П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В силу теорем 7 99 и 1 913, нам нужно только доказать, что функция р, построенная нами на алгебре Р всех конечномерных множеств, непрерывна сверху в О, т. е. если (Е„)— убывающая последовательность множеств из Р, такая, что О~а(11(Е ), СО /=1, 2, ..., то ПЕ~ФО. З=1 Пусть Р1 ~х,:1ь~п(Ез(х1)) ) — ~; тогда, в силу равенств 11 (ЕЗ) = ~ 11111 (Е. (х,)) 1111 (х1) = = ~ 11~1> (Е1 (х,)) йР1 (х1)+ ~ р<п (Е1(х1))сУ91(х1), Р. ГЛАВА УП. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ имеем р (Е!) ~( рч (' !) + 2 р (Е!)> 2.
откуда Так как ( Е!) — убывающая последовательность множеств в Х„ а мера рп будучи счетно-аддитивной, непрерывна сверху в О, то Х, а содержит хотя бы одну точку хп для которой рсо(е1(х„)) ь —, ! = 1, 2, ... ( Е1(х)) представляет собой убывающую последовательность измеримых множеств в ХП>, и то рассуждение, которое мы только что провели для Х, (Е!) и в, можно повторить для ХП1, (Е!(х,)) и —. Мы получим точку х, принадлежащую Х(Ю, такую, что ~Р> (Е (х„, х,)) ) —, ! = 1, 2, ... Продолжая это рассуждение, мы получим последовательность (х,, х„... ), обладающую следующими свойствами: х„~Х„, и=1, 2, ..., и р<и'(Е!(хп ..., х„)!)~ 2 — „, 1=1, 2, Теперь мы докажем, что точка (х„х„...) принадлежит множеству ПЕ!.
Для этого рассмотрим какое-нибудь Е! и выберем и у=г таким образом, чтобы Е было (1, ..., и)-цилиндром. Из неравенства р!"> (Е1(х„..., х„)) ) О следует, что Е! содержит хотя бы одну точку (х„хз, ...), такую, что х,=хт для 1=1, ..., и. Из определения (1, ..., П)-цилиндра мы заключаем, что точка (х„х, ...) сама принадлежит множеству Е!.
Ф 1. То, что в этом параграфе множествам индексов 1 служило множество целых положительных чисел, несущественно; в качестве 1 можно было бы взять любое счетное множество. (При этом пространство Х= Х(Хт'.! б 1) состояло бы, по определению, из всевозможных функций х, заданных на 1 и принимающих при любом ! из 1 значение х(!) нз ХР) Доказать зто можно, перенумеровав элементы множества 1, т. е. выбрав какое-нибудь фиксированное взаимно-однозначное соответствие между 1 и множеством целых положительных чисел. Часто, например, встречается случай, когда ! — множество всех целых чисел.
2. Построение произведений пространств без труда обобщается на случай несчетного числа множителей. Пусть 1 в произвольное множество индексов; если для любого ! из 1 задано (Хо Бо Рг) — пространство с вполне конечной мерой, причем рт (Х!) = 1, то Х = Рч (Хт . ! й !) определяется дословно, так же, как в упр. 1 соответствующее произведение в случае, когда 1 счетно. Так же дословно могут быть повторены определения прямоугольника, измеримого прямоугольника н измеримого множества. Так как класс всех а зз.
Вескомйчнбмвниып пгоизвидкния пвостяянстп /37 множеств, являющихся /-цилиндрами при некотором фиксированном конечном или счетном подмножестве / множества /, представляет собой юалгебру, содержащую все измеримые прямоугольники, то всякое измеримое множество Е является /-цилиндром при некотором, должным образом выбранном, множестве /. Если р (Е) определить как (/ч р/)(Е), то р ока/йг зывается мерой в классе всех измеримых множеств; зту меру мы обозначим Х р». »бг 3.
Нетрудно, комбинируя теорию конечномерных произведений с теорией бесконечномерных произведений, построить произведения пространств, в которых конечное число множителей обладает не вполне конечной, а лищь а-конечной мерой. 4. Если Х = Х Х» — произведение пространств, описанное в теореме 2, »=» СО Е» — измеримое множество в Х», » = 1, 2, ..., то Е= /чЕ» — измеримое »=1 множество в Х и р (Р) = П р» (Е») = 1»щ П р» (Е») ГЧ (Указ ание. Пусть Р„= Е,Х ... У(Ев)СХ("1; тогда (Р„) — убывающая последовательность измеримых множеств в Х, такал, что Ш СО я Й Рв= ХЕ» и р(Р„)=Д р»(Е»),! я ! »=» 3. С помощью произведений пространств можно построить лебеговскую меру на числовой прямой (см.
доказательство теоремы 3 43), а следовательно, и в п-мерном звклидовом пространстве (см. упр. 6 й 37), совсем не опираясь на топологические понятия. Для осуществления такого построения возьмем пространство с мерой (Ха, 8», ра), где Ха состоит из двух точек, 1 О н 1; 8» — класс всех множеств в Ха и ро((О)) =но((1)) = — . Для всех 2 ' » = 1, 2....
положим (Хп 8», р») = (Ха, 8а, ра) и образуем произведение / со ОЭ СО (Х, 8, р) =( Х Хп Х 8п Х р» ~. »=1 »=1 »=1 / При атом справедливы следующие утверждению а) Какова бы ни была точка л= (х», хт, ...) из Х, множество (к) измеримо и р((л))= О. (Указание. См. упр. 4.) б) Множество Е точек х = (хп лз,...), для которых все х», за исключением конечного числа значений », равны 1, измеримо и имеет меру нуль. (Указание. Š— счетное множество.) Положим Х=Х вЂ” Еи в дальнейшем условимся рассматривать пространство с мерой (Х, 8, »»), где 8= 8 П Х и р(ЕПХ) = р. (Е), Е 68. сч л» в) Для х=(х», хз, ...) из Х положим л(х) = ~ —; тогда функция л »=1 определит взаимнооднозначное соответствие между Х и интервалом Е=(л:О л(1). (Указание, Рассмотреть разложения точек г из Е ГЛАВА ЧП. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ в двоичные дроби; для тех х, для которых возможны два различных разложения, выбрать конечное.) г) Если А = (х: О ~( а~ х ч.
Ь ц: 1) и Е = (х: х (х) Р А), то Е измеримо и Р(Е) = Ь вЂ” а, (У к а ванне. Достаточно рассмотреть случай, когда а и Ь вЂ” двоичные рациональные числа.) д) Если А — любое борелевское множество и Е =(х:з(х) РА), то Е измеримо и Р(Е) равна лебеговской мере множества А. (У к аз а н и е. Функция множества ж определенная равенством «(А) = Р(Е), представляет собой меру, совпадающую с лебеговской мерой на интервалах,) Результаты .а' — „д' означают построение лебеговской меры иа интервале Е.
Рассматривая числовую прямую как соединение счетного числа таких интервалов, можно определить лебеговскую меру на всей числовой прямой. Иначе можно взять пространство I всех целых чисел, задать в нем меру, определив ее значение на любом подмножестве как число злементов в этом подмножестве, и воспользоваться очевидным взаимно-однозначным соответствием между числовой прямой и произведением У'р,',Е. 6. Результат, сходный с результатом упр. 5, можно получить, взяв пространство с мерой (Хэ. 8э, Рэ), где Хэ — множество всех целых положительных чисел, 8э — класс всех подмножеств множества Хэ и Ра(Е) = ~ 2 1. гбн положим (хг, 81, Рг) =(ха, 8э, Рэ) н образуем произведение х= Х хг, 1=1 точками которого служат последовательности целых положительных чисел.
= (х . х ...,) л(х) = чь' 2 1~'ь'"+мя1 я=1 Рассматривая разложения действительных чисел в двоичные дроби, можно доказать, что для этой функции х справедливы предложения,в' —.д' предыдущего упражнения. 7. Пусть Хэ = (х: О~(х С 1) — полузамкнутый единичный интервал, 8э — класс борелевских множеств в Хэ, Рэ — лебеговская мера на 8э. Положим (Хь 8», Р1) (Хэ, 8э, Рэ), 1=1, 2, ..., и образуем произведение Х= К Хь МеждУ Х и Хэ сУществУет взаимно-однозначное соответствие. 1 1 такое, что всякому борелевскому множеству в Хэ соответствует измеримое множество (т.
е. множество, принадлежащее классу Х 81) в Х, причем 1=1 соответствующие друг другу множества имеют одинаковые меры. (У к а з ание. Пусть Уэ — множество из двух точек, описанное в упр. 5 и обозначенное там Ха1 если )'гу Уэ для 1 = О, 1, 2,... и У = 1, 2, ..., то Хг = лч У1гь 1=1 1 = О, 1, 2, ..., и Х = Х Хг = Х Х Уг . Указанное соответствие может 1=1 1=0 У=э быть установлено с помощью известного соответствия между злементами обыкновенной и двойной последовательности множестж) Глава ЧП! ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКНИИ й 89. ИЗМЕРИМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ При изучении каждой математической системы объектов важно исследовать те преобразования, которые оставляют инзариантными все или некоторые структурные свойства такой системы. В наши намерения не входит изучение во всех подробностях преобразований, встречающихся в теории меры, однако некоторые основные их свойства мы рассмотрим в этом параграфе.
Отображение есть функция Т, определенная в каждой точке некоторого множества Х н принимающая значения из некоторого множества У. Множество Х называется областью определения функции Т; множество тех точек из У, каждая из которых является образом Т(х) какой-либо точки х из Х, называется областью значений функции Т.
Отображение, область определения которого есть Х, а область значений лежит в У, называется часто отображением множества Х в множество У; если область значений функции Т совпадает с У, то Т называется отображением множества Х на множество У. Образ Т(Е) произвольного подмножества Е множества Х при отображении Т определяется как область значений отображения Т множества Е в множество У; прообраз Т-'(Р) произвольного подмножества Р множества У при отображении Т есть множество всех тех точек из Х, образы которых лежат в Г, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
