П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 33
Текст из файла (страница 33)
е. Т-'Щ= (х: Т(х)~ Р). Отображение Т называется взаимно-однозначным, если Т!х,) Т(х ) тогда и только тогда, когда х,=х. Отображение, обратное к взаимно-однозначному отображению Т, обозначается символом Т-', для каждого у= Т(х) из области значений отображения Т оно определяется соотношением Т-' (у) = х. Если Т есть отображение множества Х в множество ); а 5 — отображение множества У в множество Е, то произведением $Т отображений 5 и Т называется отображение множества Х в множество Л, определенное соотношением (ЯТ) (х) = 5 (Т(х)). Для каждой функции К, определенной на множестве у, отображение Т множества Х в множество У определяет очевидным образом некоторую функцию Т, определенную на множестве Х; функция Т ГЛАВА Ч!П.
ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ определяется соотношением Т(х) = я (Т(х)). Удобно и естественно писать Т' = дТ. Теорема 1. Если Т вЂ” отображение множества Х в множсство У, й — функция на У, а М вЂ” произвольное подмножество того пространства, которому принадлежат значвния функции д, то (хг(УТ)(х)~М) = Т- ((у:б(у)~М)).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Следующие утверждения эквивалентны между собой; (а) ха ~ (х: (дТ) (х) ~ М), (б) д(Т(хо))ЕМ, (в) если уо= Т(ха), то д(уо)~М н (г) Т(хо) ~ (У: б(У) ~ М). Эквивалентность первого и последнего из этих утверждений и составляет как раз утверждение теоремы. Ф Пусть (Х, $) и (У, Т) — измеримые пространства, а Т вЂ” отображение множества Х в множество У, Как следует определять понятие измеримости отображения Тг Исходя из того частного случая, когда 1' есть числовая прямая, мы скажем, что отображение Т измеримо, если прообраз каждого измеримого множества измерим.
Мы видим, что это определение не согласуется с тем, которое было установлено ранее для измеримых функций; в силу особой роли числа О, измеримая функция может не быть измеримым отображением. Эта несогласованность целиком окупается удобством в приложениях; недоразумений всегда можно избежать, если не путать термины «функция» и «отображение». В том важном случае, когда Х само принадлежит 8, а У представляет собой числовую прямую, понятия измеримого отображения и измеримой функции совпадают.
Если Т вЂ измерим отображение пространства (Х, 8) в пространство (У, Т), то символом Т-'(Т) мы обозначим класс всех подмножеств множества Х, имеющих вид Т-'(Е), где Е~ Т; ясно, что Т-'(Т) есть а-кольцо, содержащееся в $. Теорема 2. Если Т вЂ” измеримое отображение пространства (Х, $) в просгпранство (У, Т) и если й — измеримая функция' на У, принимающая конечные или бесконечные действитвльные значения, то функция иТ измерима относительно с-кольца Т-'(Т). Доказательство. Из теоремы 1 вытекает, что для каждого борелевского множества М на числовой прямой, ДГ(йТ) П(иТ)-! (М) = (х: (иТ) (х) ЕМ вЂ” (О!!) = =Т- ((у:д(у)ЕМ вЂ” (О)))=Т- (М(~)Пд- (М)); нв измеримости отображения Т следует, что Д!(дТ) П (иТ)-! (М) <= Т-! (Т).
5 гэ, измзРимыи ОтОБРАжения Измеримое отображение Т пространства (Х, 8) в пространство (У, Т) определяет очевидным образом для каждой функции множества и на 8 некоторую функцию множества т на Т; функция т определяется для каждого Р из Т соотношением ч(Р) = р,(Т-'(Р)). Удобно и естественно писать т = иТ вЂ '. Теорема 3. Если Т вЂ” измеримое отображение пространства с мерой (Х, 8, р) в измеримое пространство (У, Т) и если и — измеримая действительная функция на У, принимающая конечные или бесконечные значения, то в том смысле, что из существования одного из этих интегралов вытекает существование другого, и оба интеграла равны.
Д о к а з а т е л ь с т в О. Достаточно рассмотреть неотрицательную функцию д. Если д — характеристическая функция измеримого множества г. из У, то из теоремы 1 следует, что а'Т является характеристической функцией множества Т-'(Р) и, следовательно, Из этого соотношения следует, что утверждение теоремы справедливо для простых функций д. Рассмотрим теперь общий случай; пусть (д„) — возрастающая последовательность простых функций, сходящаяся к д; тогда (я„Т) представляет собой возрастающую последовательность простых функций, сходящуюся к яТ, и желаемый результат получается переходом к пределу. Ф Если в обозначениях последней теоремы Р есть измеримое множество в У, то, применив эту теорему к функции т Р; получим ~ я(у)йРТ-'(у) = ( Р.(Т(х))би(х).
Мы видим, что каждая часть этого равенства может быть получена из другой формальной подстановкой у = Т(х). Теорема 4. Если Т вЂ” измеримое отображение пространства с мерой (Х, 8, р) в пространство с вполне о-конечной мерой (У, Т, ч), такое, что иТ ' абсолютно непрерывна относительно т, то существует такая неотрицательная измеримая функция чг на У, что ~ д(Т(х))йи(х) = ( и(у)е(у)сЬ(у) для любой измеримой функции и, в том смысле, что из существования одного из этих интегралов вытекает существование другого, и оба интеграла равны. ГЛАВА чнь ОТОБРАжиния и Функции уб2 Функция Ф играет ту же роль, что и функционзльный определитель (или, точнее, его абсолютная величина) при замене переменных в кратном интеграле. Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем равенство, доказанное в теореме 3, и воспользуемся теоремой 2 $32, положив Ы(УТ г) ~Ь Пусть Т вЂ” взаимно-однозначное отображение измеримого пространства (Х, $) на измеримое пространство (У, Т); если как Т, так и Т-' измеримы, то будем называть Т отображением, сохраняющим измеримосгиь.
Сохраняющее измеримость отображение Т пространства с мерой (Х, 8, Р) на пространство с мерой (у, Т, ч) называется сохраняющим меру, если РТ-'=ж 1. Произведение двух измеримых отображений измеримо. 2. Если Т вЂ” измеримое отображение пространства (Х, 8) в пространство (Т, Т) и если функция у иа Х измерима относительно Т-г(Т), тоУ(хг) = =у(хэ), когда Т(х) = Т(хэ). [У к аз а ни е. Если Г, — измеримое множество в ); содержащее Т(хг), то существует такое измеримое множество Г в Т, что Из хгй Т-~(г) вытекает, что хэй Т-г(г).[ й.
Если Т вЂ” измеримое отображение пространства (Х, 8) иа пространство (У, Т) и если действительная функция у на Х измерима относительно Т-1(Т), то существует единственная измеримая функция и иа Т, такая, что у =еТ. [У к а ванне. Как видно из упр. 2, функция е однозначно определяется для каждого у = Т(х) соотношением и(р) =у(х). Из того, что для каждого борелевского множества М на чисзовои прямой вытекает, в силу равенства Т(Х) У, что )У(л)П(У: Х(У) ЕЛЕ) Е Т[ Остается ли в силе этот результат для отображений Т пространства Х в пространство Т? 4. Предположим, что Х = Т вЂ” единичный интервал, 8 — класс всех боре- левских множеств, а Т вЂ” класс всех конечных или счетных множеств.
Если определить отображение Т пространства Х на пространство У равенством Т(х) = х, то это отображение будет взаимно-однозначным н измеримым, но не сохраняющим измеримость. Можно ли построить подобный пример для случая (Х, 8) = (У, Т)? б. Если Т вЂ” измеримое отображение пространства (Х, 8) в пространство (Г, Т) и если Р и т — две меры иа 8, такие, что ч((в, то эТ-г((РТ-А $40. КОЛЬЦА С МЕРОЙ Булееское кольцо есть кольцо в обычном алгебраическом смысле, все элементы которого идемпотентны.
Это означает, что булевское кольцо представляет собой множество К, в котором определены две алгебраические операции (называемые сложением и умножением), 5 40. кбльца с меРОЙ удовлетворяющие следующим условиям: а) операции сложения и умножения коммутативны и ассоциативны, а умножение дистрибутивно относительно сложения; б) в К существует единственный элемент (обозначаемый О), такой, что сложение О с любым элементом Е дает Е; в) произвольный элемент Е при сложении с самим собой дает О; г) произвольный элемент Е при умножении самого на себя дает Е.
Типичным примером булевского кольца является кольцо подмножеств некоторого множества Х, в котором сумма множеств Е и Р определяется как Еб Р, а произведение тех же множеств — как Е П Р. Так как понятие булевского кольца было введено нами ради приложений к кольцам множеств, мы условимся всегда обозначать операции сложения и умножения в булевских кольцах символами Ь и П .
Большинство введенных нами понятий и установленных результатов, относившихся к кольцам множеств, переносится без изменений на произвольные булевские кольца. Если, в частности, определить соединение и разность соотношениями Е 0 Р=(ЕЬ Р) Ь(ЕП Р) Š— Е = Е Ь (Е П Р) > то эти операции будут удовлетворять тем же формальным соотношениям, что и соответствующие операции над множествами. Аналогичное утверждение справедливо применительно к отношениям включения, которые определяются следующим образом: Е~Р, если ЕПР=Е, и Е~Г, если ЕП Р= Р. Напомним, что соединение некоторого класса множеств есть наименьшее множество, содержащее все множества данного класса, а их пересечение — наибольшее множество, содержащееся во всех множествах данного класса; аналогичные утверждения справедливы применительно к соединениям и пересечениям (если только они могут быть образованы) в произвольном булевском кольце.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
