П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Достаточность условия доказывается проще. Если, например, А=А, ЦА, А, ПА =О и В, =Вз=В, то А~Ам А~Аз, В->В„ В=зВз и, следовательно, Е~Е,,ЦЕа. Если же (х, у)~Е, то либо (х, у)~Е„либо (х, у)~Ее, в зависимости от того, входит х в А, или в Аз. Таким образом, Е оказывается соединением прямоугольников Е, и Ег, причем эти последние не пересекаются. Теорема 5. Если 8 — некоторое кольцо подмножеств множества Х, а Т вЂ” некоторое кольцо подмножеств множества г, то класс й всевозможных конечных соединений непересекающихся прямоугольников вида А Р', В, где А ~ 8, В ~ Т, представляет собой кольцо. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Заметим прежде всего, что пересечение двух множеств вида АХВ, где А~В, В~Т, также представляет собой множество такого вида. Если одно из них, нли их пересечение, пусто, то это утверждение тривиально. Если Е,=А,ХВП Ез — — А ХВз и (х, у)~Е,ПЕ, то хЕА, ПАа и уЕВ, ПВа, следовательно, Ег П Ег ~(А, П А ) )С (В П Ва), $33. двкхитовы пвонзввдвння С другой стороны, в силу теоремы 2, (А„([ Аа) Х (В, [[ Ва) содержится как в Е„так и в Ея, поэтому Е| [) Еа =(Аь ПАз) Х (В1ПВа) Так как 8 и Т представляют собой кольца, то А, [[ Аа Е 8 и В, П Ва ~ Т.
Таким образом, класс ь[ замкнут относительно образования конечных пересечений. Из соотношения (А Х В ) — (Аа Х Вз) = [(А П Аа) Х ( — Ва)1 [[ [(А — Аа) Х В1[ следует, что разность двух множеств рассматриваемого вида есть множество такого же вида. А так как то, принимая во внимание результат предыдущего абзаца, мы приходим к заключению, что класс [с замкнут относительно образования разностей. Так как соединение любого конечного числа непересекающихся множеств из Й, очевидно, входит в [с, то теорема полностью доказана. Ф Пусть одновременно с множествами Х и У нам заданы некоторые в-кольца 8 и Т подмножеств соответстенно Х и г. Тогда 8 Х Т будет означать с-кольцо подмножеств произведения ХХ У, порожденное классом всевозможных множеств вида А ХВ, где А~с8 и ВХ Т.
Теорема 6. Если (Х, 8) и (г', Т) — измеримые пространства, то (ХХ У, 8 Х Т) также представляет собой измеримое пространство. Измеримое пространство (ХХ г, 8 Х Т) назовем декартовым произведением измеримых пространств (Х, 8) и (Г, Т).
Доказательство. Если (х, у) ~ХХ Г, то существуют множества А и В, такие, что ХНА~8 и у~ВоТ; отсюда следует, что (х, у) Е А Х В Е 8 Х Т. Заметим, что здесь мы впервые воспользовались тем, что измеримое пространство равно соединению всех своих измеримых множеств; в настоящей главе мы будем существенно пользоваться этим свойством измеримых пространств. Нам не раз понадобится также понятие измеримого прямоугольника. Два естественных определения этого понятия напрашиваются сами собой. Согласно одному из них, прямоугольник в произведении измеримых пространств (Х, 8) и (У, Т) измерим, если он принадлежит 8ХТ; согласно другому, прямоугольник А Х В измерим, если А ~8 и В~Т.
Ниже мы увидим, что в применении к непустым прямоугольникам эти определения эквивалентны, а до тех пор мы остановимся на втором определении, Тогда можно будет сказать, что класс измеримых 140 ГЛАВА ЧП. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ множеств в декартовом произведении двух измеримых пространств представляет собой о-кольцо, порожденное классом всех измеримых прямоугольников. 1. Пересечение любого счетного класса (измеримых) прямоугольников представляет собой (нэмернмый) прямоугольник. Можно лн в этом предложении опустить слово,счетный") 2. В случае пустых прямоугольников условия теорем 2, 3 н 4 перестают быть необходимыми. 3.
В предположениях теоРемы 5, класс Р всех множеств вида л )(и, где ЛЕВ и ВРТ, представляет собой полукольцо. Верно ли это утверждение, если относительно 8 и Т предполагать только, что онн — полукольца? Ф. Если кольца 8 и Т содержат хотя бы по два различных непустых множества, то класс Р (см. упр. 3) не является кольцом. б, )(ля того чтобы 8)(Т было э-алгеброй, необходимо н достаточно, чтобы н 8 н Т были э-алгебрамн. 6. Если (Х, 8) н (1', Т) — измеримые пространства, то всякое измеримое множество в Х)(У содержится в некотором измеримом прямоугольнике.
(Указание. Класс всех тех множеств, каждое из которых может быть покрыто некоторым измеримым прямоугольником, представляет собой э-кольцо.) 3 34. СЕЧЕНИЯ Пусть (Х, 8) и (У, Т) — измеримые пространства, а (Х к, У, 8 'м,' Т)— их декартово произведение. Если Š— какое-нибудь множество в Х )( У, и х — любая точка из Х, то множество Еи=(у:(х, у)~Е) будем называть сечением множества Е или, говоря точнее, сечением, определяемым точкой х.
В тех случаях, когда существенно лишь то, что сечение определено какой-то точкой пространства Х (и, следовательно, представляет собой подмножество пространства У), а какой именно точкой — не имеет значении, мы будем также употреблять термин Х-сечение. При этом сама запись исключает возможность смешения такого сечения с 1'-сечением, определяемых некоторой точкой у нз У; последнее определяется, разумеется, как множество Е" = (х; (х, у) ~ Е).
Мы хотим подчеркнуть тот факт, что Сечение множества в произведении пространств Х и У само не является подмножеством этого произведения, а представляет собой подмножество либо из Х, либо из У. Если 1' — произвольная функция, заданная на некотором множестве Е в произведении Х)с', У, и х — какая-нибудь точка из Х, то функцию ~~, определенную на сечении Е равенством 1 (У) =1(х, У), мы назовем сечением функции 1, нли, точнее, Х-сечением функции 1, или, еще точнее, сечением функции 1, оиределнемым точкой х. Подобным же образом У-сечение функции 1, определяемое точкой у из 1', есть функция 1чг, заданная на сечении Е" равенством ув (х) =у(х, у).
Теорема 1. Любое сечение измеримого множества есть измеримое множество. Доказательство. Пусть Š— класс всех множеств в Х>( у; обладающих тем свойством, что все их сечения измеримы. Е является, а Зв. Сйчвиий очевидно, о-кольцом. Если Е = А ~(  — произвольный измеримый прямоугольник, то любое его сечение либо пусто, либо совпадает с одной из его сторон (с А, если имеем У-сечение; с В, если имеем Х-сечение); таким образом Е~Е. Следовательно, 8.'м,Т~Е. Ж Теорема 2. Любое сечение измеримой функции представляет собой измеримую функцию.
Доказательство. Пусть у — измеримая функция иа ХХ)', х †точ из Х, М вЂ” произвольное борелевское множество на числовой прямой. Тогда измеримость множества М(у )Пун (М) следует из соотношеннй р '(М) = Ь:У (у) 6 М) = Ы'(х, У) ЕМ) = = (у:(х, у)Е~-'(М)) =(у-"(М)) . (Заметим еще, что )ч'(у ) = (М(у))вг) Измеримость у-сечения функции у доказывается подобным же образом.
вь 1. Если у — характеристическая функция какого-либо множества Е в Х)( У, то й и у" представляют собой характеристические функции соответственно сечений Ен и Е". В частности, если )( — характеристическая функция прямоугольнйка А )с В, то Х (х, у) = Хл (х) уя (у). Любое сечение простой функции является простой функцией. 2.
Пусть Х= У в произвольное несчетное множество, а $ = Т вЂ” класс всех его конечных нли счетных подмножеств. Если хУ = ((х, у):х =у)— .диагональ" пространства Х )С У, то всякое сечение множества )у измеримо, тогда как само )У неизмеримо; таким образом, теорема 1 не обратима. 3. Пусть на декартовом произведении двух измеримых пространств Х н У задана действительная функция у, принимающая конечные или бесконечные значения. Если у такова, что, каково бы нн было борелевское множество М на расширенной числовой прямой, пересечение у-г(М) со всяким измеримым множеством измеримо, то любое сечение функции У обладает тем же свойством.
Сохранит ли силу зто утверждение, если в определении измеримого пространства не требовать, чтобы все пространство было равно соединению всех измеримых множеств Каково соотношение между сформулированным здесь свойством функции и свойством измеримостиг 4. Непустой прямоугольник представляет собой измеримое множество тогда н только тогда, когда он является измеримым прямоугольником. (У к а з ан не.
Если множество А Х В измеримо, то всякое его сечение измеримо.) б. Пусть (Х, Б) — измеримое пространство, причем Хе8 (другими словами, 8 есть в-алгебра); пусть )' — числовая прямая и Т вЂ” класс всех боре- левских множеств. Если у — неотрицательная функция, заданная на Х, то множество ув(у)=((х,у):хбХ, 0(у.(у(х)) в Х)( 'г' называется верхним множеством ординат функции у, а У„(у) =* ((х, у): х б Х, О (у (у(х)) — ее нижним множеством ординат. (Заметим, что, например, для функции, тождественно равной нулю, нижнее множество ординат пусто.) Здесь мы наметим вкратце другой возможный подход к изучению измеримых функций на декартовых произведениях: !'лАВА ч11.
пР Онзвнпйння пРОстРАнстВ а) Если у — неотрицательная простая функция, то множества Уя(у) и У (г) измеримы. (Указание. Оба зги множества представляют собой соединения конечного числа измеримых прямоугольников,) б) Если у и А» — неотрицательные функции и у(х) <я(х) для всех х, то У»(у)с= У*(я) и У,(у)с= У,(л). в) Если (гя) — возрастающая последовательность неотрицательных функций, сходящаяся во всех точках к У, то (У„(гя)) представляет собой возрастающую последовательность множеств, соедйнение которых равно У„(У); подобным же образом, если (гя) сходится ку, убывая, то (Уе(гя)) — убывающая последовательность множеств, пересечение которых равно У*(у). г) Если у — неотрицательная измеримая функция, то У*(У) и Уь(г)— измеримые множества. (У к а з а н и е.
Если у ограничена, то существуют последовательности простых функций (ея) и (йя), такие, что байя~(ля+а<У<пи»з<й„, и=1, 2, ..., и Вше = 1йпйя — — у.) д) Если Š— любое измеримое множество в Х)( У и а, Р— действительные числа, причем а>0, то ((х, у):(х, ау+ Р) СЕ) представляет собой измеримое множество в ХР(У.
(Указание. Это предложение верно в том случае, когда Е есть измеримый прямоугольник и все множества, для которых оно верно, образуют е-кольцо.) е) Если у — неотрицательная функция, для которой множество УЯ(г) (или Уь(г)) измеримо, то у измерима. (Указание. В том случае, когда измеримо У* (у), достаточно показать, что, каково бы ни было положительное число е, множество (хгр(к) >е) измеримо. Если Е= Уе(У), то н наше утверждение следует из того факта, что стороны измеримогопрямоугольника измеримы.) ж) Множество ((х, у) гр(х) =*у) называется графиком функции У (не обязательно неотрицательной). График измеримой функции представляет собой измеримое множество.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
