П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Если для любого множества А в «' положить тл(А)=Р(ЕП Т '(А)) и ч(А)=т (А)=Р(Т (А)), то, очевидно, 'л((г!)) тл ((Уз )) Рх( ) ч(( )) и РР«(Е) — ( ) Таким образом, условную вероятность можно рассматривать как измеримую функцию на Г, представляющую собой, грубо говоря, отношение мер тл и ж Построение, осуществленное в предыдущем абзаце, можно несколько обобщить. Пусть ( Р„..., Р„) — конечный класс непересекающихся измеримых множеств положительной меры, причем ЦР« — — Х; «=1 рассмотрим измеримое пространство у, состоящее из и точек у„, ..., у„.
Если Т(х) =у«, когда х~ Р«, !' = 1, ..., и, то Т представляет собой измеримое отображение пространства Х в У и 8 48. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ год снова условные вероятности могут быть представлены в виде отношений мер в пространстве г'. Мы приходим к следующему общему определению. Пусть Т вЂ” любое измеримое отображение пространства вероятностей (Х, $,[ь) в какое-нибудь измеримое пространство (1', Т)'„ положим »л(р) = р(Е П Т '(Е)), где Š†измерим множество в Х, а г" — измеримое множества в г . Ясно, что » и [ьТ-' (= » ) пред- Х ставляют собой меры на Т, причем»я(([ьТ . Согласно теореме Радона — Никодима, существует интегрируемая функция ря на У, такая, что и (Е [) Т- (Р)) = ~ р (у) дат-' (у) для любого Е из Т; эта функция ря определяется однозначно по модулю [8Т '. Назовем р (у) условной вероятностью Е при условии у (или условной вероятностью Е при условии Т(х) =у).
Иногда мы будем называть эту функцию „условной вероятностью Е при заданном значении Т(х)' и писать ри(Т(х)). Кроме того, мы условимся вместо р,(у) писать р(Е, у); тогда же, когда нас будет интересовать р как функция аргумента Е, то мы будем ее обозначать р" (Е)= р(Е, у). Если множество Е таково, что [ь(Т ~(Е)) ~ О, то, разделив обе части равенства, определяющего р, на р(Т 8(г)), мы получим соотношение Так как слева стоит условная вероятность Е при условии Т '(Р), то представляется правдоподобным, что, когда Е „стягивается к точкеу", левая часть равенства должна стремиться к условной вероятности Е при заданном у, а правая — к значению подинтегральной функции р (Е, у). Теорема Радона — Никодима позволяет строго оформить эти пока еще довольно шаткие рассуждения.
Теорема 1. Для любого фиксированного измеримого множества Е в Х О (р(Е, у) (1 [[гТ [. Для любой фиксированной последовательности (Е„) непересекаю- игихся измеримых мнозсеств в Х р(0 Е„, у)= 2', р(Е„,у) [рт-'). ГЛАВА !Х. ВЕРОЯТНОСТЬ гоа Доказательство. Первое утверждение вытекает из неравенств 0(р(ЕП Т '(р))(1, справедливых при любом измеримом множестве Р в У'.
Для того чтобы доказать второе утверждение, заме- тим, что О0 СО .~.(о, .)" -()= ((Ч.) -' )- = ~~'., р(Е„П Т (Е)) = ~~ [ р(Е„, у)Г1рТ (у) = = ~ (~~'„~ р(Е, у))фТ (у), и воспользуемся свойством единственности производной Радона— Никодима. Теорема 1 утверждает, что функция ра в некоторых отношениях напоминает меру. Сходство это проявляется далее в следующих свойствах ра: р(Х у)=1 [ЯТ [; если Е,~Еа, то р(Е,,у)(р(Еа,у) [рТ [; если [ Е„) — убывающая последовательность измеримых множеств в Х, то СО р ( П Е,, у) = Иа р (Е„, у) [р Т Важно, однако, помнить, что то исключительное множество меры нуль, на котором соответствующее соотношение нару~кается, зависит от выбора множеств Е;, поэтому, вообще говоря, нельзя утверждать, что функция ря почти для всех у представляет собой меру.
Уравнение, определяющее р(Е, у), может быть записано в виде ул(х) ~[р(х) = ) р(Е, у) Г1Р.Т (у). и-'1 1 и Возьмем теперь вместо ул произвольную интегрируемую на Х функцию Т; тогда функция «, определяемая равенством (р) = У у (х) 4 (х) т-' ~а1 для любого измеримого множества Р в 1', представляет собой обобщенную меру на Т. Так как, очевидно, «(( рТ, то, согласно теореме Радона — Никодима, существует такая интегрируемая функция еГ на У, что Т(х)Нр(х)= ~ е (у) фТ '(у), т 1ЯЗ $ аз. условные ВеРОятнОсти гйб каково бы ни было Р из Т; по модулю РТ-" функция еу определяется таким образом однозначно. Назовем ес(у) условным математическим ожиданием у при условии у; вместо еу(у) мы будем также писать е(у, у). Так как соотношение между р и е напоминает соотношение между мерой и неопределенным интегралом, то можно ожидать, что р и е связаны равенством вроде е(у; у) = ~ ['(х)брв(х).
Но рв не является, вообще говоря, мерой, поэтому написанный интеграл может не иметь смысла; на е сказываются, таким образом, плохие свойства функции р. Теорема 2. Если )' — интегрируемая функция на ); то )Т представляет собой интегрируемую функцию на Х и при етом е (( Т, х) = — у (у). Доказательство. Из теоремы 3 9 39 следует, что ТТ интегрнруема и ~(Т(х))игр(х)= [ у(у)с(РТ '(у) т-' <зз для любого Р из Т. 1. Рассмотрим декартово произведение (ХХ); 8)гТ, Р)с ч) пространств вероятностей (Х, 8, гч) н (Т, Т, ч). Если Т(х, у) =х, то Т представляет собой измеримое отображение пространства Х)с р на Х. Для любого измеримого множества Е в ХХ Т выполняется равенство р(Е, х) =ч(Е ) [Р[, н, следовательно, в этом случае ри можно определить так, что ре оказывается мерой при любом х. 2.
Пусть (Х, 8, Гг) и (Г, Т, ч) — пространства вероятостей н 1 — мера на 8)(Т,такая, что1 (( у.)(»; пусть1(Е) = ~ у~у(р'г(ч). Если Т(х,у) = х, Е то для любого измеримого множества Е в Х)( Т р (Е, х) = ~ уи (х, у)у (х, у) йч (у) [р[. 8. Если Т вЂ” измеримое отображение пространства вероятностей (Х, 8, р) в измеримое пространство (1', Т), то р(Т вЂ” г(г), у) =Ту(у) для любого измеримого множества г" в К 4. Возможны случаи, когда условные вероятности р(Е, у) нельзя задать так, чтобы ря была мерой для почти всех у. Рассмотрим следующий пример. Пусть г' — замкнутый единичный интервал, Т вЂ” класс всех борелевскнх множеств в К ч — лебеговская мера на Т. Положим Х = Г и возьмем с-кольцо 8, порожденное классом Т н каким-либо множеством М, обладающим тем свойством, что н само М и его дополнение М' являются массивными множествами в г'. Зздадим на 8 вероятностную меру Р, положив Р((А()М)()(В() М )) =.
(А), где А и В принадлежат Т, и рассмотрим отображение Т пространства Х на 1; определенное равенством Т(х) =х. Допустим, что в Т существует глава !х. Вйвойтность такое множество Са меры нуль, что ря представляет собой меру на 8, когда у б Са. а) Если Па = (х:р(М, у) Ф 1), то ч (Па) = О. б) Если Еа — множество тех у, для которых нарушается тождество р(Т-1(Р), у) = йй(у) (относительно Е), то ч(Ер= О. [У к а ванне. Пусть К вЂ” счетное кольцо, такое, что 8 (Я) = Т. Если для любого Е из й положить Ео(Р) = 1у:р(Т-'(Р) у)~ ур (у)) то ч(Еа(Р)) =О.
Воспользуемся теи, что две вероятностные меры, совпа- дающие на В, тождественны на всем Т.[ в) Если убСа()Па[)Еа, то уйМ. [Указание. Так как р(М, у) =1 н р (Т-г ((у)), у) = 1, а рв есть мера, то р (М[) Т ' ((у)) у) = Ч г Из „в' вытекает, что в М содержится борелевское множество С ПВ ПЕа меры 1, а зто противоречит предположению, что М' — густое подмножество К 6. Если Х вЂ” числовая прямая, и — вероятностная мера на всех борелевских множествах в Х, Т вЂ” измеримое отображение Х в какое-нибудь измеримое пространство (1; Т), то условные вероятности р(Е, у) можно задать так, чтобы ря была мерой для почти всех у. [У к а з а ни е.
Положим я(х, у) = =р(( — оо, х), у). В У существует такое измеримое множество Са, что РТ-г(Са) =О н, когда у Е Са, уг представляет собой монотонную функцию 11 на множестве всех рациональных чисел и1!ш як [ х — — ) = яэ (х) для любого и) рационального числа х. Пусть ля в монотонная и непрерывная слева функция наХ, совпадающая с яв при рациональных х, а рв — мера на 8, определенная равенством рв(( — со, х)) = як(х); тогда р (Е у) =ря (Е) обладает требуемым свойством.1 6.
Если Т вЂ” измеримое отображение пространства вероятностей (Х, 8, р) в измеримое пространство (1; Т) и условные вероятности р (Е, у) можно задать так, чтобы функция рв была мерой для почти всех у, то е (Т, у) = / У (х) лрк (х) [и Т вЂ” '), какова бы нк была интегрируемая функция У на Х. [Уха ванне. Это равенство справедливо, если у в характеристическая функция измеримого множества.) 7. Пусть Т вЂ” измеримое отображение пространства вероятностей (Х, 8, р) в измеримое пространство (У, Т). Если У и я — функции, интегрируемые относитеиьно р и РТ-1 соответственно, и если функция д, определенная равенством Д(х) = У(л)Е(Т(х)), интегрируема на Х, то е(И,у) = =е(у; у)л(у) [РТ-1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
