П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Возьмем такое подмножество М в Х, для которого рв(М) = О и Рв(М) = 1 (см. теорему 5 и упр. 4). Тогда функция че, определенная равенством з" (Е) = Р*(Е) + р*(Е()М), представляет собой внешнюю меру (см. упр. 5 н 7 6 16). а) Множество Е т*-измеримо тогда н только тогда, когда оно р"-измеримо (см. упр. 6 612). б) !п1тв(Е) по всем ч*-измеримым множествам Е, содержащим заданное множество А, равняется 2 Р*(А). [У к а з а н и е. Если Е ~*-измеримо, то Ри(ЕПМ) =1'(Е) ) в) Внешняя мера тя нерегулярна. (Указание. Проверить на множестве М'.) Глава Л ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКИИИ $17.
ПРОСТРАНСТВА С МЕРОЙ Измеримым пространством назовем множество Х с выделенным в нем е-кольцом 8 подмножеств, обладающим тем свойством, что ЦЗ=Х. Обычно можно, не опасаясь путаницы, обозначать измеримое пространство той же буквой Х, что и само множество. В тех случаях, однако, когда важно подчеркнуть выделенное е-кольцо, мы будем пользоваться обозначением (Х, 8). Множество Е в пространстве Х принято называть измеримым тогда и только тогда, когда Е принадлежит о-кольцу 3, Такая терминология не означает, однако, что 8 представляет собой о-кольцо Р*-измеримых множеств относительно некоторой внешней меры, которая задана нли хотя бы может быть задана на $.
Пользуясь термином „измеримое множество", можно сформулировать условие, фигурирующее в определении измеримого пространства, сказав, что соединение всех измеримых множеств равно всему пространству или что каждая точка пространства принадлежит некоторому измеримому множеству. Цель этого ограничения состоит в том, чтобы, исключив из рассмотрения точки (или целые участки) пространства, несущественные с точки зрения теории меры, избавиться тем самым от многочисленных очевидных оговорок. Пространством с мерой назовем измеримое пространство (Х, 8) с заданной на 8 мерой Р.
Так же как для измеримого пространства, мы условимся и пространство с мерой обычно обозначать той же буквой Х, В тех случаях, когда важно подчеркнуть выделенное е-кольцо и заданную на нем меру, мы будем пользоваться обозначением (Х, 8, Р). Будем говорить, что имеем пространство с (вполне) конечной, с-конечной или полной мерой тогда, когда мера Р обладает соответствующим свойством. В пространстве с мерой мы будем, без особых пояснений, вводить внешнюю меру и* и (в с-конечном случае) внУтРеннюю меРУ Ре, индУциРованные меРой Р на наследственном е-кольце Н (З) Большинство результатов предыдущей главы, как в основном тексте так и в примерах, относится к превращению определенных измеримых пространств в пространства с мерой.
В этом параграфе мы сделаем несколько общих замечаний об измеримых пространствах н о пространствах с мерой, а в остальных параграфах этой главы ГЛАВА ПА НЗМВЕИМЫВ ФУНКЦИИ и в дальнейших главах займемся рассмотрением функций, заданных на пространствах с мерой, методами построения новых пространств с мерой из некоторых исходных, и, наконец, изучением особенно важных частных случаев. Заметим прежде всего, что всякое измеримое подмножество Хе пространства с мерой (Х, 8, а) само может рассматриваться как пространство с мерой (Хе, 8ш йо), в котором в качестве 8е взят класс измеримых подмножеств множества Ха, а 1ье определена на таких подмножествах равенством пе(Е) = 1ь(Е). Обратно, если некоторое подмножество Хе множества Х представляет собой пространство с мерой (Хе, 8е, 1ьо)ь то само Х может быть обращено в пространство с мерой, если отнести к 8 те множества в Х, пересечения которых с Хо принадлежат 8ш а а определить на 8 равенством 1ь(Е) = = р (Е П Хе).
Подобные же замечания справедливы, конечно, и для ивмеримых пространств. Часто бывает удобно пользоваться некоторым видоизменением указанной конструкции даже и тогда, когда Х уже является пространством с мерой. Если Хе в какое-нибудь измеримое множество в прострзнстве Х, то в классе всех измеримых подмножеств пространства Х можно задать новую меру 1ьш положив 1ье (Е) = 1ь(Е П Хс); легко пРовеРить, что (Х, 8, Р ) оказываетсЯ пРи этом пространством с мерой.
К чему приведут построения, указанные в предыдущем абзаце, если в качестве Ха взять неизмеримое множествой Для того чтобы выделить случай, когда такого рода построения могут оказаться полезными, введем следующее новое понятие. Множество Х„ в пространстве с мерой (Х, 8, а) назовем массивным, если а (Š— Х„) = О, каково бы ни было измеримое множество Е. Если само Х измеримо, то Хь массивно тогда и только тогда, когда иь (Х вЂ” Ха) = 0; если и — вполне конечная мера, то Ха оказывается массивным подмножеством тогда и только тогда, когда 1ьь (Ха) =Р(Х) (примеры массивных подмножеств указаны в теореме 5 й16 и в упр. 4 516). Следующий результат, несколько более глубокий, нежели замечания предыдущего абзаца, состоит в том, что всякое массивное множество в пространстве с мерой также может быть рассматриваемо как пространство с мерой.
Теорема 1. Пусть Х вЂ” массивное множество в пространстве с мерой (Х, 8, й). Если 8а = 8 П Хе и йе (Е П Хе) = р, (Е) для множеств Е, принадлежащих 8, то (Хе, 8а, 1ьо) представляет собой пространство с мерой. Доказательство. Если множества Е, и Ез из 8 таковы, что Е,ПХо=ЕаПХ, то (Е,ЬЕя)ПХВ =О, поэтому й(Е,ЛЕВ)=О и и(Е,) = 1ь(Еа). Другими словами, мера 1ье определена на Зе однозначно. Рассмотрим какую-нибудь последовательность ( Р„) непересекающихся множеств из 8а; пусть 1 1а. измйнимыв ФУнкции где Е„~8. Если Е„=ń— ЦЕИ и=1, 2, то (ЕябЕ.)()Хэ=(ń— ~3Е1)йЕ„=Е йр =О следовательно, р(Е„ЬЕ„) = О и СО СО ОО СО Х (Ев) = Х Р(Е.) = у~ Р(Е.) =Р(ОЕ.) = я=г Таким образом, ро действительно представляет собой меру.
1. Справедливо предложение, обратное теореме 1: если (Х, 8, р) — пространство с мерой и Хэ — подмножество Х, обладающее тем свойством, что еэПха = еэйхэ влечет за собой равенство гс (ег) = р (еэ), то хэ является массивным подмножеством в Х. (У к а з а н и е. Если Г= Š— Хэ, то (Е Г)ПХоОО ЕДХэ.) 2. В О-конечном случае теорема 1 может быть доказана иначе с помощью результата, содержащегося в упр. 2 ф!б. 3.
Следующее предложение показывает, что пространства с конечной мерой лишь незначительно отличаются от пространств с вполне конечной мерой, хотя на первый взгляд последние образуют гораздо более специальный класс пространств. В любом пространстве с конечной мерой (Х, 8, р) существует массивное измеримое множество. (У к а ванне. Пусть с = зпр (р (Е): Е б 8); тогда, если (Е„) — последовательность измеримых множеств, такая, что 1йп и (Ен) = с, то можно положить Хэ = 0 Есг Заметим, я я=э что р(ХО) =с.) Этот вывод позволяет нам во многих приложениях без особенных потерь заменять пространство Х множеством ХФ В качестве примера пространства с конечной, но не вполне конечной, мерой рассмотрим числовую прямую Х и на ней класс 8 множеств вида Е() С, где Š— измеримое в смысле Лебега подмножество интервала [О, 1), а С в некоторое конечное или счетное множество; р пусть будет лебеговской мерой.
Указанный здесь метод замены Х множеством Хэ конечной меры часто применяется в теории меры и носит название метода исчевпыэания. 4. Если (Х, 8, 1с) — пространство с полнои а-конечной мерой, то в нем всякое р*-измеримое множество измеримо. Таким образом, для пространств с полной О-конечной мерой оба понятия измеримости эквивалентны. $18. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ Предположим, что у — функция, заданная на каком-нибудь множестве Х и принимающая действительные значения, и М вЂ” множество на числовой прямой, Будем пользоваться обозначением у-1(М) = (х:у (х) ~М) ГЛАВА !Ч.
ИЗМВРИМЫВ ФУНКЦИИ и называть У '(М), т. е. множество всех тех точек из Х, которые функцией у' отображаются в множество М, прообразом множества М (при отображении У). Если, например, ~ †характеристическ функция некоторого множества Е, заключенного в Х, то )' '()1)) = Е и /-'()О)) = Е', вообще У '(М)=О, Е, Е'или Х соответственно в тех случаях, когда М не содержит ни О, ни 1, содержит 1 и не содержит О, содержит 0 и не содержит 1 и содержит как 1, так и О. Легко Проверить, что, какова бы ни была функция ~, 7 1 ( М М ) Г 1 ( М ) ~ ( М ) другими словами, отображение У-' подмножеств числовой прямой на подмножества Х сохраняет теоретико-множественные операции.
Отсюда, в частности, следует, что если Š— класс множеств на числовой прямой, обладающий определенными алгебраическими свойствами (например, Е есть кольцо или о-кольцо), то У '(Е) — класс множеств вида ~-' 1М), где М ~ Е, — обладает теми же алгебраическими свойствами. Наибольший интерес для нас в дальнейшем будет представлять тот случай, когда Š†кла всех борелевских множеств на прямой. Предположим теперь, что в Х выделено, кроме того, некоторое о-кольцо 8 подмножеств, так что мы имеем измеримое пространство (Х, 8).
Для всякой функции У, заданной на Х и принимающей действительные значения (конечные нли бесконечные), обозначим М(у) = (х:у(х)ФО). Действительную функцию, обладаюшую тем свойством, что, каково бы ни было борелевское множество М на числовой прямой, множество М(~) П)'-'(М) измеримо, мы назовем измеримой функцией. В связи с этим определением нужны некоторые пояснения. Прежде всего следует подчеркнуть особую роль, которую играет в множестве значений функции число О.
Причина этого кроется в тсм, что нуль служит единичным элементом аддитивной группы действительных чисел. В следующей главе будет введено понятие интеграла, применимое к некоторым измеримым функциям, — бесспорно, важнейшее понятие в теории меры. Тот факт, что интегрирование можно рассматривать как своего рода обобн;енное суммирование, заставляет особым образом подходить к числу О. Пусть у — измеримая функция на Х Если в качестве М взять всю числовую прямую, то мы получим, что множество гч'(У) должно быть измеримым. Отсюда, если Š— измеримое подмножество а щ измеРимые Функции вг пространства Х, аМ вЂ” какое-нибудь борелевское множество на числовой прямой, то из равенства е ПУ-1(м) = (е () 117(~) () У-1(м)101(е — м(У)) ПУ ' (м)1 следует, что множество Е Пу"-1(М) измеримо. (Заметим, что (Š— гч'(7)) П7' '(М) в правой части этого равенства либо пусто, либо равно Š— 11(7).) Другими словами, если функцию 7, заданную на измеримом множестве Е, назвать измеримой на Е в том случае, когда Е()7-1(М) измеримо, каково бы ни было борелевское множество М на числовой прямой, то, как мы видим из проведенного рассуждения, измеримая функция оказывается измеримой на всяком измеримом множестве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
