П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Читатель сможет провести это построение во всех подробностях с помощью приемов, развитых в этой главе. 1. Имеют ли место для р свойства, сформулированные в упр. 4 5 12 для рь? 2. Прн некоторых дополнительных условиях для внутренних мер справедливо предложение, двойственное тому, которое сформулировано в упр. 4 5 12; буквально зто предложение на внутренние меры не распространяется (см.
упр. 5 5 12). 3. Если Š— множество конечной меры из 8 и Р~ Е, то из И(Е) = = ив(Р)+и*(Š— Р) следует, что Р68, Другими словами, испытывать Р на измеримость можно посредством одного фиксированного множества (содержащего Р) из 8, вместо того чтобы прибегать к всевозможным А из Н (8), [Указание. Можно воспользоваться теоремой 8.[ 4.
Верен ли для внутренних мер аналог предложения, сформулированного в упр. 6 5 11? 5. Если Ес Н(8) и Р— измеримая оболочка множества Е, то н (РПМ) = =рь(ЕПМ), каково бы ни было измеримое множество М. (Указание. Применить теорему 8 к множествам Е= РПМ и А =Е'.) Обратно, если множество Р обладает этим свойством и Е~ Р68, то Р служит измеримой оболочкой множества Е. Подобным же образом, Р представляет собой измеримое ядро множества Е тогда и только тогда, когда Е-зРр8 и р(РПМ) = из(ЕПМ) для любого М из 8.
5 15. ЛЕБЕГОВСКЛЯ МЕРА В этом параграфе мы применим общие методы теории продолжения меры к специальному случзю, рассмотренному в 2 8, и установим относящиеся к этому случаю классические результаты; попутно будет введена терминология, установившаяся в этом круге вопросов. Всюду в этом параграфе предполагается, что Х вЂ” числовая прямая, Р— класс всех ограниченных полузамкнутых интервалов вида [а, Ь), $ — порожденное классом Р о-кольцо и [ь — функция множества, заданная на Р равенством )ь([а, Ь)) = Ь вЂ” а.
Множества, принадлежащие о-кольцу 8, называются борелевскижи множествами на прямой; согласно теоремам 5 28 и 1 $18, мы а 1а. лвзвгозскАй мйРА можем считать, что мера р. определенз на всех борелевских множествах. Множества класса 8 называются множествами, измеримыми в смысле Лебега, а мера [ь на 8, являющаяся пополнением меры [ь,— лебеговской мерой. Самое меру Р также называют обычно лебеговской.
Так как вся прямая Х представляет собой соединение счетного числа множеств из Р, то Х~ 8, так что о-кольца 8 и 8 оказываются даже о-алгебрами. Очевидно, [ь(Х) = оо, но, так как конечна на Р, то и [ь на 8 и [ь на 8 вполне о-конечны. Некоторые другие интересные свойства [ь и [ь перечислены в следующих теоремах. Теорема 1. Всякое счетное множество представляет собой борелевское множество меры нуль. Доказательство. Для любого а ( — оо(а(оо) имеем (а) = (х: х = а) = П '[х: а ~. х ( а + — ь, 11 и 1 поэтому Р ((а )) = 1пп Р ([а, а + — )) = Пш — = О. Таким образом, всякое одноточечное множество есть борелевское множество меры нуль.
Так как борелевские множества образуют о-кольцо и мера Р счетно-аддитивна, то мы прямо получаем утверждение теоремы. чь Теорема 2. Класс 8 борелевских множеств совпадает се-кольцом, порожденным классом 0 всех открытых множеств. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как, каково бы ни было действительное число а, (а) есть борелевское множество, то из соотношения (а, д) = [а, Ь) — (а) следует, что всякий ограниченный открытый интервал является борелевским множеством. Далее, всякое открытое множество представляет собой соединение счетного числа ограниченных открытых интервалов, поэтому 8-а11 и, следовательно, 8=>8(0). Чтобы установить обратное включение, заметим, что, каково бы ни было действительное число а, ( ) = П( --„'.
+И' и=1 следовательно, (а) ~ 8([)). Из соотношения [а, д) =(а, д) [) (а) вытекает, что Р<-8([1) и, следовательно, 8 = 8 (Р) <: 8 (Щ. Теорема 3. Если [) — класс всех открытых множеств, то для любого множества Е на прямой [ье (Е) =1п[ ([ь(У): В~У ~ 11). глава!и.
пгодолжения мвв Доказательство. Так как йь(Е)=!п1(р(Р): Ег=Р~Б), то из соотношения 0~8 следует, что рь (Е) < 1'пг (р(П): Ег=.ПЕ. Щ С другой стороны, в силу определения р*, для любого положительного числа е существует последовательность множеств Ца„, д„)), принадлежащих Р, такая, что Ес Ц (а„, дп) ~~~ (д„— а„) < и ь (Е) + л . ь=г Отсюда следует, что р(и) < ~>„(д„— а„)+ — <и*(Е)+ . и=1 утверждение теоремы вытекает из того, что е произвольно.
эь Т е о р е м а 4. Пусть Т вЂ” взаимно-однозначное отображение всей числовой прямой самой на себя, определенное формулой Т(х)=ах+р, где и и р — действительные числа, причем а ныл. Если для любого множества Е множество точек вида Т(х), где х~Е, обозначить Т(Е), то р" (Т(Е)) = ( а ) Рь (Е) и р (Т(Е)) = ) а ( рь (Е). При етом множество Т(Е) является борелевским или измеримым в смысле Лебега тогда и только тогда, когда множество Е соответственно борелевское или измеримое в смысле Лебега.
Доказательство. Мы докажем эту теорему для случая а ) О. При а<О отображение Т представляет собой результат наложения преобразований Т, и Та: Т(х)=Т,(Та(х)), где Т,(х)=(а~х+р и Тг (х) = — х. Читателю предоставляется доказать, что преобразование Та переводит борелевские множества в борелевские, а множества, измеримые в смысле Лебега, — в множества, измеримые в смысле Лебега, и что оно сохраняет как внутреннюю, так и внешнюю меру любого множества. Итак, предположим, что а ) О, Пусть Т(8) — класс множеств вида Т(Е), где Е~8. Ясно, что Т(8) представляет собой в-кольцо, 5 15. Лвзвговская МЕРА и нам нужно доказать, что Т(8) = 8.
Если Е = [а, Ь) ~ Р, то Е=Т(Е), где Е ~" — р ь — р) таким образом, Е~Т(8) и, следовательно, 8~Т(8). Применив это же рассуждение к обратному преобразованию Т ', мы придем к соотно- шению 8~Т '(8). Подвергнув 8 и Т-' (8) преобразованию Т, мы получим Т(8)~8, откуда Т(8) =8. Если для борелевских множеств Е мы положим 1ж, (Е) = в (Т(Е)) и ря (Е) = а1ж (Е), то функции 1ж, и рз будут мерами на 8. В том случае, когда Е=1а Ь) б Р, Т(Е) =(аа+ р, аЬ+ 11) и (Е) = 1г (Т(Е)) = (аб+ Д) — (аа + 11) = а (Ь вЂ” а) = = ар, (Е) = ва (Е). Согласно теоремам 5 ф 8 и 1 $13, 1ж(Т(Е))=ар(Е) для любого множества Е из 8.
Применив к отображению Т-' выводы двух предыдущих абзацев, мы получим равенства рж(Т(Е)) = 1н1 („(Е): Т(Е)<=Е~8) = =1п1 (аа(Т-' (1а)): Ег- Т-' (Е) ~ 8) = = а 1п1 (р, (О): Ег= О ~ 8) = = ар*(Е). Взяв здесь всюду знр вместо 1п1, Р„вместо 1жж и ~ вместо <=, придем к равенству р. (Т(Е)) = а1жж (Е), где Š†произвольн множество. Пусть теперь Š— множество, измеримое в смысле Лебега, и А — любое множество. Тогда 1жж (А й Т(Е))+ р ж (А й (Т(Е))) = =Рж(Т(Т-'(А) йЕ))+Рж(Т(Т вЂ” '(А) йЕ'))= = а (1жж (Т 1 (А) й Е) + р * (Т 1 (А) й Е )) = = а1жж(Т-'(А)) = р.*(А), и мы видим, что Т(Е) измеримо в смысле Лебега.
Применив это же Рассуждение к Т-', мы завершим доказательство теоремы, жж ГЛАВА ПЬ ПРОДОЛЖЕНИЯ МЕР 70 1. Класс борелевских множеств совпадает с а-кольцом, порожденным классом С всех замкнутых множеств, и для любого множества Е Рз(Е) = зЯР (Р(С): Е:» С РС). 2. Для всякого измеримого в смысле Лебега множества Е существуют борелевские множества А и В, такие, что АсЕсВ и Р( — А)=0; при атом А есть множество Р„а  — множество С»м 3. Всякое ограниченное множество имеет конечную внешнюю меру.
Верно ли обратное утверждение? 4. Пусть М вЂ” множество рациональных чисел, заключенных в замкнутом единичном интервале Х. Точки множества М каким-то образом занумерованы: М=(х», хз,...). Для любого а)0 и для ! = 1, 2,... пусть Рг(а) означает открытый интервал длины — с центром в точке хг! положим 2! «а г1ч Р (а) = 0 Р! (в), Р = П Р ( ) (,л) Справедливы следующие утвер»кдения: а) Можно указать а)0 и точку х из Х таким образом, что хРР(а), б) Р(а) — открытое множество и Р(Р(а)) <, е.
в) Множество Х вЂ” Р(а) нигде ие плотно. г) Множество Х вЂ” Р первой категории, и, следовательно, Р несчетно, так как Х представляет собой полное метрическое пространство (отсюда, в частности, следует, что Р ф М). д) Мера множества Р равна нулю. Так как Р~М, то из утверждения „д' вытекает, что М (как и всякое счетное множество) имеет меру нуль. Более интересно то, что обнаружено существование несчетного множества меры нуль (см. упр. 5).
5. Представим число х из замкнутого единичного интервала бесконечной троичной дробью: х=луы —, а =0,1,2, л=1,2,. %Ч аа Ьз ' а пусть С вЂ” множество тех х, в представлении которых такими дробями можно %ч а, обойтись без цифры 1. (Эаметим, что если вместо лт — писать, по анало- 7( за 1 гни с десятичными дробями, О,ага! ..., то, например, — = 0,100... = 0,22з2.. Л 1 1 1 позтому — р С. В то же время — = 0,111..., и представить — иначе в троич- 3 2 2 1 ной системе невозможно, следовательно, — рС.) Возьмем последователь- 2 /1 21 ность открытых интервалов: Х! = ~ †, — 7! — .средняя треть' замкнутого 'ч3 ' 37' отрезка Х; Х = ( †, — ~, Хз = ! †, — 7! — „средние трети' двух отрезков, соединение которых есть Х вЂ” ХБ Хи Хь, Ха, Хт — „средние трети" четырех отрезков, образующих Х вЂ” (Хх()ХзЦХз), и т.
д. Тогда справедливы следую- щие утверждения; Э 1В. НЕИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА 77 а) С=Х вЂ” 0 Х„, (Указание. Представить все х из Х в виде «=1 х=о,агав ... таким образом, чтобы для каждого х, принадлежащего С, все соответствующие а„были равны О или 2. Такое представление х единственно, и хбХ1 тогда и только тогда, когда а1= 1; хвХв() Хз тогда и только тогда, когда «1~1, аз= 1; хй Хв[)Хв()Хв[)Хг тогда и только тогда, когда «1 Ф 1, аг ф 1, аз =1 и т. д.) б) р(С) = О. в) С нигде не плотно.
(Указание. Предположите, что Х содержит СО открытый интервал, не пересекающийся с 0 Ха.) и г) С вЂ” совершенное множество. (Указание. Никакие два интервала из последовательности Хг, Хг,... не пересекаются.) д) С имеет мощность континуума. (У к а з а н и е. Поставим в соответствие числу х из С, представленному бесконечной троичной дробью Окпав..., в которой а„ = О или 2, число у, представляющееся бесконечной 1 двоичной дРобью 0,818г..., где 8«= — а„. Это соответствие междУ С и Х 2 не взаимно-однозначно, но оно взаимно-однозначно между иррациональными числами, входящими в С, и иррациональными числами интервала Х.
Иначе можно доказать это, опираясь на утверждение „г'.) С называется канторовым множеством. 6. Так как класс всех борелевских множеств имеет мощность континуума (см. упр. 9 85), а всякое подмножество канторова множества измеримо в смысле Лебега (см. утверждение „б"), то существуют множества, измеримые в смысле Лебега и не являющиеся борелевскими множествами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
