П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Множества, образующие а-кольцо $, называются борелевехими множествами в и-мерном звклндовом пространстве. Класс всех борелевских множеств совпадает с в-кольцом, порожденным классом всех открытых множеств. 2. Если в — функция на Х, измеримая в смысле Бореля, а Л,..., у„— действительные измеримые функции на некотором измеримом пространстве (У, Т), причем УРТ, то функция у на У, определенная равенством »Р(у) = в(у»(у),..., уи(у)), измерима(см. теорему 2 й19).
8. Пополнение р меры»г называется и-мерной лебеговсхой мерой; большинство результатов йб 15 н 16 справедливо для Р. В частности, если 1» — класс всех открытых множеств в Х, а С вЂ” класс всех замкнутых множеств в Х, то для любого множества Е в Х Рв(Е) = 1п1 (»ь(0): Е~ (»Р(у) н Р.„(Е) =зпр(р(С):Е~ СбС~.
4. Если Т вЂ” линейное преобразование, определенное равенствами Т(х», ..., х,) = (у»,...,у,), у» —— ~~~~ а»!ху+ Ь», 1= 1,..., и, 1=1 то для любого множества Е в Х Рв(Т(Е)) = ) Д / Р*(Е) и Ре(Т(Е)) = ~ й|рь(Е), где д — определитель матрицы (а,»). (у к а ванне. достаточно доказать зто предложение для прямоугольников Е, стороны которых представляют собой интервалы. Сначала следует рассмотреть такие частные случаи: а) у» = х» + Ь», ! = 1,..., л.
б) у» = х» при 1 ф»' и 1 Ф ь; у! = хь и у», = х!. в) у»= х» прн »Рь!'; у!= х»'-х»„где !»»б г) у» = х» прн 1 ф /; у = ех!. Произвольное линейное преобразование может быть представлено в виде произведения преобразований типов ° а* †,г', ГЛАЗА Ч»Г. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ 162 5. Функции т ь определенные равенствами ту(хг, ..., хи)=хд У=!...., и, измеримы. 6. Можно определить и-мерную лебеговскую меру, не прибегая к произведениям пространств. Рассмотрим пространство Х, Х...)( Х„, где Х» = Х— единичный интервал, 1 = 1, ..., и. Для любого х из Х пусть х = О,ага «»...— представление х в виде двоичной дроби; положим х» =О,а»аи+»ага+»..., 1= 1,..., и.
(Для тех х, для которых существуют два таких представления, выберем каное-нибудь одно, например конечное.) Отображение Т единичного интервала Х в Хг )(...)с Х„, определенное равенством Т(х) = (хг, ..., х„), обладает тем свойством, что если множество Е в Х»)С... Х Х„ измеримо, то множество Т-г(Е) = (х: Т(х) и Е) в Х также измеримо. (Для доказательства достаточно рассмотреть случай, когда Š— прямоугольник со сторонами, концы которых являются двоичными рациональными числами.) Произведение Р»Х...
Х Р„может быть определено равенством (Р, Х... )( Ри) (Е) =Р ( Т-» (Е)), где Р— лебеговская мера. Это новое определение согласуется с тем, которое было дано выше. 7. С помощью диагонального метода, т. е. положив хг = О,ага««»аг..., хг = О,аз«газа»г хг = О,а»азам«»з... х» = О « гааз»ага'гь ° можно распространить указанное в упр. 6 определение меры на бесконечно- мерный аналог эвклидова пространства.
и 38. БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ Переходим к обобщению понятия произведения пространств на случай бесконечного числа множителей. Первый п»аг в этом направлении очевиден: если (Х») — последовательность каких-нибудь множеств, то их декартовым произведением мы назовем множество всех последовательностей вида (х„хг, ..) где х»~Х„1=1, 2, ... Однако если каждое Х, есть пространство с мерой, т. е. в каждом Х» выделено и-кольцо множеств В» с заданной на ней меРой Рн то отнюдь не Ясно, как следУет опРеделить в Х измеримые множества и как задать на них меру.
В этом параграфе мы решим эту задачу в предположении, что все Х, представляют собой пространства с вполне конечными мерами, причем (»»(Х») = 1, 1= 1, 2, ... Разумеется, введя соответствующий множитель, можно всякую вполне конечную меру сделать равной 1 на всем пространстве. Однако, как мы увидим, здесь это требование а аз. БесконечномеРные пРОЯВВедения пРОстРАнстВ гдз не является условной нормировкой; введение его объясняется особой ролью, которую играет 1 в умножении (особенно в образовании бесконечных произведений).
Итак, предположим, что для любого» = 1, 2, ... мы имеем множество Х,, некоторую а-алгебру 8, его подмножеств и заданную на 8» меру р», такую, что»»» (Х,) =1. Назовем прямоугольником множество вида )(А„где А»»=Х» для всех» н А» — — Х» для всех, за нсключе»=1 ннем некоторого конечного числа, значений»'. Измвримым прямо- СО угольником мы назовем прямоугольник Х АО в котором все А» »=1 являются измеримыми множествами в Х,; в силу предыдущего определения, это условие налагает ограничение лишь на конечное число Ш множеств Ао Множество в )( Х, назовем измеримым, если оно при»=1 надлежит а-кольцу 8, порожденному классом всевозможных измерн- ОЭ мых прямоугольников; при этом будем писать 8 =)~ 8,.
В действиГ=1 тельности 8 оказывается а-алгеброй. Пусть У вЂ” любое подмножество множества 1 всех целых положительных чисел; будем говорить, что две точки х=(х„х, ...) и у=(ун у,...) согласованы на У, и записывать это символом х=у (У), если хг — — у~ для всех у из У. Множество Е в Х называется 1-цилиндром, еслй нз х — у ® вытекает, что х и у либо оба принадлежат, либо оба не принадлежат множеству Е.
Иначе говоря, Е представляет собой /-цилиндр, если никакое изменение координат с номерами, не попадающими в У, не может удалить из множества Е содержащуюся в нем точку или ввести в множество Е точку, ранее ему не принадлежавшую (см. пример „д" упр. 6 $6). Например, если У= (1, ..., и) и Аг — произвольное множество в Х, »=1, ..., и, то прямоугольник А, Х... )( А„)( Х„р', Х„+, )»',... представляет собой У-цилиндр. Положим Х"= Х Хо п=0,1 2,...; »=а»-1 в силу принятого нами в предыдущем параграфе соглашения, мы можем записать следующее равенство: Х=ХХ»=(Х,Х...ХХ.) ХХ'"'.
,"-1 Любое Хрй представляет собой бесконечномерное произведение пространств, подобное х(=х»а1), поэтому все выводы, относящиеся к Х, применимы и к Х»Ю, ГЛАВА Чн. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ Если (х„..., х„) — любая точка из Х, Х...ХХ„, а Š— множество в Х, то сечение множества Е, определяемое точкой (х„..., х„), будем обозначать Е(х„..., А„); такое сечение представляет собой множество в Х<Ю. Заметим, что если Š— (нзмеримый) прямоугольник в Х, то Е(х„..., х„) — (измеримый) прямоугольник в Х!">. Теорема 1.
Если У=(1, ..., п) и множество Е в Х представляет собой 1-цилиндр, то Е=А ХХ!">, аде А — измеримое множество в произведении Х, Х...ХХ„. Локазательство. Пусть (х„„х„+,...) — произвольная точка из Хвй и А — Х!и>-сечение множества Е, определяемое этой точкой; А, очевидно, заключено в Х, Х...ХХ„. Так как множества Е и А Х Х<ч> оба являются У-цилиндрами, то если точка (х„..., х„, х„+„х„+в, ...) Из Х принадлежит одному из них, то и (хгп ..., х„, х„+„х„+в, ...) принадлежит этому множеству. Ясно, однако, что если точка (хп ..., х„, х„+„х„+а, ...) входит в одно из этих множеств, то она входит н в другое.
Еще раз воспользовавшись тем, что Е и А ХХ!"> представляют собой У-цилиндры, т. е. тем, что любое из этих множеств содержит точку (х„..., х„, х„+„х„+а,...), если оно содержит(х„..., х„, х„„х„, ...), мы приходим к выводу, что Е и А ХХ!"> состоят из одних и тех же точек. Из теоремы 1 $34 слелует, что если измеримо Е, то измеримо и А. Пусть т и и — целые положительные числа, причем т ( и; может случиться, что непустое множество Е в Х является одновременно н (1 ° ° т)-цилиндром и (1, ..., п)-цилиндром. Тогда! согласно теореме 1, Е = А Х Х~~> н Е = В Х ХГ">, где АсХ,Х...ХХ иВсХ,Х...ХХ„. Первое из этих равенств можно записать в виде Е = (А Х Х .„! Х.
Х Х„) Х Х!"> поэтому, в силу теоремы 3 $33, В=А ХХ +,Х...ХХ„. Следо- вательно, если Е измеримо, то А и В измеримы, причем Ь>Х Хр,.)(А)=(р>Х "Хрч)(В) Таким образом, если мы положим >с (А Х ХРО) = (й! Х... Х р„) (А), то это равенство однозначным образом определит на измеримых (1, ..., и(-цилиндрах некоторую функцию р. Областью определения этой функции служит класс всех измеримых множеств, являющихся (1, ..., п(-цилиндрами, каждое при некотором значении и. Обозначим этот класс Р, а солержащ~еся в нем множества условнмся называть а 38. БвсконичнОИВРныв пРОизВВдвния пРОстРАнстВ 1Ы конечномерными множествами в Х. Легко убедиться в том, что Р представляет собой алгебру, порожденное ею о-кольцо $(Р) совпадает с $, а функция множества р на Р конечна, неотрицательна и конечно-аддитивна.
Класс множеств в Хйй и функцию множества на нем, аналогичные Р и 11 для Х, будем обозначать соответственно РВО и 11<»>, Из полученных нами результатов, касающихся конечномерных произведений, вытекает, что если Е принадлежит классу Р, то всякое его сечение вида Е(х„ ..., х„) принадлежит классу Р1») и 9 (Е) = )... ~ р <»> (Е (х„..., х„)) г(111 (х1)... б11» (х„). Теорема 2. Если ((Х1, $1, 91)) — последовательность пространств с вполне конечными мерами, причем 111(Х1)=1, то на а-алгебре 8 =К 51 существует единственная мера й, обладающая 1=1 тем свойством, что для любого измеримого множества Е вида А гг' ,Хьа Такая мера 11 называется произведением заданных мер 111 и обозначается символом ОЭ 11 = Х 111' 1=1 пространство с мерой (Ххг, ~( 81, Хрг) будем называть декартовым произведением исходных пространств (Хг, Я„р.г), 1'= 1, 2, ... Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
