П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Т. Множество точек замкнутого единичного интериала, изображаемых бесконечными двоичными дробями, в которых на всех четных местах стоят нули, измеримо в смысле Лебега и имеет меру нуль. 8. Пусть Х вЂ” окружность в евклидовой плоскости. На борелевских множествах в Х можно единственным образом задать меру р, инвариантную относительно всех вращений этой окружности и такую, что н (Х) = 1. (Множество на окружности назовем борелевским, если оно принадлежит а-кольцу, порожденному классом всех открытых дуг этой окружности.) 9. Пусть я — конечная возрастающая непрерывная функция действительного переменного.
Тогда на некотором а-кольце 8, содержащем все боре- левские множества, можно единственным образом задать полную меру р такУю, что Рв([и, ь)) =й(ь) — е(и), и дла всЯкого е из 8 сУществУет борелевгкое множество Р, для которого рв(ЕАР) =О (см.
упр 3 й 8). Мера ив называется мерой Лвбвга — Стильтьвса, порожденной функцией к. $16. НЕИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА Рассмотрения предыдущего параграфа не достаточно тонки для того, чтобы полностью выяснить строение множеств па прямой, измеРимых в смысле Лебега. В частности, далеко не тривиален вопрос, супгествуют ли вообще неизмеримые множества. Цель этого параграфа — ответить на этот вопрос, а также на некоторые смежные Вопросы. Приемы, которые Мы здесь употребим, заметно отличаются ГЛАВА ПЬ ПРОДОЛЖЕНИЯ МЕР 72 от тех, которыми мы пользовались до сих пор.
Но многие из них постоянно употребляются в теории меры, особенно при построении различных примеров, поэтому мы изложим эти приемы во всех подробностях. Обозначения здесь те же, что в й 15. Если Š— какое-нибудь множество на числовой прямой, то Е+ а, где а — фиксированное действительное число, будет означать множество всех чисел вида х+а, где х~Е; вообще, если Е и г"— множества на числовой прямой, то. Е+ Р будет означать множество всех чисел вида х+у, где х~Е и у ~ Р. Символом Е1(Е) мы будем обозначать множество разностей х — у, в которых и х и у входят в Е.
Теорема 1. Если Š— множество, измеримое в смысле Лебега, конечной положительной меры и О (и(1, то существует открытый интервал У, такой, что 1ь(Е П У))~и1ь(У). Доказательство. Пусть 1) — класс всевозиожных открытых множеств. Согласно теореме 3 й 1Б, р (Е) =! п1 (и (У): Ег= У~ $3) поэтомУ можно выбРать такое откРытое множество Уа, что ЕГ=.Уэ и а1ь(Уе) (1ь(Е).
Отсюда, если (У„) — последовательность непересекающихся открытых интервалов, соединение которых равно Уа, то а ~~~~ 1ь (У„) ( и ~ 1ь (Е П У ) . Следовательно, хотя бы для одного значения п должно выполняться неравенство и1ь(У„) (1ь(Е П У„); в качестве У мы возьмем такое У„. чь Теорема 2. Каково бы ни было измеримое в смысле Лебега множество Е положительной меры, существует открытый интервал, содержащий нуль и целиком содержащийся в множестве ьг (Е).
Доказательство. В том случае, когда Е содержит какой- нибудь открытый интервал, утверждение тривиально. В общем случае мы прибегнем к теореме 1, согласно которой можно выбрать такой интервал У, что 1ь (Е П У) )~ — р (У) . Если — — 1ь (У) ( х ( — и (У), то множество 1 1 (Е П У) 0 ((Е П У) + х) 3 заключено в интервале У()(У+х), длина которого меньше — 1ь(У). 2 Если бы множества Е() У и (Е11У)+х не пересекались, то, раз они ь 16. неизмеРимые множества имеют одинаковую меру, 1ь ((Е П У) () ((Е () У) + Х)) = 2 1ь (Е П Г Г) > й „, щ Следовательно, по крайней мере одна точка из ЕПУ принадлежит множеству (Е() (1)+х, откуда следует, что х~Е1(Е).
Мы показали, 1 1 что интервал ( — 2 1ь(У), 2 р(У)) обладает свойством, утверждаемым теоремой. эь Теорема 3. Если с — иррациональное число, то множество А всех чисел вида п+т1, где и и т — произвольные целые числа, всюду плотно на числовой прямой. Тем же свойством обладаегп его подмножество В чисел вида и+ т1 с четным п и подмножество С чисел вида и+ т$ с нечетным и. Доказательство. Для любого целого положительного г существует единственное целое число и;, положительное, отрицательное или равное нулю, такое, что О (и,+11(1; обозначим хь — — пь+гТ. Пусть У вЂ” произвольный интервал. Возьмем целое положительное число я, удовлетворяющее неравенству р(0) ) — . Тогда среди й + 1 1 чисел х„..., ха+„заключенных в единичном интервале, найдутся 1 по меньшей мере двз, хг и х, такие, что ~хь — хг~( —. Отсюда следует, что некоторое целое кратное разности хь — хр т.
е. некоторый элемент множества А, попадает в интервал У. Тем самым утверждение теоремы, относящееся к множеству А, доказано. Доказательство для множества В можно провести таким же путем, только вместо единичного интервала следует взять интервал (О, 2).
Справедливость теоремы для множества С вытекает из равенства С=В+1. эь Теорема 4. Существует по крайней мере одно множество Ез, не являющееся измеримым в смысле Лебези. Доказательство. Для двух действительных чисел х и у мы будем писать (только в этом доказательстве) х у, если х — у~А, где А — множество, описанное в предыдущей теореме и соответствующее какому-нибудь фиксированному 1.
Легко убедиться в том, что отношение „" рефлективно, симметрично и транзитивно, и, следовательно, все действительные числа разбиваются на непересекающиеся множества, каждое из которых образовано числами, находящимися в отношении „ " с некоторым определенным числом. Согласно аксиоме выбора, существует множество Е„содержащее в точности по одной точке из каждого такого множества. Мы докажем, что Ез неизмеримо.
Пусть Š— какое-нибудь борелевское множество, содержащееся в Е,. Так как множество разностей й(Е) не может содержать никакик отличных от нуля элементов множества А, то, в силу теоремы 2, ГЛАВА ПЬ ПРОДОЛЖЕНИЯ МЕР множество Е должно иметь меру нуль. Следовательно, йе(Ев)=0. Другими словами, если бы Еа было измеримым по Лебегу, то его мера должна была бы равняться нулю. Заметим теперь, что если а, и ая представляют собой различные элементы из А, то множества Еи+ а, и Е,+ аа не пересекаются. В самом деле, если допустить, что х,+а,=ха+а, где х,~Еа и хяЕЕМ то х,— ха=аз — а,~А, т, е.
х, хя, что противоречит определению множества Еш Далее, счетный класс множеств вида Ее+а, где а ~ А, покрывает всю числовую прямую, т. е. Е + А = Х, поэтому если бы Еа было измеримо в смысле Лебега, то и все Ео+ а были бы измеримы в смысле Лебега и имели бы ту же меру, что Ев. Следовательно, допущение, что Ев измеримо в смысле Лебега, приводит к нелепому выводу: р(Х) = О. Это †известн доказательство теоремы 4. Однако нам понадобится в дальнейшем, для построения некоторых примеров, следующая, более сильная, Теорема 5. Оа числовой прямой существует множество М, такое, что, наново бы ни было множество Е, измеримое в смысле Лебего, ре (М П Е) = О и РР (М П Е) = р (Е).
Доказательство. Пусть А =В() С(см. теорему 3), а Еэ — множество, описанное в доказательстве предыдущей теоремы. Положим М= Ее+ В. Пусть Š— какое-нибудь борелевское множество, содержащееся в М. Тогда, так как множество разностей Аз(Р) не может содержать ни одного элемента из всюду плотного множества С, то, в силу теоремы 2, р„(М)=0. Из соотношений же М'=Ее-+С=Ее+(В+1) =М+1 вытекает, что и р,(М')=0 (см. теорему 4 й15). Если Š— произвольное множество, измеримое в смысле Лебега, то, в силу монотонности внутренней меры, р (М П Е) = ре (М' П Е) = О.
Отсюда, согласно теореме 8 $14, ре(МП Е) =р(Е). Из результатов этого параграфа, между прочим, следует, что лебеговскую меру нельзя распространить на класс всех подмножеств действительной прямой, так чтобы распространенная функция множества была мерой, инвариантной относительно переносов.
1. Если Š— множество, измеримое в смысле Лебега, обладающее тем Свойством, что для всякого х нз некоторого всюду плотного множества й (Е й (Е + х)) = О, Ч !6. НЕИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА 75 то либо 1»(Е) = О, либо 1»(Е') = О. 2. Пусть р — а-конечная мера на некотором в-кольце 8 подмножеств пространства Х, а Ив и р„ — соответственно верхняя и нижняя меры, индуцированные мерой и на Н (8). Пусть М вЂ” произвольное множество из Н (8) и 8 — с-кольцо, порожденное классом всех множеств из 8 совместно с множеством М.
Следующая цепочка утверждений приводит к доказательству того, что мера р может быть продолжена на 8: а) а-кольцо 8 состоит из всевозможных множеств вида (Ейм) Ь(ГПМ'), где Ес8, ГЕ 8. [Указание. Достаточно обнаружить, что класс множеств указанного вида образует с-кольцо. Заметим, что (ЕПМ) Ь (Гйм') = = (ейм)[)(ГПМ).) б) Если ев(М) к со, В и Н вЂ” соответственно измеримое ядро и измери»»ая оболочка множества М и В = Н вЂ” О, то пересечение любого множества из 8 с В' принадлежит 8. в) В 8 содержатся множества 0 и Н, такие, что В ~ М~ Н, я„(м — 6) = Р„(Н вЂ” М) = О, и если В = Н вЂ” О, то пересечение с В' любого множества из 8 принадлежит 8. (Указание. Существует такая последовательность (Х„) попарно непересекающихся множеств из 8, что»»(Х„) к.со » М= [) (МПХ„).) г) В тех же обозначениях мв (МП О) = 1» (М ПВ) О и, следовательно ' (МП 0) = * (м'П 0) = (0).
д) В тех же обозначениях, если [(Ег Й М) Ь (Гг Й М')) Й 0 = [(Ез й М) Ь (Гз П М ) [ Й В где Ев Гв Ез и Гз принадлежат 8, то р(ЕгПВ) = 1»(Е,ПВ) и р (ГгПВ) = р (ГьПВ). У к а з а н и е. Воспользоваться тем, что из [(Ег Ь Ез) П М П 0[ Ь [(Гз Ь Гх) П М' Й 0[ = О следует (ЕгПВ)А(ЕтПВ)~м'ЙВ и (Г,ПВ)Д(Г,ЙВ)~МЙВ[ е) Пусть к и й — неотрицательные числа, такие, что а+ у = 1. Пользуясь теми же обозначениями, положим 1» ((ЕПМ) Ь (Гймг)) = р ([(ЕПМ) Ь (Гйм»)]ПВ)+ ар(ЕЙ В)+р1»(ГЙВ). Тогда р представляет собой меру 'на 8, совпадающую на 8 с Р. 3. Если 1» — а-конечная мера на некотором с-кольце 8 и если (М», м„) — конечный класс множеств, принадлежащих наследственному '-кольцу Н(8), то М,..., М„могут быть присоединены к 8 и на с-кольце 8, порожденном классом 8[[(М», „М„), можно определить меру»», совпадающую на 8 с и. 4 Следующий пример полезен для интуитивного овладения понятием неизмеримого множества.
Фактически все основные свойства неизмеримых множеств могут быть обнаружены на этом примере. Пусть Х=((х,у): О < < х < 1, О (у ~~ Ц вЂ” единичный квадрат. Для любого подмножества Е интервала [О, 1! положим Д = ((х, р): х 4 Е, О < У < 1) ' ГЛАВА!П. ПРОДОЛЖЕНИЯ МЕР Пусть $ — класс множеств Е, соответствующих измеримым в смысле Еебега множествам Е. Положим Р(Е) равной лебеговской мере множества Е. Тогда 11 множество М = ~ (х, у): О ( х ( 1, у = — з будет неизиеримым: Р„(М) = О и Р*(М) = 1. 5. Пусть Р" — регулярная внешняя мера в классе всех подмножеств некоторого множества Х, такая, что Р (Х) = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
