П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пусть Є— иамеримая оболочка множества Е„и Р = Ц Р„. ч=< Тогда, очевидно, Р~В(й) и Е~Р. Если 0<=Р— Е, то 0= Ц0„, е=< где 0„= 0 () Рен Так как 0„<= Є— Е„, то р. (О„) = О, откуда р(0)<~р(0„) =О. Мы видим, что Р служит измеримой оболочкой .=1 множества Е. Равенство р*(Е) = р(Р) в рассматриваемом случае очевидно, так как <<(Р)=со. + Теорема 4. Если Е~Н(й) и Р— измеримая оболочка множества Е, то <ье(Е) =р(Р); если и Р, и Р служат измеримыми оболочками множества Е, то р,(Р„оР ) =О.
Доказательство. Из Е <=. Р, П Ра<= Р, вытекает, что Р,— — (Р, П Ра)<=.Р,— Е, а так как Р, служит измеримой оболочкой множества Е, то р(Р,— (Р,() Р,))=О. Подобным же образом доказывается, что й (Р; — (Р, П Р,)) = О. р(р,бР,) =О. Отсюда При р" (Е) = оо равенство р" (Е)=р (Р) тривиально. При р*(Е)<оо существование измеримой оболочки Рр множества Е, обладающей свойством Р(РО) = 1" (Е), обеспечено теоремой 3. Согласно и<е результатам предыдущего параграфа, любые две измеримые оболочки одного и того же множества имеют одинаковую меру.
эь Те о ре м а 5. Если мера р на 1< а-конечна, то о-конечны также меры << на 8(1<) и р на 8. Доказательство. В силу теоремы 1 Я 10, если р с-конечна, то 1<* о-конечна. Поэтому для любого Е из 8 существует последова- Ч 12. СВОЙСТВА ИНДУЦИРОВАННЫХ МВР бу тельность (Е,) множеств нз Н(й), такая, что Е~ Ц Е„р*(Е1) к,, ОО, 1 = 1, 2> 1 1 Доказательство завершается применением теоремы 3 к каждому из множеств Е,.
Помимо вопроса, сформулированного в начале этого параграфа, мы можем поставить еще такой вопрос. Если, исходя из некоторой внешней меры рч, образовать индуцированную ею меру р, а затем внешнюю меру рч, индуцнрованную мерой р,, то каково соотношение между рч и рчр Вообще говоря, эти две функции различны; если же совпадает с исходной внешней мерой р"', то рч называется регулярной внешней мерой. Утверждение теоремы 2, собственно, состоит в том, что если внешняя мера рч индуцирована некоторой мерой, заданной на кольце, то рч регулярна. Обратное также верно: если внешняя мера рч регулярна, т.
е. Ра =р", то она индуцирована некоторой мерой, заданной на кольце, именно мерой р на кольце рэ-измеримых множеств. Таким образом, понятия индуцированной внешней меры и регулярной внешней меры равнообъемны. 1. Теорема 4 утверждает, что измеримая оболочка, если оиа вообще существует, определяется однозначно с точностью до множества меры нуль; теорема 3 устанавливает существование измеримой оболочки у множеств ч-конечной внешней меры. Следующий пример показывает, что условие ч-конечности внешней меры в теореме 3 не может быть опущено.
Пусть Х вЂ” эвклидова плоскость. Обозначим йэ класс множеств Е в Х, могущих быть покрытыми конечным нли счетным числом горизонтальных прямых, на каждой из которых либо Е, либо его дополнение конечно или счетно. Пусть й — алгебра, порожденная классом йэ. Если положить Р (Е) = О тогда, когда Е конечно нли счетно, н Р(Е) =со для несчетных Е, то Р будет мерой на й. Легко видеть, что в этом случае й = 3(й), а 3 = Н (й) совпадает с классом всех подмножеств Х. Если множество Е есть ось у и Е ~ Еб 8 (й), то в 3(й) всегда найдется множество О, такое, что 0~ Š— Е и Р (О) чь О. 2.
Говорят, что множество Е на числовой прямой имеет точку сгущения на бесконечности, если вне любого конечного интервала оказывается несчетное подмножество множества Е. Пусть Х вЂ” числовая прямая, а Š— любое ее подмножество. Зададим функцию Р*, положив Рч(Е) = О, если Е конечно нли счетно, Рч(Е) = 1, если Е несчетно, но не имеет точки сгущения на бесконечности, и Рч(Е) = со, если Е обладает точкой сгущения на бесконечности.
Тогда Р* будет вполне а-конечной внешней мерой, но индуцированная ею мера р не будет я-конечной, так как рч-измеримыми оказываются лишь множества, сами конечные или счетные, а также множества с конечными нли счетными дополнениями, Регулярна ли В*2 Что получится, если для множеств с точкой сгущения на бесконечности положить Р ч(Е) = 172 3. Пусть л — некоторое фиксированное целое положительное число, а Иэ, И1, ..., Из в первые и + 1 бесконечных мощностей, расположенные в порядке возрастания.
Возьмем в качестве Х множество мощности И„ и зададим иа его подмножествах функцию Рч, положив рч(Е) = О, если Е конечно, и Рч(Е) = к, если Е обладает мощностью Ил, О ( д ~ л. Функция Рч является внешней мерой; регулярна ли она2 ГЛАВА!П. ПРОДОЛЖЕНИЯ МЕР 4. Если Рь — регулярнзя внешняя мера на наследственном з-кольце Н, ГЕ»') — возрастающая последовательность множеств из Н и 1!ш Е„= Е, то рь(Е) = 1!ш Рь(Е»).
(У к а ванне. В случае 11ш!ь" (Е„) =со результат очевиден. В противном случае возьмем Р*-измеримые оболочки Р„множеств Е„, и= 1, 2, ...; они образуют возрастающую последовательность, предел которой обозначим Р. Так как Рь (Р„) = Рз (Е„) ( Рь (Е), то Вш Ия (Р„) = Рь (Р) ~ ~( Рь (Е); с другой стороны, Ес: Р, позтому Р*(Е) ц !ь*(Р). Таким образом, Р служит измеримой оболочкой множества Е.) )(ля нерегулярных внешних мер этот результат неверен; соответствующий пример можно построить, опираясь на упр.
2. 5. Для любого подмножества Е произвольного множества Х положим Рз (Е) = О нли 1, в зависимости от того, пусто Е или нет; при таком определении функция Р* оказывается регулярной внешней мерой в классе всех подмножеств Х Если (Е») — убывающая последовательность непустых множеств с пустым пересечением (в бесконечном Х такая последовательность всегда существует), то 1!шр*(Е„) =1, тогда как Ря(!!гп Е„) = О. Другими словами, для убывающих последовательностей свойстяо, аналогичное указанному в упр. 4, не имеет места, даже если внешняя мера вполне конечна и регулярна. 6.
Пусть Р и Р†д конечные внешние меры, заданные на всевозможных подмножествах некоторого Х, и пусть 8П ! = 1, 2, — класс Рз-измеримых множеств. Если задать Р*, положив для любого Е, заключенного в Х, Р (Е) =и~(Е)+Ьз(Е) то класс 8 Р"-измеримых множеств совпадает с пересечением классов 8х и 8я (У к аз а н не. Равенство Рз(АПЕ) + из(АПЕг) = Р" (А) возможно только при и (АПЕ)+Р (АПЕ ) =и!(А), 1=1, 2.) Что можно сказать, если не предполагать и и Р конечиымиг 7. Пусть Р— любая конечнав регулярная внешняя мера на всевозмож- ных подмножествах множества Х, а Р задана так, как Р в упр.
5. Тогда, ъ ь хотя Р конечна и регулярна, но, если Р принимает больше двух различных значений, внешнЯЯ меРа Р +из неРегУлЯРна. 8. Если Х вЂ” метрическое пространство, а Р— положительное действи- тельное число, то р-мерной хаусдорфозой (внешней) мерой множества Е в пространстве Х называется ( со СО РР(Е) =зпр !п1! ~(Ь(Ес)):Е~ 0Ес, ь(Е!)(з, е) з ч=! где Ь(Е) означает диаметр множества Е: а) Функция множества Р есть метрическая внешняя мера (см. упр. 8411). б) Внешняя мера Р регулярна; в самом деле, для любого подмножества Е пространства Х существует убывающая последовательность ((У»у открытых множеств, содержащих Е, такая, что Ь 13.
РАСШИРЕНИЕ И ПОПОЛНЕНИЕ МЕРЫ и 13. РАСШИРЕНИЕ И ПОПОЛНЕНИЕ МЕРЫ Всегда ли можно распространить меру, заданную на некотором кольце, на порожденное им о-кольцо? Ответ на этот вопрос, по существу, содержится в результатах предыдущих параграфов; формально он заключен в следующей теореме. Теорема 1. Если Р— о-конечная мера, заданная на некотором кольце К, то существует единственная мера Р, заданная на е-кольце 8(й), такая, что Р(Е)=Р(Е) для множеств Е из й; яри этом мера Р в-конечна. Мера р называется расширением меры Р.
Всюду, где это не может вызвать недоразумение, мы будем писать Р(Е) вместо Р(Е) даже для множеств Е из 8(й). Доказательство. Существование меры Р установлено теоремой 3 $11 и теоремой 1 $12. Для того чтобы доказать единственность, допустим, что на 8(й) заданы две меры Р, и Р., обладающие тем свойством, что Р,(Е) = Ра(Е), коль скоРо Е~й. ПУсть М вЂ” класс всех тех множеств из Б(й), на которых Р, и Рв совпадают. Если одна из этих мер конечна и если (Е„) †монотонн последовательность множеств из М, то, так как Р! (Пш Е„) = !Пп Р, (Е„), 1= 1, 2, мы приходим к заключению, что !Пп Е„~ М. (Здесь существенно используется тот факт, что при любом и одно из чисел Рт (Е„) и Ра (Е„), а вместе с ним и другое, конечно; см.
теоремы 4 и 5 $ 9,) Таким образом, класс М монотонный, и так как он содержит К, то, согласно теореме 2 $6, М охватывает $(й). В общем случае, без всяких предположений о конечности мер Р, и ра, можно действовать следующим образои. Возьмем какое-нибудь множество А из К конечной меры (безразлично, относительно Р, или Рю потому что на К обе меры совпадают). Так как К ПА представляет собой кольцо, а Б(К) ПА — в-кольцо, им порожденное (см. теорему 5 9 5), то к К ПА и 8(й)ПА применимы рассуждения предыдущего абзаца, следовательно, Р, и Ра совпадают на 8(й) ПА.
Но всЯкое множество Е из 8(й) может быть покрыто счетным числом непересекающихся множеств из К, мера которых конечна, откуда и вытекает утверждение теоремы. Ф Процесс распространения меры, описанный в й 12, дает даже несколько больше, чем утверждается теоремой 1: заданная на К мера Р в действительности распространяется на класс всех Рь-измеримых множеств, который, вообще говоря, шире с-кольца, порожденного кольцом К.
Следующая теорема показывает, что такое расширение области определения Р может быть осуществлено без помощи внешней меры, ГЛАВА ПЬ ПРОДОЛЖЕНИЯ МЕР Теорема 2. Если 1г — мера на некотором е-кольце 8, то класс 8 всех множеств вида ЕЬгч', где Е~8, а гч' есть подмножество какого-либо множества меры нуль из 8, представляет собой е-кольцо, и функция р, определенная яа 8 равенством р(ЕЬд() =р.(Е), есть полная мера яа 8. Мера р, таким образом определенная, называется пополнением меры р. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Е ~ 8 и №=А ~ 8, где р (А) = О; тогда соотношения Е()М=(Š— А) й(А П(ЕОМ)) и Е Ь Дг = (Š— А) 0 (А П (Е Ь М)] показывают, что 8 можно охарактеризовать как класс множеств вида Е()гт', где Е~8, а гт' — подмножество некоторого множества меры нуль из 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
