П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Отсюда следует, что класс 8, который, очевидно, замкнут относительно образования симметрических разностей, замкнут также относительно образования счетных соединений, следовательно, 8 представляет собой е-кольцо. Если Е, Ь гч'1 = Еа а гча, Ее~8, Юг=.А,~8, р(А) =О, 1=1, 2, Е, Ь Еа = М1 Ь Мз где и, следовательно, р (Е, Ь Е ) = О. Отсюда 1г (Е,) = р (Е ), и мы видим, что равенства у.
(Е й М) = р. (Е 0 М) = р (Е) действительно определяют р однозначно. Пользуясь представлением множеств, входящих в 8 в виде Е Ц ДГ, нетрудно проверить, что р есть мера. Так как 8 содержит все подмножества всевозможных множеств меры нуль из 8, то мера р полная. гг Следующая теорема устанавливает связь между пополнением заданной меры и тем продолжением ее, которое строится посредством внешней меры. Теорема 3. Пусть р — е-конечная мера, заданная на некотором кольце (т, и ре — индуцироеаняая ею внешняя мера. Тогда пополнение расширения меры 1г, заданного на 8(1с), совпадает с 1ге на всех р'-измеримых множествах.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 8" — класс всех р*-измеримых множеств, а 8 — область определения пополнения 1г меры р. Так как ре представляет собой полную меру на 8е, то 8 содержится в 8е, и на 8 мера р совпадает с р*. Мы покажем теперь, что 8* содержится Ч!3. РАСШНРЕННЕ Н ПОПОЛНЕНИИ МЕРЫ в 8. Мера 1ьь а-конечна на 8" (см. теорему 5 й 12), поэтому достаточно доказать, что если Е~8* и и*(Е) <со, то Е~8. Согласно теореме 3 й 12, множество Е обладает измеримой оболочкой Р.
Так как р.*(Р)=р(Р)=р*(Е), 11" (Е)<со и рь есть мера на 8ь, то 11" (Р— Е) =О. Множество Р— Е также имеет измеримую оболочку О и и(О) =р*(Р— Е) =О, поэтому равенство Е=(Р— О) 0(ЕП О) представляет Е в виде соединения множества иа 8(Й) и подмножества некоторого множества из 8 (Й) меры нуль. Таким образом, Е~8, и теорема 3 доказана. Грубо говоря, теорема 3 утверждает, что в а-конечном случае а-кольцо всех 1ье-измеримых множеств и о-кольцо 8 (й) разнятся весьма незначительно: всякое Р*-измеримое множество с точностью до множества меры нуль совпадает с некоторым множеством из 8(11). В заключение этого параграфа мы приведем очень полезную теорему, касающуюся связи между мерой в кольце н Ее расширением в порожденном им а-кольце.
Теорема 4. Если 11 — е-конечная мера в некотором кольце й, то для любого множества Е из 8(й) конечной меры и для любого положительного числа е в й существует множество Е, такое, что р(ЕЬ Еь) < е. 11оказательство. В силу результатов 510 — 12 и теоремы 1 р(е) ~ ° $ Хр)е,):е Цев„е,гьг, ~=1,2,...). ! 1=1 1=1 Поэтому в К существует последовательность множеств (Е1), такая, что ОЭ СО Е~ЦЕ, и Р(ЦЕс) <11(Е)+ 2.
1=1 1=1 Так как р (Ц Ес) 11ш )ь(Ц Ес) 1=1 ч 1-1 то можно указать такое целое положительное и, что, обозначив Ео= Ц Ес' будем ииеть РАЦ Е,) <Р.(Ео)+ 2 ' 1=1 ГЛАВА П1. ПРОДОЛЖЕНИЯ МВР Ясно, что Ео ~Н, Утверждение теоремы будет следовать из соотношений р (Е Ео) ~< р Я Е, — Ео) = 1" (О Е ) — 1 (Ео) < 2 1=1 1=1 р(Ео — Е) (р(ЦЕ1 — Е) =)ь(0Е1) — р.(Е) ~( 2. эе 1=1 1=1 1. Пусть Р— конечная, неотрицательная, конечно-аддитивная функция множества в кольце й.
Функция Р*, построенная согласно й 1О, и в этом случае будет внешней мерой; следовательно, можно будет образовать меру р, согласно теореме 3 б 11, но р не будет, вообще говоря, продолжением функции Р. (см. упражнения 2 й 10; 4 (е) й 10; 4 й 11). 2. Если Р— расширение описанной в б 8 меры Р, заданной в кольце Н, порожденном интервалами, то, каково бы ни было счетное множество Е из 8(Н), Р(Е) =О. 3.
Утверждение единственности в теореме 1 неверно, если класс й, на котором задана мера Р, не является кольцом. (У к аз ание. Пусть Х= (а, Ь, с, с() — пространство, состоящее из четырех точен, и в классе всех его подмножеств заданы меры 11 и Рэ следующим образом: Рг((а)) = Рг((г()) = = Рг((Ь)) = Рз((с)) = 1, Рг((Ь)) = Рг((с)) = Рэ((а)) = Рз((ггг) = 2) 4. Справедлива ли теорема 1 в том случае, когда Р задана на полукольце? 5. Пусть Н вЂ” кольцо подмножеств счетного многкества Х, такое, что всякое непустое множество из К счетно, а 8(Н) охватывает все подмножества Х (см. упр. 7 Е 9). Для всякого Е из 8(Н) положим Рг(Е) равным числу точек в е и Рх(е) = 2Р1(е). тогда Р1 и Рз совпадают на й, но не совпадают на 8 (Н).
Таким образом, утверждение единственности в теореме 1 неверно без условия с-конечности мер на 1?, хотя бы зги меры были вполне а-конечны на 8(Н). 6. Предположим, что Р есть мера в а-кольце 8, а Р в кольце 8 — ее пополнение. Если А Е 8, В Е8, А с: Е~ В и Р( — А) = О, то Е с 8. 7. Пусть Х вЂ” какое-нибудь несчетное множество, 8 — класс его конечных или счетных подмножеств и их дополнений и для всякого Е из 8 Р (Е) равно числу точек, входящих в Е.
При этом Р представляет собой полную меру в 8, и все подмножества в Х оказываются Рв-измеримыми. Таким образом, теорема 3 без предположения а-конечности неверна. 8. Если Р и т — юконечиые меры в кольце (1, то для всякого множества Е из 8 (К), для которого Р(Е) с со и т(Е) с„оо, и для всякого положительного числа а в Н найдется множество Еэ, такое, что Р(ЕпЕэ) ~ э и т(ЕА Еэ) ~( $14. ВНУТРЕННИЕ МЕРЫ Мы возвращаемся к изучению мер в общем виде, внешних мер и соотношений между ними, с целью изложения интересного и исторически важного раздела теории.
Мы видели, что если в о-кольце 8 задана мера Р, то функция р*, определенная для всех множеств Е наследственного о-кольца Н(8) равенством Р*(Е) =)пг(Р(Е)1Ес=Е~В), % 1е ВнутРеннне меРы представляет собой внешнюю меру; в о-конечном случае индуцированная внешней мерой 14е мера р в о-кольце 8 всех 14*-измеримых множеств совпадает с пополнением меры 14. Теперь мы определим ВНУтРЕННЮЮ МЕРУ 144, ИНДУЦИРОВаННУЮ МЕРОЙ 14, ПОЛОЖИВ ДЛЯ Е из Н(8) ве(Е) = знр (14 (Г): Е~Г~8).
В этом параграфе мы изучим в.е и ее связь с р*; мы покажем, что свойства ре в некотором, вполне естественном, смысле двойственны свойствам р*. Прежде всего мы заметим, что функция множества 144 неотрицательна, монотонна и обращается в нуль на пустом множестве; этими свойствами внутренней меры мы будем пользоваться в дальнейшем без особых пояснений. Итак, в этом параграфе всюду предполагается, что ~4 есть е-конечная мера в некотором о-кольце 8, 14* и р„ — индуцированные ею внешняя и внутренняя меры, р †ме в 8 †пополнен меры р,. Напоминаем, что 14 совпадает с р* в классе р*-измеримых множеств (см. теорему 3 $ 13). Теорема 1. Если Е~Н(8), то р е (Е) = з ар (~4 (Г): Е з Г ~ 8) . Доказательство. Так как 84= 8, то прямо из определения ре вытекает неравенство ре(Е) < зпр (р(Г):Е=э ГЕ 8).
С другой стороны, согласно теореме 2 й 13, каково бы ни было Г из 81 в 8 существует множество О, такое, что 0~ Г и р, (Г) = р (0). Это означает, что любое значение меры р на 8 достигается мерой р на 8; тем самым теорема доказана. Множество Г из 8 называется измеримым ядром некоторого множества Е из Н(8), если Г~Е и, каково бы ни было множество О из 8, содержащееся в Š— Г, непременно р(0)= О. Грубо говоря, измеримое ядро множества Е есть наибольшее множество из 8, содержащееся в Е. Теорема 2. Всякое множество из Н(8) обладает измеримым ядром.
Доказательство. Пусть Š— измеримая оболочка множества Е, а М вЂ” измеримая оболочка множества Š— Е. Положим Г = Š— Лг; тогда Г= Й вЂ” Ис=.Š— (Й вЂ” Е) = Е, и если О~Š— Г, то 0 4=.Š— (Š— И) = Е () №= 4У' — (Š— Е). глава ш. пеодолжвния мзв Так как М есть измеримая оболочка множества Š— Е, то из полученных включений следует, что Р является измеримым ядром множества Е. Теорема 3.
Если Е~Н(8), а Р— измеримое ядро множества Е, то р(Р)=рь(Е). Если Р, и Гз служат измеримыми ядрами множества Е, то 1ь (Р, Ь Р ) = О. Доказательство. Так как Г~Е, то, очевидно, 1с(Г)~(рь(Е). Если бы имело место неравенство 1с(Р) < рь(Е), то, согласно определению 1сь (Е), в 8 существовало бы множество Р, такое, что Го~Е и р(Ро) ) 1ь(Г); тогда мы имели бы Ро — Г~Š— Р и р(ГΠ— Р)>р(ГО) — р(Р))0 что противоречит свойствам множества Р. Таким образом, 1ь(Г)= = р*(Е) Из соотношений Р,с=Р,() Г г=Е следует (Р,(1 Рз) — Р,~Š— Р,. Поэтому, в силу того, что Р, служит измеримым ядром множества Е, р. ((Г, Ц Ез) — Р,) = О; подобным же образом р((Г,() Г,) — Г,) =О. Следовательно, р, (Р, Ь Рз) = О.
Те орем а 4. Если (Е„) — последовательность непересекающихся множеств из Н(8), то СО СО Р~ Я Еп) >~ )З„Р~ (Е„). ЕОЬ ЕОП Доказательство. Пусть Рп — измеримое ядро множества Е„, и = 1, 2, ...; тогда, в силу счетной аддитивности р, СО СО ОЭ СО Х рь (ЕО) = Х р (Рп) = р ( 0 Рп) < рь ( 0 Еп) Теорема 5. Если А~И(8), а 1Е„) — последовательность непересекающихся множеств из 8, такая, что ЦЕ„= Е, то О=Ь р.ь(А П Е) = ~~у.ь (А П Е„). 5 14. ВНУТРЕННИЕ МЕРЫ Д о к а з а т е л ь с т в о.
Если Š— измеримое ядро множества А П Е, то рв (А П Е) = р (Е) = Х р (Е П Е ) ( Х ре (А П Е ). Обратное неравенство имеет место в силу теоремы 4. Ж Теорема 6. Если Е~8, то ре (Е) = ре (Е) = р (Е). Обратно, если ЕЕ Н(8) и р* (Е) = р.
(Е) ( оо, то Е~8. Доказательство. Если Е~8, то как верхняя грань, фигурнруюнгая в теореме 1, так и нижняя грань в теореие 2 й 12 достигаются функцией р на множестве Е. Чтобы доказать обратноа утверждение, возьмем измеримое ядро и измеримую оболочку множества Е, обозначив их соответственно А и В. Так как р(А)= = р. (Е) ( оо, то р. ( — А) = р (В) — р. (А) = р» (Е) — ре (Е) = 0 и требуемый результат вытекает из полноты меры р а 8 (см. теорему 3 й 11, и упр. 6 й 13). Теорема 7. Если Е и à — непересекающиеся множества ив Н(8), то „„(Е и Е) ( рв(Е)+рв (Е).а „*(Е() Гр. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А — измеримая оболочка множества Е, а  — измеримое ядро мкожества ЕДЕ. Так как  — А~Е, то р.,(Е()Е)=р(В) <р( — А)+р(А) <р,(Е)+р.в(Е).
Пусть теперь А — измеримое ядро множества Е, а  — измеримая оболочка множества Е() Г. Тогда  — А=зЕ и р,* (Е 1) Е) = р (В) = р. (А) + р ( — А) )~ ре (Е) + р"' (Е). Т е о р е м а 8. Если Е ~ 8, то, каково бы ни было подмножество А пространства Х, р (АПЕ)+р" (А'ЙЕ)=р(Е) Доказательство. Применив теорему 7 к множествам АПЕ и А' ПЕ, получим р .
(Е) < ре (А П Е) + р "* (А' П Е) ( р и (Е) Но Е~ 8, поэтому, в силу теоремы 6, ре(Е) =р*(Е)=р(Е). ГЛАВА гп. пгодолжвния мяй Результаты этого параграфа позволяют наметить еще один подход к построению расширения меры р, которым часто пользуются. Пусть р — о-конечная мера на некотором кольце [?, р* — индуцированная ею внешняя мера в Н(й); тогда для любого Е конечной меры из [? и для любого А из Н([?) Рз (А П Е) = Р(Е) — Рз (А' ПЕ). Это равенство может служить для определения внутренней меры, если мы покажем, что любые два множества Е и Р конечной меры из [?, такие, что АПЕ=АПР, удовлетворяют условию р(Е)— — р.з (А' П Е) = р (Р) — р." (А' [) Р). В самом деле, тогда можно сказать, что множество Е из Н([?), имеющее конечную внешнюю меру, измеримо, если рз(Е) =[а*(Е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
