П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 27
Текст из файла (страница 27)
При этом соотношениям, получаемым формальными действиями над дифференциалами, отвечают содержательные теоремы. Некоторые из них тривиальны, как, например, Д (тг+ тй Дтч гйгэт д д + д тогда как другие выражают более или менее глубокие свойства операции интегрирования. К числу последних относятся правило дифференцирования сложной функции и, как очевидное следствие, % За. пРОизВОдные От ОБОВщенных меР правило замены переменного в интеграле; и то, и другое здесь точно сформулировано н доказано. Надо, конечно, иметь в виду, что про- ~Ь изводная Радона — Никодима — определяется единственным образом ай лишь с точностью до множеств меры нуль [относительно [ь); поэтому в точном словесном выражении всякой дифференциальной формулы приходится часто применять термин „почти всюду'. Теорема 1. Если Л и [ь — вполне о-конечные меры, такие, что р((Л, а ч — вполне о-конечная обобщенная мера, причем т((р, то — = — — [Л[. йт ~Ь йн йл а йл Д о к а з а т е л ь с т в о.
Если равенство такого вида справедливо как для верхней, так и для нижней вариации обобщенной меры ч, то оно будет справедливо и для самой т; поэтому достаточно расла смотреть лишь тот случай, когда т есть мера. Обозначим „вЂ” =7' йй и — =я. Так как т неотрицательна, то, согласно теореме б $25, йн йЛ У')~0 [[ь[, и мы можем предположить, не нарушая общности, что у' неотрицательна всюду. Пусть [Я вЂ” возрастающая последовательность неотрицательных простых функций, сходящаяся к у в каждой точке пространства Х [см.
теорему 2 й 20). Тогда, в силу теоремы 2 $27, для любого измеримого множества Е 1[ш ГУ 4 = ПУФ н ~.т 5УЛйЛ=~УайЛ и и А так как для любого измеримого Г ХХРйр=р[ЕПЕ) = Х й'йЛ= ХХ„йбЛ и жПУ и то и, следовательно, ч [Е) = ~~б[ь= ~ ~убЛ. ж Теорема 2. Если Л и [ь — вполне о-конечные меры, причем [ь((Л, и 7 — конечная измеримая функция, для которой имеет смысл [ уф., то ~~бр =~~ — "„йЛ. ГЛАВА ЧЬ ОБШИЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА Доказательство. Зададим на измеримых множествах Е обобщенную меру ч, положив ч(Е) = ) уф., и воспользуемся теоремой 1. Получим равенство ч(Е) = Х аА б1; искомый результат получим при Е= Х.
Следующая теорема, касающаяся соотношений между различными обобщенными мерами, даст нам так называемое разложение в смысле Лебега вполне о-конечной обобщенной меры на части, одна из которых абсолютно непрерывна, а другая сингулярна относительно некоторой другой вполне о-конечной меры. Т е о р е м а 3. Если (Х, 8) — измеримое пространство, а [А и ч — вполне и-конечные обобщенные меры, заданные на 8, то существуют единственным образом определенные вполне е-конечные меРы ча и ч„такие, что сУмма их Равна ч, ча ! [А и ч)(([А. Доказательство. Предположим, как обычно, что [ь и ч конечны. Так как ч, абсолютно непрерывна относительно р тогда и только тогда, когда она абсолютно непрерывнз относительно [[А[, а ча сингУлЯРна относительно [г тогда и только тогда, когда ча [ [[А[, то мы можем предположить, что [ь представляет собой меру.
И, наконец, так как ч+ и ч- можно рассматривать отдельно, то мы вправе предположить, что и ч является мерой. Доказательство этой теоремы для случая вполне конечных мер основано на простом замечании, которое состоит в том, что ч абсолютно непрерывна относительно [А+ч. Следовательно, существует такая измеримая функция у, что для любого измеримого множества Е.
Так как 0 (ч (Е) ([А(Е)+ч(Е), то 0 (у (1 [[А+ч[ и, следовательно, 0 (у (1 [ч). Если мы положим А= [х:у'(х)=1) и В= [х:0 (~(х) (1), то будем иметь "я- [Ф.). [~"=~и)-ь )А) откуда, так как ч конечна, [А(А)=О. Положим теперь ч„(Е)=ч(ЕПА) и ч,(Е)=ч(ЕПВ), где Š— произвольное измеримое множество. Тогда очевидно, что Чо ) Р. ОСтавтСЯ ДОКаватЬ СООТНОШЕНИЕ Ч,(([А, а ах. пРОизВОдные От ОБОБщенных меР Если р(Е) =О, то г(«=ч (ЕПВ)= ] ~г1« лПБ НПв и, следовательно, (1 — ~) Ыч = О. П Так как 1 — у)~0!ч], то отсюда следует, что ч,(В)=ч(ВПВ)=0. СУществование чо и ч, доказано. Если «=«о+», и «=»о+«,— два разложения в смысле Лебега обобщенной меры «, то чо — »о=ч,— чн При этом ча — че ] р (см. упр.
10 2 30) и ч,— «,((р, следовательно, «о=ч и «,=ч, (см. упр. 9 $30). 1. Пользуясь понятием интеграла относительно обобщенной меры, можно обобщить понятие производной Радона — Никодима. Теорема 1 справедлива и тогда, когда 1 и Р— обобщенные меры. (Указание. Возьмите разложения в смысле Хана Х=А»() В» (У= 1, 2, 3) по отношению к каждой из обобщенных мера,р ич и разложите Х на восемь множеств Св(л = 1,...,3), составленных нз тзких пересечений множеств Ае В) по три, чтобы на измеримых подмножествах каждого из Св все три функции 1, р, ч сохраняли знак; после этого можно почти непосредственно применить теорему !.) 2.
Если Р и ч — вполне е-конечные меры и рю ч, то 4ь ! ~Ь ~Ь' 4ь 3. Если Р и ч — вполне а-конечные меры и ч((р, то » (~х: — „(х) = О)) = О. е. Если Рэ, Рч н Рз — вполне конечные меры и если яре=хая (на+ Рч) = =уз ч) (Ра+ р ) =ул (рэ+ Рг+ рз), то почти всюду относительно ре+ рг+ Рз выполняются равенства у,(х)уч(х) Г(х) = уг(х) +уэ(х) — ух(х)уч(х) 0 при Ях) =Ях) = О. 5. Пусть (рв) и (ч„) — последовательности вполне конечных мер. Положим п я СО СО Ря яЛй РГ чя ~~~~~ чч Р = ~~~ РЬ ч = ~ ч=г ч=х ч=г и допустим, что Р и » представляют собой конечные меры. Тогда если »я((ря, и = 1, 2, ..., то ч<(Р и л»„ л» йш=" = — [Р].
и 4р1я ФР Доказательство этого предложения основываетея на следующих леммах: ГЛАВА Ч1. ОБ<ЦИЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА а) Если (Ев) — такая последовательность измеримых множеств, что СО ра(Е») = О, а = 1, 2, ..., то р(йп< вирЕ„ ) =О. (Указание. Ив[ 0 Еа)~ в в=а < 2, 'ел(Еа).) л в б) Если (аа) и (фв) — последовательности функций, такие, что Тв= = фв [вв], л = 1, 2,... то Нп< зпр Тв (х) = Нпг зпр фв (л) [р] и Нга !п1 Тв (х) = = 1йп 1п1 фв (х) [р]. (У к а з а и и е. Примените,а' к множествам Ев = =(:Т (л) +фи(л)У) В силу,б', результат, сформулированный в упр. 5, можно доказывать <Ьв при каких-нибудь фиксированных представлениях производных = .
Если «ри — и — =Ев »=1,2, ..., Нча Н» — а Н вЂ” в то, в силу теоремы 1, в качестве такого представления можно взять — [Уа], а = 1, 2,, <(Рв К1+ . +ли ОО а са в) ~~~~~ув= — и ~ Ев=! [р]. (Указание. Так как »=1 «и »=1 в Х р< (Е) = 1 (4'1+ ° ° ° + На) бр, и = 1, 2, ..., <=1 и ~~~~а<(Е)= ~ (Уг+...+Уи)4», »=1, 2, <=1 то требуемый результат вытекает из теоремы 2 $27 и теоремы 5 $25.) ГЛАВА НП ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ ф 33.
ДЕКАРТОВЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ Если Х и !' — какие-нибудь два множества (необязательно подмножества одного пространства), то декартовым произведением Х на у называется множество всех упорядоченных пар (х, у), где х~Х, у~ У; оно обозначается ХХ У. Простейшим примером декартова произведения служит координатная плоскость, которую можно рассматривать как произведение координатных осей.
Большинство терминов н понятий, связанных с декартовыми произведениями, подсказаны именно этим примером. Так, если АсХ и Всу, то множество Е =-А Х В, содержащееся в ХХ 1', назовем прямоугольником, а сами множества А и  — сторонами этого прямоугольника. (Заметим, что в случае плоскости мы отклоняемся от классической терминологии, соглзсно которой А Х В будет называться прямоугольником только в том случае, когда А и В представляют собой интервалы.) Т е о р е м а 1. Прямоугольник оказывается пустым мнолсеством тогда и только тогда, когда пуста одна из его сторон. Доказательство. Если АХ В Ф О и (х,у)~ АХ В, то х~А и у ~В, так что А Ф О и В ~ О. С другой стороны, если ни А, ни В не пусто, то найдется хотя бы одна точка (х, у), принадлежащая АХВ, т.
е. АХВ+О. Теорема 2. Если Е,=А,ХВ, и Еа=АгХ — два непустых прямоугольника, то Е,сЕв тогда и только тогда, когда А,сАг и А,сВ . Доказательство. Достзточность высказанного условия очевидна. Чтобы доказать его необходимость, возьмем какую-нибудь точку (х, у) из А, ХВ, и допустим, что в А, существует точка х„ не принадлежащая множеству Аа. Тогда (х„у) ЕА,ХВ„но (х,, у) ~АвХВв.
Полученное противоречие показывает, что А,г=Аа. Точно так же доказывается, что ВгсВя. Ф Теорема 3. Если А,ХВ,=АвХ — непустой прямоугольник, то А,=Ав и В, =Ва. Доказательство. Из теоремы 2 следует, что АгсАвсАг и В сВясВ,. глава чп. пгонзввдвния пгостРАнств Теорема 4. Пусть Е,=А,ХВП Еа=Аз)~Ва, Е=Ап',В непустые прямоугольники. Тогда для того, чтобы Е, и Еа не пересекались и соединение их было равно Е, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий: либо А, ЦА =А, А,ПАэ О и В,=Ва=В, либо В,ЦВг=В, В,ПВа=О и А,=Аз=А. Доказательство.
Высказанное условие необходимо. В самом деле, так как Е,аЕ и Еас.Е, то, согласно теореме 2, А,сА и А с=А и, следовательно, А, Ц Азг=А; точно так же В, Ц В сВ. С другой стороны, нз соотношения Е1 Ц Еаг=(Аг Ц Аа) Х (В Ц Вг) следует, что Ас=А, Ц Аа и Вг=В, Ц Вз. Итак, А = А, Ц Аа и В = В, Ц В . Рассуждая подобным же образом, мы придем к выводу, О = Е1 П Еа ~ (А, П Аа) Х (В, П В ) и, в силу теоремы 1, хотя бы одно из множеств А, ПАа и В, ПВа пусто. Пусть, например, А, П Аа — — О; покажем, что в этом случае В, = Ва — — О.
(Случай, когда В, П Ва = О исследуется совершенно так же.) Допустим противное, т. е. что, например, в  — В, найдется точка у. Тогда, какова бы ни была точка х из А„ непременно (х, у) Е Е, но (так как у ~ В,) (х, у) ~ Е, и (так как х~Аг) (х, у) г. Е,. Это противоречит предположению, что Е=Е, Ц Е, следовательно,  — В, = О; равенство  — Ва — — О устанавливается подобным же образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
