П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 35
Текст из файла (страница 35)
[У к а з а н н е. Пусть 3 — метрическое пространство пространства с мерой (Х, 8, р). Положим для любого фиксированного положительного числа о В» = Д П ( Е: Е й 8 ] чя (Е) — чм (Е) ] ~< 3 ~ ] я=» и=» Так как, в силу упр. 11, каждое 3» замкнуто и, в силу упр. 1, 3 есть полное метрическое пространство, то по теореме Бзра существуют целое положительное число»о, положительное число го и множество Ео из оь такие, что (Е:р(Е, Ео)(го)~ 5». Пусть Ь вЂ” положительное число (го, такое, что ] чм(Е) ]( —, если и (Е) (Ь, и и = 1, ..., Фо.
Заметим, что если р (Е) Ь, то р(Ео — Е Ео)(го, р(Ео[)Е Ео)<го и ].н(Е) ] <].„,(Е) ]+ ].„(Ео[) Е) — ... (Ео[) Е) ]+].„(Е, — Е) —.„, (Е,-Е) ]. 13. Если, в обозначениях упр. 12, ч(Е) = Ищ«„(Р), то ч — конечная обобщенная мера и «((р. 14. Если (че) — такая последовательность конечных обобщенных мер, что Ив«я(Е) =ч(Е) существует и конечен для любого измеримого множества Е, то «(Е) представляет собой обобщенную меру. [Указание. гллвл чш.
отовнлжннии и екнкции аа Пусть [чв(Е) [(св, л = 1, 2,... Положим р (Е) = у — '[чв[(Е) и вос'кч 1 2вс в=1 пользуемся результатом упр. 13.] 1Б. а) Любое булевское кольцо (1 изоморфно (в обычном алгебраическом смысле этого слова) кольцу подмножеств некоторого множества Х. [У к аз ан и е. Пусть Х вЂ” множество всех гомоморфизмов кольца Я в булевскую алгебру 1(а, состоящую из двух элементов, О и 1. Если для каждого Е из Д Т(Е) = [х:х б Х, х (Е) = 1), то Т представляет собой гомоморфизм кольца Я в алгебру всех подмножеств множества Х; остается доказэть только, что если Ебй и Е+О, то существует х из Х, для которого х(Е) =1.
Если кольцо 11 конечно, этот результат получить легко. В общем случае пусть Ха — множество всех функций, определенных на 11 и принимающих значения иэ ма; в обычной для произведений пространств топологии Х* является компактным хаусдорфовым пространством. Если и — такое конечное подкольцо кольца Я, что Е бм, и Х" (й) — множество всех функций ха из Х", являющихся гомоморфизмами на Тч, для которых ха(Е) = 1, то соотношение П Хв(йг) =зХчФ) (где Д вЂ” кольцо, порожденное В1,..., йв) показывает, что любой конечный подкласс класса (Ха(й)) имеет непустое пересечение.
Этот результат известен как теорема Стоуна.1 б) Доказательство теоремы Стоуна, намеченное выше, показывает, что кольцо (ч изоморфно некоторому кольцу множеств, одновременно открытых н замкнутых, в компактном хаусдорфовом пространстве. Если й — булевская алгебра, то и изоморфна кольцу всех множеств, одновременно открытых и замкнутых, в компактном хаусдорфовом пространстве. [У к а з а н и е. Слегка изменив обозначения в упр.
15,,а", возьмем в качестве Х множество всех тех гомоморфиэмов Я в ма, которые отображают л1аксимальный элемент алгебры )1 на 1. Тогда образ алгебры Я при преобразовании Т содержит базис пространства Х (относительно той топологии, которая введена в Х). Если некоторый класс подмножеств компактного хаусдорфова пространства, одновременно открытых н замкнутых, представляет собой базис и если ои замкнут относительно образования конечных соединений, то он содержит все множества, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми.] в) Каждая булевская а-алгебра Я нзоморфна а-алгебре подмножеств некоторого множества Х по модулю некоторого а-идеала.
(У к а за н и е. Отобразим 8 с помощью алгебраического изоморфизма Т на алгебру всех тех множеств некоторого компактного хаусдорфова пространства Х, которые одновременно открыты и замкнуты; пусть Яа есть а-кольцо, порожденное классом всех подмножеств пространства Х, одновременно открытых и замкнутых, а г)э в класс всех множеств первой категории в Зэ. Бели для последовательности (Ев) множеств, одновременно открытых и замкнутых, аа 00 положить Е= Т(0 Т-'(Ев)), то множество Š— 0 Ев нигде не плотно.
в=1 в=1 Другими словами, класс всех множеств, одновременно открытых и замкнутых, замкнут по модулю Ма относительно образования счетных соединений. Остается еще показать, что Т.будет изоморфизмом даже после приведения гбУ $4Ь ТЕОРЕМА ОБ НЗОМОРФИЗМЕ но модулю Ыэ, т. е. что Хр не содержит нн одного непустого множества, одновременно открытого н замкнутого; этот результат, однако, является частным случаем теоремы Бара, которая справедлива для локально компактных пространств так же, как н для полных метрических пространств.) $41. ТЕОРЕМА ОБ ИЗОМОРФИЗМБ Цель настоящего параграфа — показать, что понятие кольца с мерой не является таким общим, как это может показаться.
Действительно, мы докажем, что каждое кольцо с мерой, удовлетворяющее некоторым весьма общим условиям, является кольцом с мерой некоторого пространства с мерой. Из многих теорем этого типа мы разберем только одну, выбранную в силу ее исторического значения и разнообразия ее приложений. Мы ограничимся рассмотрением алгебр с вполне конечной мерой. Пусть (8, р) — алгебра с вполне конечной мерой; если не оговорено противное, то под Х мы будем понимать максимальный элемент алгебры 8. Алгебра 8 и мера р называются нормированными, если р(Х)=1.
Разбиением элемента Е алгебры 8 называется конечное множество .Р непересекающихся элементов алгебры 8, соединение которых есть Е. Нормой (Р( разбиения Р = (Е,, ..., Е„) называется наибольшее из чисел 11(Е,), ..., Р(Е„). Если Р=(Е„..., Е„)— разбиение элемента Е и г" — произвольный элемент алгебры 8, содержащийся в Е, то символом Р П Р обозначается разбиение (Е„П Р, ..., ЕАП Р) элемента Г.
Если Р, и Рв — разбиения, то мы будем писать Р, (Рз, если каждый элемент из Р„ содержится в некотором элементе из Рв', последовательность (Р„) разбиений называется убывающей, если Р„+1 ( Р„ при и = 1, 2, ... Последовательность (Р„) разбиений называется плотной, если каждому элементу Е алгебры 8 и каждому положительному числу е соответствуют такое целое положительное число и и такой элемент Ее алгебры 8, что Ее является соединением элементов Р„ и р(Е, Ео) =р.(ЕЬЕе) (е.
Теорема 1. Если (8, 1ь) — неатомическая алгебра с вполне конечной мерой, а (Р„) — плотная убывающая последовательность разбиений элемента Х, то Иа)Р„) =О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как ( ) Рп ) ) — убывающая последовательность положительных чисел, то она имеет предел; допустив, что этот предел равен некоторому положительному числу 6, приведем это предположение к противоречию. Если Р„ = (Е„ ..., Е„), то по крайней мере для одного из элементов Ег )Р ()Е,)) 3 при п=1, 2, Пусть Е1 — такой элемент; рассмотрим последовательность (Р„ПЕ1) Р~збиений элемента Ем Повторив только что приведенное рассуждение, ГЛАВА 71П.
ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ найДем такой элемент Ез РазбиениЯ Ра, что Р г=рг и )Р„П Рз()~Ь при п=1, 2, ..., и продолжаем так неограниченно. Если Е= Прт то р(Е))~й) О и, так как Р не является в=1 атомом, существует такой элемент Ез, что ч.о~р и О < 1ь (Е ) < в(Е). Заметим, что элемент Ез либо содержится во всех элементах раз- биений Р„, и = 1, 2, ..., либо не пересекается ни с одним из них. Отсюда следУет, что если а меньше каждого из чисел 11(го) и Р(г) — и(ео), то ни один элемент из $, являющийся соединением элементов разбиения Р„, не может отстоять от Ро на расстояние, мень- шее, чем а. Так как это противоречит плотности последовательно- сти (Р„), то теорема доказана. к Теорема 2.
Если У вЂ” единичный интервал, Т вЂ” класс всех борелевских множеств в г", а ч — мера Лебега на Т и если (1»„) — такая последовательность разбиений на интервалы макси- мального элемента У алгебры с мерой (Т, ч), что Иш ~1»„~ =О, п то последовательность ((»„) является плотной. Доказательство. Для каждого положительного числа е сушее ствует такое целое положительное и, что ~(»„~ < —. Для произволь- ного подинтервала Е интервала 1' обозначим Е, единственным образом определенный интервал разбиения 1»т содержащий левый конец интер- вала Е. Если Е, не содержит правого конца интервала Е, то обо- значим Ез интервал разбиения (»ш примыкающий к Е, справа, и продолжаем так конечное число раз до тех пор, пока не придем к интервалу Еа разбиения (»ш содержащему правый конец интервала Е.
Соединение интервалов Е„ ..., Е„ отстоит от Е меньше, чем на е; это доказывает, что любой подинтервал интервала У может быть апроксимирован соединениями элементов из ((»„). Так как класс всех конечных соединений интервалов является плотным, то теорема дока- зана. Ж Теорема 3. Каждая сепарабельная неатомическая нормиро- ванная алгебра с мерой ($, 11) иэоморфна алгебре с мерой (Т, ч) единичного интервала. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (Е„) — плотная последовательность в метрическом пространстве 3(р) алгебры с мерой (З,п). Для каж- дого и = 1, 2,... множество элементов вида П Ач, где Ае при лю1=1 бом 1'= 1,..., и равно либо Е„либо Х вЂ” Ео есть разбиение Р„ элемента Х.
Ясно, что последовательность разбиений (Р„) является убывающей; кроме того, эта последовательность — плотная, так как (Е„) плотна в 3(в). Из теоремы 1 следует, что 11ш ) Р„) = О. в 1 ль творима ов изомогонзми ууу Каждому элементу Е разбиения Р, можно поставить в соответствие такой подинтервал Т(Е) интервала У, что р(Е) = ч(Т(Я)), и эти интервалы образуют разбиение интервала У.
Каждый из этих интервалов мы разбиваем аналогичным образом на подиитервалы, соответствующие элементам разбиения Рз, и продолжаем так по индукции. Таким путем мы получаем последовательность (Я„) разбиений У на интервалы; так как отображение Т элементов разбиения (Р„) в интервалы сохраняет меру, то Ищ [ь)„[= О и, следовательно, в силу теоремы 2, последовательность разбиений (Щ является плотной. Если определить Т не только для элементов разбиений Р„, и = 1, 2, ..., но также и для конечных соединений таких элементов, отнеся каждому такому соединению соответствующее конечное соединение элементов разбиения ь)„, то отобрзжение Т будет изометрией плотного подмножества метрического пространства 3(р) на плотное подмножество пространства Я (т), отвечающего алгебре с мерой (Т, ч). Следовательно, существует единственное изометрическое отображение Т пространства 3(р) на пространстве Я (т), совпадающее с Т везде, где Т определено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
