П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 43
Текст из файла (страница 43)
й 49. МЕРЫ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ Существует ли последовательность независимых случайных величин, обладающих наперед заданными распределениямиг Говоря точнее, если [ря[ — последовательность вероятностных мер на борелевских множествах числовой прямой, то всегда ли существуют такое пространство вероятностей (Х, 8, Р) н такая последовательность независимых функций [уя[ на Х, что р (('„-х(Е)) = рм(Е) для любого боре-. $49. МЕРЫ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ Т„(х„..., х„, х„+„...) =(х„..., х„), и положим для измеримых множеств А в 1'„ п = 1, 2, ..., ч„(А) = р(Т„-' (А)). левского множества Е и для любого целого положительного п? 8 более общей постановке вопрос может быть сформулирован так: если ((Хьп 8„, м„)) — последовательность пространств вероятностей, то всегда ли существует такое пространство вероятностей (Х, 8, р) и, для каждого целого.
положительного числа п, такое измеримое отображение Т„пространства Х в Х, к',...',к', Х„, что рТ„' = =111К...)(11„? Положительный ответ на эти вопросы дает теорема 2 В 38. Понятие не зази с ям ости одно из важнейших в теории вероятностей, однако теория вероятностей не может ограничиться рассмотрением одних только независимых случайных величин. Основная цель этого параграфа состоит а том, чтобы сформулировать и доказать для зависимых случайных величин теорему, соответствующую теореме 2 $38, т. е.
установить существование последовательности случайных величин с наперед заданными совместными распределениями. Однако, в отличие от теоремы 2 8 38, теорема этого параграфа применима только к равномерно ограниченным действительным функциям; другими словальи, „множители" того произведения пространств, которое мы собираемся рассматривать, будут представлять собой единичные интервалы. Сам результат и его доказательство распространяются на более общие случаи, но и эти обобщения существенно опираются на те или иные топологические понятия. Обойтись же без всяких условий топологического характера, повидимому, невозможно; известно, что аналог следующей ниже теоремы 1, сформулированный только в терминах теории меры, неверен. Предположим, что Х„при любом целом положительном и представляет собой замкнутый единичный интервал, а 8„— класс всех борелевских множеств в Х„; положим (Х, 8) =)~ (Х„, 8„).
Пусть, В=1 далее, Р„есть о-кольцо всех измеримых 11, ..., и)-цилиндров в Х СО и Р(=ЦР„) — класс всех измеримых конечномерных множеств в Х о=1 (см. $38), Теорема 1. Если 11 — функция на Р, являющаяся при любом целом положительном и вероятностной мерой на Р„, тосуществует единственное продолжение функции 11, представляющее собой вероятностную меру на 8.
Доказательство. Определим измеримое отображение Т„пространства Х на измеримое пространство У„ = 3~ Х, равенством 1=1 ГЛАВА 1Х. ВЕРОЯТНОСТЬ 2ОВ Тогда, если (Ег) — убывающая последовательность множеств из" Р, таких, что О ( е (11(Е1), 1= 1, 2, ..., то для любого фиксированного 1 найдетсЯ такое боРелевское множество А, в Ув и такое целое положительное число и, что Ег — — Т„'(Аг). Пусть В, — замкнутое подмножество множества А„такое, что «в(В1 — А,) ~ —,, Если 1"',= = Т„1(В1), то Рг — замкнутое множество в Х (относительно топологии пространства Х как тихоновского произведения интервалов) и к р, (Ег — Ег) ( —, Положим О» — — П рб тогда (Оа) — убывающая 1=1 последовательность компактных множеств в Х. Так как к к 11(Еа — Оа) =11(Ц(Еа — Рг)) <р(Ц(Е1 — Рг)) < 1=1 ' 1=1 2' то 11 (Оа) = р (Еа) — р.
(Еа — Оа) )~ 2 и, следовательно, Оа~О, 1 = 1, 2, ... Убывающав последовательность компактных множеств имеет непустое пересечение; таким образом доказано, что функция 11 непрерывна сверху в О и, следовательно, счетно-аддитивна. Окончательный результат следует из теоремы 1 2 13.:~ Сохраняя введенные выше обозначения, установим теперь одно интересное свойство произведения единичных интервалов.
Теорема 2. Для любого измеримого множества Е в Х й ш р (Е, Т„(х)) = у (х) 111); другими словами, для всех х, за исключением, быть может, некоторого множества меры нуль, условные вероятности Е при заданных первых и координатах точки х с возрастанием п стремятся к О или 1, в зависимости от того, принадлежит или не принадлежит х множеству Е.
Доказательство. Вместо сходимости почти всюду мы докажем почти равномерную сходимость (в силу теорем 1 и 2 В 21, обе сходимости эквивалентны). Пусть е и 3 — положительные числа, причем 3 ( 1. Согласно теореме 4 й 13, существует измеримый ьз [1, ..., па)-цилиндр Еа, такой, что р.(Е ЬЕа) ч —. Положим В=В ЬЕо и заметим, что Хл(х) =Хи (х), когда х~В. Пусть С„= (х: р(В, Т„(х)))~Ь), О„=ф— Ц Со 1~4Св и= 1, 2,..., и С=ЦС„=ЦО„, тогда С„и Ов при любом и % 49. мВРЫ В пРОизвндннийх пРОстРАнств являются измеримыми (1, ..., и]-цилиндрами. Поэтому р(В[]оо) = ~р(В, Т„(х))Ар.(х) > йр(1)„) ~я и, следовательно, — >р(в)>р,(ВПс) =р(В[) Цу)„)- аа а Если положить А = В 0 С, то ]ь(А) ~ — + — ( з.
Так как ] р(Е, Т„(х)) — р(Еа, Т„(х))! (р(ЕЬЕо, Т„(х)) [р.], и= 1, 2, ..., то можно предположить, что эти неравенства выполняются для всех х из Х. При п)~ но, в силу теорем 1 2 38 и 2 й 48, будем иметь неравенство /р(Е, Т,(х)) — уп (х) / (р(В, Т (х)). Если, кроме того, х ~ А, то, )(. (х) = )(н(х) и р (В, Т„(х)) < Ь, следовательно, ] р (Е, Т„(х)) — )(н(х) [ ( Ь.
ж 1. Пусть ((Х„8„, Р„)) — последовательность пространств вероятностей (Х 8) = Х(Хя 8я) и р — функция на Р, такая, что Р является верояти=г постной мерой на Р„прн любом и. Если на всех Р„функция р абсолютно непрерывна относительно произведения мер К Ро то для Р существует 4=1 единственное продолжение, являющееся вероятностной мерой на 8.
[У к азание. См. доказательство теоремы 2, $88.] И результат и метод доказательства распространяются на все случаи, когда можно задать условные вероятности р(Е, Т„(х)) так, чтобы для почти всех фиксированных х они были вероятностными мерами на каждом Ра. 2. Утверждение и доказательство теоремы 1 распространяются на случай, когда Մ— любые компактные метрические пространства. Дополнением локально компактного пространства до компактного можно без труда доказать теорему 1 для того случая, когда каждое Х„является числовой прямой. Верна ли теорема 1 тогда, когда все Մ— произвольные компактные пространства? 3.
Сохраняя обозначения упр. 1, приведем пример, когда Х„ ие являются интервалами н теорема 1 неверна. Пусть)' — единичный интервал, Т вЂ” класс всех борелевских множеств в Г, т — лебеговская мера на Т. Пусть, далее, ГЛАВА ГХ. ВЕРОЯТНОСТЬ 2)О (Хв) — такая убывающая последовательность массивных подмножеств в 1; что ОЭ П Хв = О. Положим 8„=Т () Х„; если Е 88„, т.
е. Е = Р П Х„, где РеТ, в=а то положим Р (Е) = «(Р). Образуем произведение пространств (Х, 8) = св =Х (Хв, 8„) н рассмотрим измеримые отображения Зв пространств Х„ в=а в Хз)4 ... )4 Хв, определяемые для произвольного и равенствами Зв(хв) = = (ль ..., л„), лз = хв, 1 = 1, ..., л. а) Для любого измеримого (1,..., и)-цилиндра Е = А Х Хвьз Х Хв+з Х ° ° ° А б 8г Х ° ° ° Х 8в в Х положим р(Е) = рв(8„~(А)). Тем самым мы однозначно определим на Г функцию в, которая при любом и будет вероятностной мерой на Р„. б) Если Ег — множество всех тех точек (хо хз, ...) из Х, первые 1 кооРДинат котоРых совпадают, 1= 1, 2, ..., то Е, й Ре [Указание. Если 1)з = ((уь ", уг): уз = " =Уз) то )Уг представляет собой измеримое подмножество г-мерного декартова произведения 1' самого на себя; при атом Е (Тз [) (Х, Х ...
Х Х,)) Х Х,+, Х Х,+,Х ...).1 в) Функция множества р на р не непрерывна сверху в О. [Указать н и е. Множества ЕО определенные в,б", таковы, что [ ) Ег = О, но Р (Ег) = Ц г=г 4. Закон Π— 1 (см. упр. 3 $46) представляет собой частный случай теоремы 2. В самом деле, если Е является зв-цилиндром и Р— измеримое множество в Тв, то Т„т(Е) является (1,..., и)-цилиндром и р(Е П Т„~ (Р)) =Р. (Е) РТ„а(Р) = ~ р(Е) 4»в, повтому Р (Е, Т» (х)) почти всюду [Р) равна постоянной (= р (Е)). Из теоремы 2 вытекает, что у (л) =р(Е) [Р] и, следовательно, Р(Е) равна О или 1. Г лава Х ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 5 50. НЕКОТОРЫЕ ТОНОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ В этом параграфе мы выведем несколько топологических результатов, отсутствующих обычно, в силу их весьма специального характера, в руководствах по топологии. Всюду в этой главе, если не оговорено противное, предполагается, что Х вЂ” локально компактное хаусдорфово пространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
