) — последовательность неотрицательных интегрируемых функций, сходящаяся почти всюду к интегрируемой функции у, и если !!ш ~ уп4Р= ~ упр, и= 1, 2,..., то (г"„) сходится к у в среднем. (У к а ва- ннее. Пусть Е„=у„— у.
Тогда из неравенства (у;,— Д! (у„+у следует, что О (Е„(У. Применяя к последовательности (и„) теорему об ограничен- ной сходимостн, мы получим требуемый результат из равенств ~ я„" 4Р— — ~ Е„Он=О, п=1, 2,...) а яг. сВОйстВА интеГРАлА $27. СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА Теорема 1. Если г измерима, я' интегрируема и ~У~ ~,(Е~ почти всюду, то ~ интегрируема. До к а з а т е л ь с т в о.
Рассматривая отдельно положительную и отрицательную части функции Г', мы сведем теорему к случаю, когда у неотрицательна. Если у в простая функция, то теорема очевидна. В общем случае существует возрастаюшая последовательность неотрицательных простых функций, такая, что ИшУ„(х) = 1(х) для всех х и из Х. Так как О (~„((д), то каждая Г„интегрируема, и наше утверждение следует из теоремы об ограниченно сходящихся последовательностях. гь Т е о р е м а 2. Если (Я вЂ” возрастающая последовательность неотрицательных измеримых функций (могугцих принимать и бесконечные значения) и ( — предел этой последовательности в смысле сходимости почти всюду, то Иш ) У'„бР = ~ ~бр., Доказательство.
Когда Г интегрируема, этот результат вытекает из теоремы об ограниченно сходящихся,последовательностях и из теоремы 1. Таким образом, то новое, что содержится в этой теореме, относится к случаю неинтегрируемой у и состоит в том, что Иш ) 1„аР = оо, коль скоро ) г"бР=ОО. Для доказательства этого мы покажем, что если Иш ~ ~„бР ( оо, то у интегрируема. Пусть этот предел конечен, тогда Иш ~ ) г бР— /у„бР~ = О. Так как при фиксированных т и и функция у — у„не меняет знака, то 1~~.б — ~~.бР ~= ~ ~~ — ~.М., и мы видим, что последовательность (Я вЂ” фундаментальная в среднем. Согласно теореме 2 2 26, она сходится в среднем к некоторой интегрируемой функции я.
Из сходимости в среднем следует сходимость по мере, следовательно, некоторая подпоследовательность(~„„) сходится к д почти всюду, откуда у= Е почти всюду. Ф Т е о р е м а 3. Измеримая функция интегрируема тогда и только тогда, когда интегрируема ее абсолютная величина. Доказательство. Новым для нас в этой теореме является утверждение, что если ~~~ интегрируема, то интегрируема и 1. Это следует из теоремы 1, если вместо д взять ф, Теорема 4. Если ~ интегрируема, а д существенно ограничена, то уц интегрируема. ГЛАВА Ч.
ИНТВГРИРОВАНИВ Доказательство. Если почти всюду )й! (с, то (уй) (с~~~ также почти всюду и интегрируемость ~й следует из теоремы 3. Теорема 5. Если У вЂ” существенно ограниченная измеримая функция и Š— измеримое множества конечной меры, то у интегрируема на Е. Д о к а з а т е л ь с т в о. Характеристическая функция измеримого множества конечной меры интегрируема, поэтому наше утверждение вытекает из теоремы 4, если в ней вместо ) и д' взять соответственно Хниу. ч Следующее предложение, последнее в этом параграфе, носит название леммы Фату. Т е о р е м а 6. Если (Я вЂ” последовательность неотрицательных интегрируемых функций, такая, что Иа1п1 ( ~„й(ь( сю, то функция ), определенная равенством у (х) = Иа)п$ У'„(х), интегрируема и ) г а(ьц Иа(п( ) г а(' Доказательство. Если дв(х)=1п1(~,(х): п (г(оо), то йв ~~„и последовательность (дв) — возРастающаЯ.
Так как ~ Е„4ь ( ( ~ ~„йр, то Иа ~ Евс()ь (Иа1п1 ~ ~„й(ь ( со. в в Вместе с тем Иаа„(х)= Иа1п1ув(х) =у(х); следовательно, в силу теоремы 2, у иитегрируема и ) у а(ь (Иа ~ ив й(ь (Иа!п1 ~ ~'„й(ь. 1. Пусть я — интегрируемая функция, Г" — измеримая функция, причем почти всюду а(у(х)(й, где а, Р— действительнме числа. Тогда существует такое действительное число «, в ( « ( В, что ~У!й14 =« ~!й!4' Этот результат носит название теоремы о среднем значении.
(У к а ванне. Имеем неравенства в ~ ) й1йи.( ~ г(й)йи 4~д / 1й1йР.) 4 17. СВОЙСТВА ИНТКГРАЛА 2. Если последовательность интегрируемых функций (у„) такова, что то ряд лг'!гв сходится почти всюду к некоторой интегрируемой функв=« цииу и ~ у ««р = Х ~ 1п 4' (У к аз ание. Примените теорему 2 к последовательности частичных сумм ряда ~~~~ гя.) 3. Если функции у и у„, и = 1, 2, ..., интегрируемы и ! Ув(х) (~1(х) почти всюду, то функции ув и уь, определяемые равенствами Ув =Иш зярУ„(х), У„= Иш!п(У„(х), интегрируемы, и ~ ?г И«ь<йш 1п1 ~ ДИ«ь~йш впр ~ у«««!ь~ ~ Ув««р. (Указание.
Прибегая к рассмотрению положительной и отрицательной частей функций ув, можно свести общий случай к случаю неотрицательных ув и применить лемму Фату к последовательностям (!" +у„) н (« — уя).) 4. Измеримая функция у интегрируема на измеримом множестве Е ковечной меры тогда и только тогда, когда сходится ряд СО ~~~', р (Е П (х: ! У (х) ! > и)). в=« (Указание. Применить метод суммирования Абеля.) Что можно утверждать в тех случаях, когда р(Е) с.со или когда сумма берется от и = О? 5. Пусть (Е„) — последовательность измеримых множеств и т — произвольное фиксированное целое положительное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
