П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Если Р (Е) = оо и Р(Р) = — со, то по крайней мере в одном яз равенств Р (Е) = Р (Š— Р) + Р (Е () Р), Р (Р) = Р (Р— Е) + Р (Е() Р), (ЕАР)= (Š— Р)+ (Р— Е) правая часть оказывается неопределенной.) й вв. РАЗЛОЖЕНИЯ В СМЫСЛЕ ХАНА И В СМЫСЛЕ ЖОРДАНА Пусть р — обобщенная мера, заданная на классе всех измеримых множеств в некотором измеримом пространстве (Х, $).
Множество Е назовем положительным (по отношению к р), если для любого Р из 8 множество Е П Р измеримо и р(Е П Р))~ О; аналогично назовем Е отрицательным, если для любого Р из $ множество Е() Р измеримо и р(Е() Р) (О. Пустое множество в этом смысле одновременно положительно и отрицательно. Мы пока не утверждаем, что существуют другие, нетривиальные, положительные или отрицательные множества. Теорема 1. Если Р— обобщенная мера, то существуют такие непересекающиеся множества А и В, что А — положительно,  — отрицательно (по отношению к р) и А()В=Х. 122 ГЛАВА у!.
ОБщие Функции множестВА Говорят, что множества А и В образуют разложение в смысле Хана пространства Х по отношению к р,. Доказательство. Так как р принимает не более одного из бесконечных значений, то можно предположить, что — со < р (Е) ~( Фэ для любого измеримого множества Е. Так как разность двух отрицательных множеств и соединение конечного или счетного числа непересекающихся отрицательных множеств, очевидно, представляют собой отрицательные множества, то соединение счетного числа любых отрицательных множеств отрицательно. Положим р = !и! р (В), где нижняя грань берется по всем измеримым отрицательным множествам В. Пусть (В1) — последовательность измеримых отрицательных множеств, такая, СО что 1!ш11(В1)=р; если В= Ц Во то В представляет собой измери- 1 1 1 мое отрицательное множество, для которого р(В) принимает наименьшее значение. Теперь мы докажем, что А =Х вЂ” В представляет собой положительное множество.
Допустим противное, т. е. что А содержит измеримое подмножество Е, такое, что 11(Е)(О. Множество Е, не может быть отрицательным, потому что иначе ВЦЕв было бы отрицательным множеством, на котором 11 принимала бы значение, меньшее, чем р(В), что невозможно. Пусть й,— наименьшее целое положительное число, обладающее тем свойством, что Е содержит 1 измеримое множество Е„такое, что 11(Е1))~ —. (Заметим, что, так 1 как 11(Еа)(со, значения 11(Ее) и р(Е,) оба конечны.) В силу соотношений Р(Ео Е1) = Р (Ео) Р (Е1) ~(Р'(Ее) й С О 1 рассуждение, только что примененное к Е, применимо и к Ев — Е,.
Возьмем лв — наименьшее целое положительное число, обладающее тем свойством, что Ее — Е, содержит измеримое подмножество Еа, 1 такое, что р(Еа)' ~ —, и продолжим это построение неограниченно. Так как 1А конечна на измеримых подмножествах множества Ео (см. 1 теорему 1 й 28), то Иш — =О. Отсюда следует, что, каково бы ни Ф ав было измеримое множество Р, содержащееся в Ее=Ее — Ц~~, 2=1 непременно 1А(Р) ~ О, т. е. Р представляет собой измеримое отрицательное множество. Из того факта, что Ро не пересекается с В и а 99. РАзложения В смысле хАнА и В смысле жоРЛАнА 128 соотношения противоречат свойству минимальности множества В, мы заключаем, что предположение !А(Е ) < 0 неприемлемо.
99 Нетрудно показать на примерах, что разложение в смысле Хана, вообще говоря, не единственно. Однако если Х= А,() В1 и Х= Аа Ц Вз †д таких разложения пространства Х, то, каково бы ни было измеримое множество Е, р (Е П А ) = р (Е П Аа) и р, (Е П В,) = р (Е П Ва). Чтобы показать это, заметим, что Е П (А, — Аг) ~ Е П А, и Е П(А,— Аг)с: Е ПВ9, откуда р(ЕП(А1 — Аг)))~0 и одновременно р(ЕП(А,— Аз))~(0. Следовательно, !1(ЕП(А,— Аг))=0 иточно также р(ЕП(Аз — А,))= 0; отсюда следует, что р (Е П А„) = р. (Е П (А1 () Аа)) = р, (Е П Аа).
Это рассуждение показывает, что равенства р+ (е) = !9(е П А) и р. (е) = — ~а(е П В) однозначно определяют в классе всех измеримых множеств функции !9+ и р-, называемые соответственно верхней вариацией и нижней вариацией обобщенной меры р. Функция множества ~р~, определенная в классе всех измеримыхмножеств равенством ~ р ~(Е) = р+ (Е)+ р (Е), называется полной вариацией обобщенной меры !9. (Следует обратить внимание на существенное различие смысла символов )р)(Е) и (р(Е)!.) Теорема 2.
Верхняя, нижняя и полная вариации обобщенной меры р. представляют собой меры, причем р(Е) =!1+(Е) — р-(Е) для любого измеримого множества Е. Если р (вполне) конечна или о-конечна, то таковы же р+ из !1; по крайней мере одна и мер !9+ и р- всегда конечна. Доказательство. Все три вариации, очевидно, неотрицательны; если всякое измеримое множество представляется в виде соединения счетного числа измеримых множеств, на которых р конечна, то, в силу теоремы 1 й 2о, это же верно и по отношению к р+ и р Равенство !9=р+ — р- следует из определений р+ и р-.
Тот факт, что р способна принимать лишь одно из бесконечных значений со и — оо, влечет за собой, что по крайней мере одна из функций множества р+ и р- конечна. Так как счетная аддитивность !9+ и !1- очевидна, то теорема полностьЮ доказана, 99 ГЛАВА Ч!. ОБЩИЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА Из теоремы 2 следует, что всякая обобщенная мерз представляется в виде разности двух мер, из которых хотя бы одна конечна; представление обобщенной меры в виде разности верхней и нижней вариаций называется ее разложением в смысле Жердина. 1. Если р — конечная обобщенная мера и (Е„) — последовательность измеримых множеств, для которой существует 1йп Е„(т. е. такая, что и ИщзярЕ„=Ищ)п1Е„), то р(1пп Е„) = Ив р (Е ).
и я 2. Конечная обобщенная мера н все ее вариации ограничены. Позтому конечную обобщенную меру иногда называют мерой с ограниченной варна. цией. 3. Если р — обобщенная мера и Š— измеримое множество, то р+ (Е) = зпр(р(Р):Е:зРЕ8) и р-(Е) = — 1п1(Б(Р):Е=зрбйу. Эти равенства иногда рассматривают как определения р+ и р- и с их помощью доказывают существование разложения в смысле Жордана. 4. Является ли банаховым пространством множество всех вполне конечных обобщенных мер р, заданных на некоторой Фалгебре, с нормой )! р !! = ! р ! (Х)1 5.
Если (Х, 8, р) — пространство с мерой и у — заданная на ием интегрируемая функция, то функция множества ч, определенная равенством т(Е) = ) у(х) йр(х), представляет собой конечную обобщенную меру и Как с помощью у выражается ! р )Р 6. Если р и ч — вполне конечные меры на некоторой с-алгебре 8 и если Š— многкество из 8, то для всякого действительного числа ! в 8 существует множество Аг, такое, что Аг~ Е, и, каково бы ни было множество Р из 8, содержащееся в Аг (илн в Š— Аг), выполняется неравенство ч(Р)~(ЗИ(Р) (или соответственно ч(Р) > !И(Р)). 7. Если 1г — обобщенная мера и у — измеримая функция, интегрируемзя относительно ! р ), то можно положить по определению ~ у4' = ~ байр+ — ~ уй Такой интеграл обладает многими существенными свойствами,положительных" интегралов, рассмотренных в гл.
Ч. Если )г — конечная обобщенная мера, то для любого измеримого множества Е )р)(Е) = зпр ! Гуйр' где верхняя грань берется по всем измеримым функциям у, подчиненным условию !У'! ~1. 8. Если рассматривать отдельно действительные и мнимые части, то у'йр можно определить для комплексных функций у и комплексных мер р (см. упр. 2 4 хо). Упр. 7 подсказывает изм определение полной вариации $30. Авсолютная нвпунвывность грань берется по всем (вообще говоря, комплексным) измеримым функциям у; подчиненным условию )у1<1. Какова связь между ~ о ( и полными вариациями действительной н мнимой частей Ру 0 30.
АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ Мы показали, что обобщенная мера обладает многими важными свойствами неопределенного интеграла, обобщением которого она является. Однако неопределенному интегралу присущи некоторые свойства (или лучше сказать, некоторые связи с той мерой, относительно которой он определен), непосредственно не распространяющизся на обобщенные меры.
С одним из таких свойств, в высшей степени важным †свойств абсолютной непрерывности †познакомились в 5 23; здесь мы рассмотрим более общую схеиу, в рамках которой понятие абсолютной непрерывности сохраняет смысл. Пусть (Х, 8) — какое-нибудь измеримое пространство, а Р и ч— обобщенные меры, заданные на 8. Мы будем говорить, что ч ибсолютно непрерав и относительно Р, и писать « (( Р, если «(Е) = О для любого измеримого множества Е, для которого (Р)(Е) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
