П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Интересный результат получится, если применить теорему 4 к последовательности функций Радемахера (гн) (см. упр. 5 6 45). Если (ен) — последовательность действительных чисел, то ряд ~~р~ еяуя(х) сходится почти всюду н=1 или расходится почти всюду, в зависимости от того, сходится или расходится ряд ~ ез . На языке теории вероятностей ряд ~ гк ся сходится с вероятн=1 н=1 постыл 1 тогда и только тогда, когда сходится ряд ~„с„; при этом предз . н=г полагается, что знаки + и — в каждом члене первого ряда равновероятны н выбор того или другого знака не зависит от знаков остальных членов. 3.
Тот факт, что мера множества, на котором сходится ряд независимых функций, может равняться только нулю илп единице, представляет собой следствие весьма общего принципа, называемого иногда законом Π— 1. Предположим, что пространство вероятностей Х есть декартово произведение последовательности (Хн) пространств вероятности. Пусть эн=(и+ 1, и+2,...), где и — любое целое йоложительное число. Если измерймое множество Е представляет собой э'„-цилиндр при любом и, то Р(Е) =*О или 1.
[У казание. Положим ч(Р)=Р(Е[)Р) для любого измеримого множества Р. Если Р является У-цилиндром, причем э" есть некоторое конечное множество, то ч(Р) = Р (Е) Р (Р). В этом равенстве вместо Р можно взять Е, так как конечная мера иа измеримых множествах в Х однозначно определяется своими значениями на э-цилиндрах (с конечиымн ./).) 4. Если (Е„) — последовательность независимых множеств, то Р(йш вирЕ„ ) =О тогда и только тогда, когда ~ Р (Е„) <оз я=1 (см. упр. 6 4 9).
[У к а з а н и е. Примените теорему 4 к последовательности (у„) характеристических функций множеств Е„.) Этот результат носит названйе леммы Бореля — Кангиелли. 5. Две последовательности (ун) и (лн) называются экеиеаленглными в смысле Хиичина, если СО л~ Р ((х: Ун (х) ~-. Ея (х))) е со. н=г ПУСТЬ (Гя) — ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ НЕЗаВИСИМЫХ фУНКЦИй; ДЛЯ ТОГО ЧтсбЫ РЯД эя(х) сходился почти всюду, необходимо и достаточно, чтобы существом=1 вала последовательность (ля), эквивалентная последовательности (гя), такая, гяв ГЛАВА 1Х.
ВЕРОЯТНОСТЬ 1 чч е —,7> ~у» — У! < п» Ле 2 »-1 Если п ) пн то 1 и — пь ь < — У 1У» — У1+ — — < е. Ф П1 'М и 2 »=1 Теорема 3. Если ~у„) — последовательность действительных 1 чисел, такая, что ряд ~~1 у —" сходится, то 11т — р у» — — О. и » 1 Доказательство. Положим У» г — ~~»~~у» и — 1, 2, вь Оэ » 1 Так как у» = » (㻠— в, 1), »=1, 2,..., и — ~ в»+(и+ 1) в„+ „ и.~-1 и+! »в+1 — .'5, '»В» —,'~', »В» 1 »=1 »=1 п=1, 2,..., вательности независимых функций 1у„), таких, что ) у„а»» = О, п=1,2,..., и любые г и г„, п=1, 2,...,п=1,2,..., имеют одинаковое распределение, непосредственно применима теорема 1, так как в этом случае ев(1'„) = ав11"1) при любом п, и условие, касающееся дисперсий, выполняется автоматически. Следующие два предложения из элементарного анализа понадобятся нам для вывода усиленной формы закона больших чисел. Т еорем а 2.
Если 1у„) — последовательность действительных чисел, имети»ая конечный предел у, то Иш —,7 У»=У. и. Ле »=1 Доказательство. Для всякого положительного числа е сущее ствУет целое положительное число и, такое, что 1Уи — У ! < —, когда и ) пз. Выберем целое положительное число п„большее и, так, чтобы выполнялось неравенство Ь 41. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ то ге 41 и 1 %2 — — — — г в+в и+1 и+1 и 2В ' ' ь+1' Последовательность (в„) сходится к конечному пределу и, в силу ! 1 с~ теоремы 2, к тому же пределу сходится последовательность 1 — у„ ф 4=1 Следовательно, 1!ш — ""' =О. Ф и+1 Т е о р е м а 4.
Если (У„) — последовательность независимыхфункцийс конечными дисперсиями, такая, что ) ~„ф. = О, п = 1, 2,..., и УВ," ( ОО, то последовательность ~ — ~У )4) сходитсЯ кнУлю ъ~ 42(у"„) ! 1 чч па (п ыл п 1 ,=1 почти всюду. Как условия, так и утверждение теоремы 4 сильнее, чем в теореме 1. Теорема 4 представляет собой одну из форм усиленного закона больших чисел. Доказательство. Положим я„(х) = — у'„(х),.я=1, 2, ..., и 1 применим к последовательности (д„) теорему 2 й 4б. Так как ~ Андр=О, я=1, 2, ..., и оа(я„)= ~ —," ( СО, то ряд ~~)„— у„(х) сходится почти всюду. Требуемый результат вытекает из теоремы 3.
1. Две измеримые функции имеют одинаковое распределение тогда н только тогда, когда их функции распределения совпадают (см. упр. 11 5 18). 2. Если (42) — последовательность неотрицательных действительных чисел, а т и и — целые положительные числа, причем т с,п, то 2 п2 па + (т+1)2+ ' '+ па' Из етого неравенства следует, что условия теоремы 4 не слабее условий теоремы 1. То, что они в действительности сильнее, можно показать, построив и+1 последовательность независимых функций с дисперсиями 22(уп) = !Ой(п+1 ' ГЛАВА !Х.
ВЕРОЯТНОСТЬ гОО 3. Условие теоремы 4, касающееся дисперсий, ослабить нельзя. В самом деле, какова бы ни была последовательность неотрицательных чисел (ез), з а такая, что ~ —, =со, существует последовательность независимых функ2< лз= а=1 1 1 ций (уа), такая, что ~ уаь<Р =О, эз(уа) = ааз, л = 1, 2, ..., и < — у у<~ <=1 не сходится к нулю почти всюду. [У казани с. Функцииуа следует строить так, чтобы при еа(л выполнялись условия э а за Р ((»: У, (х) = ) ) = Р ((х у (х) = — л)) = —, а Р((х:У' (х) =О)) =1 — —, ° лз ' а при з„) лз — условия 1 Р ((»1Уа(х) = за)) = Р((х:Уа(х) = за)) = 2 1 жч 1 Заметим, что если Иш — у у< = О, то Иш — уа = О, и применим к множелл< ' а л <=1 ствам (х: ~уа(х) () л) лемму Бореля — Кантелли.) 4. Если (уа) — последовательность независимых функций, удовлетворяющая условиям теоремы 4, то существует эквивалентная ей последовательность (яа) независимых функций, такая, что а= ! Другими словами, предложение, обратное усиленному закону больших чисел, не справедливо.
5. Справедливо следующее, несколько ослабленное, обращение теоремы 4: если (уа) — последовательность независимых функций, такая, что 1 <а«Я = 0 н почти всюду ~ — уа(х) ~ (с, л =1, 2, ..., где с — некоторая постоянная, и если последовательность < — у у<~ сходится к нулю почти всюду, то < 1 =1 каково бы ни было положительное число в. (У к а з а н и е.
Если последовательность действительных чисел (уа) такова, что последовательность < — у у<) (л СО <=1 сходится к нулю или хотя бы ограничена, то ряд у — сходится при %ч уа ага л1+' любом положительном а.) 2О! а 17. ВАкОн БОльших чиспл 6. В теореме 4 условие ~ у„др = О, и = 1, 2,..., можно заменить усло- 1 вием йш — у ~ у„7(И=О.
и л'а в=1 7. Следующую теорему также называют иногда усиленным законом больших чисел: если (у„) — последовательность независимых интегрируемых функций с одинаковыми распределениями, такая, что / у'„ Фр = О, то 1 'г~ !!Ш вЂ” У У!=0 почти всюду. К доказательству этой теоремы приводит слеп Ла 1=1 дующая цепь предложений: а) Если Е„=(х1(у1(х))~п), то ~ — [ У~1(рс, оо. [Указание. жч1гз положим я = т —. у„ут, где у„— характеристическая функция множея=1 ства Е„.
Если я — !ч )у1(х)! <Д, то уч(х) =О для всех пСя; отсюда вытекает, что )д (х) !((у1(х) ! и, следовательно, я интегрируема.) б) Если Рм= (х: [у„(х) )(и) и ям=)(у у„, то последовательность независимых функций (д„) эквивалентна (1„7. В) 1йн~~~'„~ А!бр.=О. [УКаэаиИЕ. / дб!ь= ~ усд!ь = /угб!ь И (Ег'Г Ф и Пз представляет собой возрастающую последовательность измерительных множеств, соединение которых равно Х (см.
теорему 2).[ г) ыт э ч оэ. [Указание. Заметив, что ~ у„7(!ь= [ У„б!ь %ч аз(я„) г г я=1 СО = [ У Н!ь, И ПРИМЕНИВ „а", УСтаНОВИМ СХОДИМОСтЬ РЯДа т — ~ И„7(Р; г а и 7Ь= 1 в силу неравенств (~К б ~'< Д'!А ~ ! )', бУдет сходитьса и РЯд лт — ( [ А„7!!ь),[ пэ о=1 8. Теорема, приведенная в упр. 7, допускзет следующее обращение: если (у„) — последовательность независимых функций, имеющих одинаковое 1 %~ распределение, н йш — у г1 — О почти всюду, то у„интегрнруемы. [У к а- „и .уа 1=1 1 з з н и е.
Условие 1!ш — у = О почти всюду и лемма Бореля — Кантелли и ГЛАВА!Х. ВЕРОЯТНОСТЬ 202 обеспечивают слодимость ряда ~ Р((х: )уя(х) () я)). Далее следует замея=1 тить, что ««((х:(Уя(х) !)и)) = Р((х: )У!(х) ~)п)), и пРименить РезУльтат упр. 4 527.) 9. Применив усиленный закон больших чисел к последовательности функций Радемахера, мы придем к знаменитой теореме Бореля о яорл«альных числах: почти все числа единичного интервала разлагаются в двоичные дроби, содержащие одинаковое число нулей и единиц. Подобный же вывод справедлив для разложений в бесконечные дроби при любом основании г, отличном от 2 (г ) 3), и мы получаем, таким образом, теорему об абсолютно нормальных числах: почти все числа нормальны относительно всех оснований г одновременно.
$48. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И УСЛОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ Пусть Е и Р измеримые множества в пространстве вероятностей (Х, Б, р); если р(Р) ~ О, то условная вероятность Е при условии Р была нами определена равенством Р (РПР) Рл(Е) = „(я) (см. 8 44 и упр. 1 8 45). Теперь нас интересует вопрос, как Р (Е) зависит от Р. Предположим, что множество Р таково, что и Р(Р) и Р(Р') не равны нулю; рассмотрим измеримое пространство 1; состоящее только из двух точек у, и ув (при этом подразумевается, что все его подмножества измеримы), и отображение Т пространства Х в Г, такое, что Т(х) =у, или у, в зависимости от того, принадлежит х множеству Р или нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
