П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Впрочем, иногда это название присваивают также теоремам ! и 2. Теорема 3. Если Ь вЂ” интегрируемая функция на Х~ У, то почти лсе ее сечения интегрируемы. Функции у и я, определен- 4 аз. Тйоввмл Фув?гнй 747 множество Е, обладающее тем свойством, что пересечение Е с любой горизонтальной линией конечно или счетно, а пересечение с любой вертикальной линией имеет относительно этой линии конечное или счетное дополнение (см.
упр. 11 $31). В качестве й возьмем характеристическую функцию множества Е; тогда й неотрицательна и ~ ?ь(х, у)4р(х) =1, ~ й(х, у)е(ч(у) =О. Не противоречит ли этот пример теореме 2е 2, Если (Х, 8, р) = (У, Т, ч) — единичный интервал с лебеговской мерой н Š— множество в Х К У, такое, что Ех и Š— Е" конечны или счетны при любых х и у (см. упр.
1), то Š— неизмеримое множество. 3. Здесь мы укажем интересное обобщение результатов, изложенных в этом параграфе. Пусть (Х, 8, р) — пространство с вполне коыечной мерой, и (У, Т) — измеримое пространство, такое, что УЕТ. Предположим, что почти каждому х из Х поставлена в соответствие конечная мера ч на Т таким образом, что если ч(х) = »и (В), то прн любом множестве В из Т функция ч на Х оказывается измеримой. Положим ч(В) = ~ ч (В)др(х).
Тогда если и — неотрицательная измеримая функция на У и 7(х) = ~ л»(у) 4» (у), то 7 — неотрицательная измеримая функция на Х и ~ 74р= ~ «4». 4. Теорема Фубини часто доказывается несколько сложнее; зто объясняется тем, что вместо меры Л рассматривается ее пополнение Л. Лействительно, теоремы этого параграфа оказываются справедливыми, если заменить Л мерой Л. (У к аз вы не. Всякая функция, измеримая (8 ?( Т), совпадает почти всюду [Л[ с некоторой функцией, измеримой (8 ?( Т); см. упр.
1 Я 21.) В упражнениях 5 — 9 предполагается, что (Х, 8, р) и (У, Т, ч) — пространства с вполне конечными мерами. Легко убедит~се в том, что результаты этих упражнений распространяются на пространства с вполне е-конечными мерами и, следовательно, на измеримые множества в произведении пространств с е-конечными мерами. б. Если Е и Р— измеримые множества в Х )( У, такие, что ч(Е )=ч(р ) для (почти) всех х из Х, то Л(Е) = Л(Р). (Некоторые частные случаи этого предложения, обычно формулируемые недостаточыо строго, носят название принципа Хаеальери.) 6.
Если 7 и ы — интегрируемые функции соответственно ыа Х и У, то функция й на Х )( ?; определяемая равенством й (х, у) =7(х)и(у), интегрируема и ~й4(рХ.) = [акр. ~44.. 7. Предположим, что р (Х) = ч(У) = 1, Ае н Ве — измеримые множества 1 соответственно в Х и ?; такие, что р(Аэ) = ч(Вэ) = —. Пусть т — харак. 2' теристическая фуыкция множества (Аэ)( 1') Ь (Х?( Вэ). Положим 7(х, у) = 2у (х, у). Если для любого измеримого множества Е из Х Х?' Л(Е) = 7(х, у) 0Л (х, у), то Л вЂ” конечная мера на 8 Х Т, обладающая тем свойством, что Л (А ?( ?') =ь =р(А) и Л(Хн',В) =ч(В), когда АЕ8 н В4Т.
Это означает, что произведение мер ие определяется однозначно своими значениями на таких прямо. угольниках. ГЛАВА ЧП. ПРОИЗВЙДВНИЯ ПРОСТРАНСТВ 8. Существование произведения мер часто доказывается следующим прямым, хотя технически довольно сложным приемом. Всевозможные конечные соединения непересекающихся измеримых прямоугольников образуют кольцо й (см. теорему 5 833). Если я ьл О (А! Х В1) и Ц (суХ ьглу) 1=1 )=1 — два представления какого-нибудь множества Е из Я в виде соединений нескольких измеримых прямоугольников, то 0 0 ((А1ПСу) Х(В1ПРу)) 1=11=1 есть еще одно представление Е в таком виде; следовательно, выполняется равенство я яь Е Р(Аг) (Вь) = Е Р(Су) (1!у).
1=1 У=1 Другими словами, функция множества А однозначно определяется равенством я м Л 1 0 (Аг Х Вь)) = Е Р(А1) ч(В1). 1=1 1=1 Можно обнаружить (по существу, доказав теорему Фубини для интегрзлов по множествам, принадлежащим П), что Л представляет собой меру, к которой применима теорема 1 $ 13.
9. Если А и  — произвольные (не обязательно измеримые) множества соответственно в Х и У, то Л* (А Х В) = Ря (А) ч" (В). (Указание. Если А" и Вч — измеримые оболочки множеств А и В, то из АХ В А* ХВч следует неравенство ЛЯ(АХ В)~(~ *(А) г'(В). Обратное неравенство можно получить, рассмотрев измеримую оболочку Еч множества АХ В.
Так как Е" П(А*ХВч) также служит измеримой оболочкой множества АХ В, то можно предположить, что Еа 1: А*Х Вз. Из теоремы Фубини получим Л (Е') ~~ ~ ч (Е ') ь(аь (х) > Р (А ) ч (В ). ) $37. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ В предыдущих параграфах была развита теория произведений пространств в случае двух множителей; теперь мы посмотрим, как можно распространить эту теорию на произвольное конечное число множителей. Предположим, что л(> 1) — целое положительное число, Х„..., Մ— произвольные множества; декартовым лроизаедениелх этих множеств назовем множество всех упорядоченных систем вида (х„ ..., х„), где х, ~ Хь, 1'= 1, ..., л.
Такое декартово произведение мы буйем обозначать Х, Х...Х Х„, 4 За КОНВЧНОМВРНЫВ ПРОИЗВВДВНИЯ ПРОСТРАНСТВ 149 ИЛВ хх, или, наконец, )((Х4 1 1' = 1, ..., и). ьь Если А4 — множество в Х4, 1=1, ..., и, то множество )~А, назы4=1 вается прямоугольником. Относительно образовзния декартовых произведений, так же как относительно любой алгебраической операции, можно поставить вопрос, ассоциативно ли оно, Если, например1 Х„ Х, Хз †как-нибудь три множества, то, не нарушая того порядка, в каком они перечислены, можно образовать множества (Хь ',гь, Хв) Х Х Хь,ьС, (Ха Х Хв) " Хь Х Хв Р, Ха. В каком смысле эти три декартовых проивведения можно считать равными? Очевидно, они состоят из различных элементов; в самом деле, упорядоченная пара ((х„хв), хз), первый элемент которой сам представляет собой упорядоченную пару, не тождественна упорядоченной тройке (х„хв, хз).
Столь же очевидно, однако, наличие „естественного' взаимно-однозначного соответствия между рассматриваемыми декартовымн произведениями, которое сопоставляет друг другу их элементы ((х„ха), хв) (х„(хв, хв)) и (хн хв, хв). Так как при таком соответствии сохраняются все интересующие нас свойства строения декартовых произведений, то мы сознательно согласимся на то, чтобы, допуская некоторую логическую погрешность, считать все три описанных произведения тождественными.
Это соглашение будет осуществляться вполне последовательно, так что, например, в случае семи множителей, элемент (((Х1ь ХВ)ь Ха)ь ((Х4 ХЬ) (Хаь Х7))) множества (((Х1 Х Хв) Х ХЗ) Х ((Хь Х ХЬ) Х (Ха Х Хт))) мы будем отождествлять с элементом (Хь, Хг, Ха Х4, ХШ Хаь Хг) множества (Х, Х Хв Х Хз Х Х4 Х Хь Х Ла Х Хт). Такое отождествление позволит нам упростить изложение многих доказательств. Так, например, рассматривая Х, 74',...,74,' Х„как повторное произведение (...((Х,хХ,)хХ,)х.") хХьн глава чп. пгоизввдвния пвостванств мы сможем, обобщая теоремы $33, пользоваться методом математической индукции.
Формулируя такие обобщения, надо соблюдать известную осторожность. Так, например, теорема 4 й 33 обобщается следующим образом: если Е=ХА, Е=ХВ, г=г «=г — непустые прямоугольники, то Е = Р () О и Г П 0 = О тогда и только тогда, когда существует такое целое положительное /, 1~(/ (и, что А.=ВгЦС„,, ВгДС~=О и Аз=В< —— С, прн гФ1. Несколько видоизменяется понятие сечения (множества или функ- в ции): Ху-сечение множества Х Хо отвечающее точке хг нз Хг, г=1 представляет собой подмножество произведения К (Х: 1 < г' < и, 1+ ~').
Пусть (Хо 8,), г' = 1, ..., и, — измеримые пространства; их декартовым произведением назовем измеримое пространство (Х, Х., К Х„, 8~Х . Х 8 ), в котором В~Х ° ° ° Хо (иначе обозначаемое )~ Зг или )( (За.1 = 1, ..., и)) г=а есть а-кольцо, порожденное прямоугольниками вида )( А„ где Аг~8„1= 1, ..., л.
Из этого определения следует, что любое сечение измеримого множества (илн измеримой функции) представляет собой измеримое множество (соотв. измеримую функцию). Прибегнув к методу индукции, мы без труда определим декартово произведение пространств (Хо Бо рч), 1=1, ..., и, с а-конечными мерами. На З,,к',... )(З„можно задать единственную меру р (обозначаемую и,,'к,...
Р', р„), обладающую тем свойством, что Р(Аг Х ° Х А~) =Цис(Аг) для произвольного измеримого прямоугольника А, ~(... ~ А„. Непосредственнос обобщение допускает теорема Фубини, так что интеграл а 37. конечномВРныВ пРОизВедения пРОстРАнстВ 181 произвольной интегрируемой функции на произведении пространств можно вычислить, взяв любой из соответствующих повторных интегралов.
Произведение пространств Х= Ть Х» принято называть и-мерным. »авх Термин этот не имеет отношения к понятию размерности, он указывает лишь, каким путем образовано Х из пространств Х,. Пространство с мерой может оказаться трехмерным в одном контексте и двумерным — в другом, так как Х= Х, к', Хз,'7»', Ха можно одновременно представить в виде Х Хо )»,Ха, где Хо — — Х,ус,Ха. В упражнениях 1 — 5 предполагается, что (Х, 8, Р) = Х (х», Во Р»), » 1 где Х» — числовая прямая, 8» — класс всех борелевских множеств, Р» — лебеговская мера, 1= 1, ..., и. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
