П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Если 0 — множество всех тех точек, которые входят в Е„по меньшей мере при т значениях номера и, то 0 измеримо и СО тр (6) ~; лг„' р (Е„). в 1 (Указ а ние. Рассмотрите г' у (х) «У«ь(х).) я=«" и и 6. Пусть у — конечная измеримая функция на пространстве (Х, 3, «ь) с вполне конечной мерой. Положим з„= ~~ — „!ь((х: — „(У(х) ~ ~), я =1, 2, . ГЛАВА Ч. ИНТЕГРИРОВАНИЕ Тогда Уев=Ища. А+1 у ( ) 2— „при у(у(л)~(, я=О, 1, 2, О при У(л) =О и применим теорему 2.
Обратное утверждение можно получить так: из неравенств У (л) ( 2У„(. ) + Р (2() заключаем, что 1 интегрируема, после чего обращаемся к только что проведенному рассуждению.) 7. В следующих рассуждениях намечен другой, часто употребляемый подход к понятию интеграла. Пусть у — неотрицательная интегрируемая функция, заданная на пространстве с мерой (Х, $, Р). Для любого измеримого множества Е полагаем п(Е) =1п((Г (х):лчЕ) и для любого конечного класса непересекающихся измеримых множеств С =1Е1,..., Еи'г з (С) =,Е я (Ег) Р (Ег). 4=1 Мы утверждаем, что верхняя грань множества чисел вида з(С) равнз ~ у пв. Если функция У' простая, то зто очевидно.
В общем случае рассмотрим нем отрицательную простую функцию л, такую, что е~(У. пусть л= ~~У агун, 4=1 1 взяв класс С = (Е1, ..., Е„), получим для него неравенство и в ЕИР= Ха1Р(Е1)<~ а(Е1)Р. (Ег) =з(С). 4=1 1=1 Отсюда следует, что если (д ) — последовательность неотрицательных ин- тегрируемых простых функций, сходящаяся к у, то Ищ ~ )'„с(р~зпрз(С) ~ У ЮР ~ аир з (С).
и, следовательно, в том смысле, что если у ннтегрируема, то все ряды з„сходятся абсолютно и существует их предел, равный интегралу от У; обратно, если хотя бы один из рядов з„ сходится абсолютно, то и все они сходятся абсолютно, существует Ищз„, функция у интегрируема и ее интеграл равен атому прем делу.
(У к аз ание. Достаточно рассмотреть случай, когда у,вб. Положим % 27. СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА 717 С другой стороны, так как всякое з(С) равно интегралу от некоторой функЦнн Аг ОПИСЗННОГО тИПа, тО з (С) ~ ~ у 4». а) Распространяется ли полученный здесь результат на неинтегрируемые неотрицательные функцииу б) Если у — интегрируемая функция на пространстве (Х, 8, Р) с вполне конечной мерой н ее функция распределения д'(см. упр. 11 $16) непрерывна, то 1 уд = 1 хФл(х) ОЭ (см.
упр. 4 425). (Указание. Предположив, что у)~0, рассмотреть .интегральные суммы" з(С) для того и другого интеграла и воспользоваться результатами уцр. 7.) ГЛАВА Чг ОБЩИЕ ФУННЦИИ МНОЖЕСТВА $28. ОБОБЩЕННЫЕ МЕРЫ В этой главе мы рассмотрим одно обобщение понятия меры, не очень сложное, но полезное. В отличие от мер, те функции, которые мы предполагаем здесь изучить, могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Пусть на каком-нибудь е-кольце $ подмножеств множества Х заданы две меры Р, и Ра. Если для множеств Е из $ мы положим Р(Е) = Р,(Е) +Р.(Е), то р будет, очевидно, некоторой мерой; то же справедливо и для любой конечной суммы мер. Иначе можно получить новую меру, снабдив исходную некоторым фиксированным неотрицательным множителем. Сочетая эти два приема, мы придем к выводу, что если (Рм..., Р,„) — конечное множество меР, а (ам..., в„)— конечное множество неотрицательных чисел, то функция р, определенная на $ равенством н Р (Е) = .Я~ Я,Рг (Е), г=1 также представляет собой меру. Иное положение возникнет, если в качестве коэффициентов мы будем брать числа произвольно~о знака. Если, например, Р, и Ра— какие-нибудь две меры на $, то, определив Р равенством Р(Е) = =Р,(Е) — Ра(Е), мы столкнемся с двумя обстоятельствами.
Во-первых, Р может оказаться отрицательной на некоторых Е; это не только не вызывает серьезных возражений, но представляет значительный интерес и заслуживает изучения. Во-вторых, может случиться, что Р,(Е) =Ра(Е) = оо длЯ некотоРого множества Е; вопРос о том, какой смысл следует при этом приписать Р(Е), представляет затруднение, которое должно быть устранено с самого начала. Для того чтобы избежать неопределенных выражений, мы условимся рассматривать разности двух мер только тогда, когда по крайней мере одна из них конечна. Это напоминает условие, принятое нами при распространении символа ) у ф на некоторые неннтегрируемые функции.
(Напомним читателю, что ) у ЫР определялся для тех измеримых функций, для которых по крайней мере одна из функций ~+ и ~ интегрируема, т. е. по крайней мере одна из функций $2В. Овонщвнныв меРы ПУ множества ч+ и ч, определенных равенствами ч 1Е)=) у й, ч+ (Е) = ~ ~+ йи, представляет собой конечную меру.) Эту аналогию можно продолжыть: если у †измерим функция, для которой определен ) у йр, то функция множества ч1Е) = ~ у йр представляется в виде разности Ж ') В оригиыале а1япед шеаэше. Иногда для этого поыятия употребляется также термин .заряд". — Прим.
нерее, двух мер. В предыдущих абзацах достаточно серьезно мотивировано введение следующего определения. Обобщенной мерой' ) будем называть действительную счетно-аддитивную функцию множества р, заданную на классе всех измеримых множеств в измеримом пространстве 1Х, Б) и обладающую, кроме того, следующими свойствами: р10)=0 и ыз бесконечных значений оо и — со функция р может принимать лишь какое-нибудь одно.
Заметим, что из условия счетной аддитивности вытекает следующее свойство обобщенной меры р: для любой последовательности нечэ пересекающихся измеримых множеств 1Е„) сумма ряда ~~.',р(Е„) всегда и=э имеет определенный смысл, т. е. такой ряд либо сходится, либо сумма его равна со или — оо. Понятия 1вполне) конечной и (вполне) о-конечной обобщенной меры определяются очевидным образом. Только вместо р(Е) в соответствующих определениях надо брать ~р1Е)! или, что то же самое, вместо р 1Е) ( со требовать выполненыя неравенств — со ( р (Е) ( оо. Так, например, обобщенная мера р вполне конечна, если само пространство Х представляет собой измеримое множество и ( р 1Х)~(со.
Ниже мы докажем, что всякая обобщенная мера представляется в виде разности двух мер. Отсюда будет следовать, что можно было бы первоначально задать обобщенную меру на некотором кольце, а потом строить расширение, подобно тому как зто делалось с мерами. Вместе с тем ясно, что такое изложение было бы пустой тратой времени, так как расширение всякой обобщенной меры можно будет получить, строя расширения соответствующих обычных мер. Так же как в случае меры, прямо из определения обобщенной меры вытекает, что обобщенная мера конечно-аддитивна и, следовательно, субтрактивна. Теорема 1. Если р — обобщенная мера, а Е и Р— измерил мыс множества, такие, что Е г.
Р и ~ р 1Р) ~ ( оо, ГЛАВА чг озшив Функции множВстВА ««ь(Е)1( Доказательство. Имеем равенство Если в его правой части бесконечно только одно слагаемое, то бесконечно и «с(Р). Если оба слагаемых справа бесконечны, то либо «ь(à — Е) = р.(Е) = оо, либо «с(Р— Е) = р(Е) = — оо, так как, согласно определению, обобщенная мера не может принимать на 8 и значение оо, и значение — оо; но тогда соответственно «с(г') = оо или «ь(Р) = — оо. Таким образом, значение «с(Р) конечно только в том случае, когда оба слагаемых в правой части последнего равенства конечны, а это означает, что всякое измеримое подмножество множества конечной обобщенной меры имеет конечную обобщенную меру.
Ф Теорема 2. Если «ь — обобщенная мера и (Е„) — последовательность непересекающихся измеримых множеств, такая, что СО СО ««ь(КЛЕ„) ~ ( оо, то ряд ~ р(ЕО) сходится абсолютно. в 1 в=1 Доказательство. Положим + )' Ев, если р. (Ев) )~ О, О, если «1(ЕО) ( О, ~ Ев, если «1(ЕО) (О, О, если р(Ев) ) О. Тогда СО СО «~(ОЕАР) = Хр(ЕО') В правых частях последних двух равенств стоят ряды соответственно с положительными и отрицательными членами, и так как для «ь по крайней мере одно нз значений со и †исключено, то хотя бы один из этиХ рядов сходится.
В то же время сумма этих рядов представляет собой сходящийся ряд ~,«ь(Ев), поэтому в действительности в еходятсн. как ~ р.(Е„), так и ~ р.(Е„). Сходимость каждого из ОО1 в 1 а зк РАзложення В смысле ХАКА н В смысле жоРдАЯА 121 этих рядов в отдельности равносильна абсолютной сходимостн ряда ~~.',Р(Е); теорема доказана. в=1 Теорема 3. Если р — обобщенная мера, (Ея) — монотонная последовательность измеримых множеств и если, в том случае, когда вта последовательность убывающая, 1р(Е„)~ (оо хотя бы при одном значении и, то р,(!ппЕ„) =11ш р(Е„).
о п Доказательство. В случае возрастающей последовательности доказательство проходит так же, как для меры (см. теорему 4 $9). Случай убывающей последовательности сводится к предыдущему переходом к дополнениям (см. теорему 5 9 9); то, что )р(Е„)! .оо при достаточно больших и, следует теперь из теоремы 1. эь 1. Сумма двух (вполне) е-конечных мер представляет собой (вполне) юконечиую меру.
Верно ли аналогичное утверждение для обобщенных мер? 2. Комплексной мерой в классе 8 всех измеримых множеств некоторого измеримого пространства называется функция множества Р, такая, что Р (е) =Р1(е)+1Р1(е), где ее$, 1= 31 — 1 н Р1, Рэ — обобщенные меры в смысле определения, приведенного в этом параграфе. Распространяются лн на комплексные меры теоремы 1 — 3? 3. Если обобщенная мера Р двояким образом представлена в виде разности мер, Р = Р1 — Рэ И Р = э1 — ЧМ тО ВСЕГда ли Р, = э1 Н Рэ = ээ? 4. Тот факт, что обобщенная мера может принимать только одно из бесконечных значений оэ и — со, следует нз условия аддитивности. (У к аз а н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
