П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В том случае, когда у — характеристическая функция некоторого измеримого множества Е конечной меры, счетная аддитивность ее неопределенного интеграла сводится к счетной аддитивности меры. Тогда, когда 7 †люб интегрируемая простая функция, она может быть представлена как линейная комбинация характеристических функций, откуда следует утверждение теоремы. ж глАвА ч. ннтвГРИРОВАннй Пусть г и д — интегрируемые функции. Определим расстояние р(у', и) между у и и посредством равенства Р(У Е)=~!У вЂ” Е~йр. Функция р оправдывает название „расстояние' во всех отношениях, за исключением одного.
В самом деле, верны и тривиальны следующие свойства: р(У,У) =О, р(У, Е) =р(д, У), р(У, д) <р(У, А)+р(А, я). Однако сходство с расстоянием нарушает следующее свойство р: из р(У, Е) =О не следует, что У=Аг. Расстояние между двумя интегрируемыми функциями равно нулю и тогда, когда функции совпадают почти всюду. В следующем параграфе мы ознакомимся с этим явлением ближе. 1. Если одна из двух простых функций интегрируема, то интегрируемо н их произведение. 2. Если Е и Š— измеримые множества конечной меры, то р(Хя, ХР) = = Р (Е АЕ) (см. упр.
4 й 9 и упр. 7 4 22). 3. Пусть (Х, 8, Р) — замкнутый единичный интервал с определенной на нем лебеговской мерой. Фиксируем какую-нибудь точку хз в Х и полагаем ч (Е) = Хя (хз). Обладает ли ч свойством абсолютной непрерывности? 4. Если ч — абсолютно непрерывная функция множества, заданная на всевозможных измеримых множествах в некотором пространстве с мерой (Х, Я, Р), то ч(Е) = О, каково бы ни было измеримое множество Е, такое, что Р(Е) =О. 5. Если пространство Х с вполне конечной мерой состоит из конечного числа точек, то всякая конечная измеримая функция на Х является интегрируемой простой функцией и все свойства интегралов от таких функций сводятся к свойствам конечных сумм.
$24. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ПРОСТЫХ ФУНКЦИЙ В этом параграфе мы продолжаем рассматривать некоторое фиксированное пространство с мерой (Х, 8, Р) и снова вместо „простая функция" говорим „функция". Так как все методы, применяемые в этом параграфе (за исключением одного рассуждения в конце доказательства теоремы 4), основаны только на выводах предыдущего параграфа, то, когда мы обратимся к рассмотрению интегрируемых функций общего вида, как формулировки, так и доказательства следующих ниже теорем сохранятся без изменений.
Последовательность интегрируемых функций (Я назовем фундаментальной в смысле сходимости в среднем или просто фундаментальной в среднем, если р(у„, У,„)-+О при л, т-+со. Т е о р е м а 1. Последовательность интезрируелых функций (Я, фундаментальная в среднем, яаляется фундаментальнои ио лере. ь г4. послздовлтвльности ннтвггнггвмых пгостых етнкций тйг Доказательство. Для любого фиксированного положительного числа е положим Е „= (х: ~,( ) — У (х)~> ), Тогда РЧп, ~ли)= / ~Гп — Ли!йр)~ ~ !Уп — Уаю!4~)~ар(Еет))~ откуда р.(Е )-ьО прн и, т-+со. Теорема 2. Если (Я вЂ” фундаментальная в среднем последовательность интегрируемых функций и ч„— неопределенный интеграл от ~'„, п=1, 2, ...,то ч (Е) = Иш ч„(Е) существует длп всякого измеримого множества Е и функция множества ч конечна и счетно-аддитивна.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование конечного предела ч (Е), притом равномерного относительно Е, следует из соотношений ) ч„ (Е) — ч,„ (Е) ~ ( ~ ) Уп — 1,„ ( ф. -+ О при т, и -+ со. Отсюда же вытекает, что ч конечно-аддитивна. Пусть теперь (Е„)— последовательность непересекающихся измеримых множеств, соединение которых равно Е. Для любых двух целых положительных чисел й и и будем иметь неравенство ~ »(Е) — ~»(Е») ~ ( »=1 ь ь ь (~ ч(Е) — ч„(Е) ~+! ч„(Е) —;„„',ч„(Еь) ! + (»„(Ц Е ~) — ч (Ц Е,)~.
4=1 »=1 ч=г Первое и третье слагаемые справа становятся сколь угодно малыми при возрастании и. Когда достаточно большое значение и фиксировано, второе слагаемое можно сделать сколь угодно малым, выбрав достаточно большое й. Таким образом, ь СО ч (Е) = Иш „~, ч (Е,) = ~~„', ч (Еч). В »=1 ч=г Будем говорить, что конечные функции множества ч„, и = 1, 2, ..., заданные на 8, равностепенно абсолютно непрерывны, если, каково бы ни было положительное число е, существует такое положительное число 3, что ~ч„(Е) ~ (е для любого измеримого множества Е, удовлетворяющего условию р(Е)(3, и для всех и. Теорема 3.
Если (Я вЂ” фундаментальная в среднем последовательность интегрируемыхфункций и ч„— неопределенный инте- 102 ГЛАВА Ч. ннтвГРнРОВАНнв грал от У„, и=1, 2, ..., то функции множества ч„равностепенно абсолютно непрерывны. Доказательство. Пусть а) О; выберем целое положительное число па таким образом, чтобы ) (У' — У' (4'< ~ для т)~па и ил'па, Пусть, далее, 3 — такое положительное число, что для любого измеримого множества Е, удовлетворяющего условию 1ь(Е) < 3, выполняются неравенства .) (г" ! а1ь < 2 п = 1, 2, ..., по и (см.
теорему 8 3 23). Возьмем теперь произвольное измеримое множество Е меры < 3 и произвольное и. Если п <па, то если же и ) по, то и тогда (ч„(Е)! < ~ (Уе†г (й1ь+ / (г (гКр. < е. т Следующая теорема не особенно важна в общем случае; поэтому как ее формулировка, так и доказательство будут относиться лишь к случаю простых функций. Теорема 4. Пусть (Я и (3'„! — фундаментальные в среднем последовательности интегрируемых простых функций, сходягциеся по мере к одной и той же функции Г'. Если ч„и ˄— неопределенные интегралы соответственно от ~„и А, и=1, 2, ..., и если ч (Е) = Ит ч„(Е), Л (Е) = Иш Л„(Е), где Š— любое измеримое множество, то функции множества ч и Л тождественны.
Д о к а з а т ел ь с т в о. Так как для любого е ) О Е„= (х: !У„(х) — д„(х) !)~ а! ~ Г ( Х Дп(Х) г (Х) !)~ 2~0 (Х ! Г' (Х) 3и(Х) ! )~ то отсюда следует, что Иш1ь(Е„)=0. Поэтому если Š— измеримое п множество конечной меры, то в неравенстве ~(1 — а (бр< ~ У вЂ” а.(бр+ ~ (У.(Ф+ ~ !а'.(й Пи. и и в си интнгвивтнмыв охнкцни первое слагаемое справа не превосходит вр(Е), а два других становятся сколь угодно малыми при достаточно большом п.
Последнее утверждение основывается на теореме 3, согласно которой неопределенные интегралы от у'„ и д„ равностепенно абсолютно непрерывны. Таким образом, 1! ш ! чв (Е) — Л„(Е) ! = 0 н, следовательно, ч(Е)=Л(Е). Так как ч и Л счетно-аддитивны, то равенство ч(Е)=Л(Е) верно и для измеримых множеств Е а-конечной меры.
Функции у„ и д„ вЂ” простые; следовательно, каждая из них определяется с помощью некоторого конечного класса измеримых множеств конечной меры. Если Ео — соединение множеств из таких классов, отвечающих всем г„и д„, то множество Ео измеримо и имеет о-конечную меру. При этои для любого измеримого множества Е ч (Е Ео)=Лв(Е Ев)=О и, следовательно, ч(Š— Ев) =Л(Š— Ев) =О, Отсюда вытекает, что ч (Е) = ч (Е П Ев), Л (Е) = Л(Е П Ев), и теорема полностью доказана. Е Является лк полным метрическим пространством множество всех интегрируемых простых функций, с определенным выше расстоянием рг 2. В обозначениях теоремы 2, если (Е„1 — последовательность непересекающихся измеримых множеств, то ряд ~~~'„ч (Е„) сходится абсолютно.
п=1 (У к а ванне. Сумма зтого ряда не зависит от порядка его членов). й 25. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ Почти всюдуконечная измеримая функция у, заданная в пространстве с мерой (Х, 8, Р), называется интегрируемой, если существует фундаментальная в среднем последовательность интегрируемых простых функций (г'„), сходящаяся по мере к у. интеграл функции г' обозначается ~ у(х)НР(х) или ~ у г(и и определяется равенством Из теоремы 4 2 24, если положить в ней Е=д.уУчГ(у„), будет следовать, что значение интеграла не зависит от выбора последовательности простых функций (ув), фигурирующей в его определении.
В то же время из теоремы 2 следует, что значение интеграла всегда конечно,— на это мы обращаем особое внимание читателя. Заметим ГЛАВА Ч. ИНТЕГРИРОВАНИЕ еще, что абсолютная величина интегрируемой функции, произведение интегрируемой функции на постоянную и сумма двух интегрируемых функций представляют собой интегрируемые функции; это вытекает из очевидных свойств последовательностей функций, сходящихся по мере и фундаментальных в среднем. Соотношения показывают, что вместе с у интегрируемы также 7 и у Если Š— измеримое множество и (у„~ — фундаментальная в среднем последовательность интегрируемых простых функций, сходящаяся по мере к у, то, как легко видеть, 1у ~„) представляет собой последовательность такого же Рода, сходЯщУюсЯ по меРе к 11н~.
ОпРеделим интеграл функции 7 по множеету Е равенством Вспомним, что теоремы Я 23 и 24, за исключением теоремы 4 9 24, были сформулированы для произвольных интегрируемых функций, а доказаны лишь для простых функций. Дополним теперь эти доказательства. Теоремы 1 и 2 $ 23 вытекают прямо из простейших свойств предела.
Теоремы 3 — 7 9 23 опираются на теорему 2 9 23, и доказательства их можно повторить дословно. Для доказательства теоремы 8 9 23, утверждающей абсолютную непрерывность неопределенного интеграла от 7, возьмем фундаментальную в среднем последовательность интегрируемых простых функций, сходящуюся к Г по мере. Для всякого измеримого множества Е будем иметь неравенство В его правой части первое слагаемое становится сколь угодно малым, 'когда достаточно мала мера Е, так как у„ †прост функции, и для них теорема 8 9 23 доказана. Что касается второго слагаемого, то оно стремится к нулю в силу самого определения ~ 7'Ирь и теорема 8 9 24 и доказана полностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
