П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 44
Текст из файла (страница 44)
сг будет обозначать множество всех действительных непрерывных функций 1 на Х, удовлетворяющих при всех х неравенствам 0 (1'(х) < 1. Теорема 1. Если С вЂ” компактное множество, а 11 и открытые множества, соединение которых содержит С, то существуют такие компактные множества 0 и Е, что Ос11, Е~У и С=ь'11) Е. Доказательство. Так как С вЂ” У и С вЂ” У представляют собой непересекающиеся компактные множества, то существуют такие непересекающиеся открытые множества У и У, что С вЂ” С~У и С вЂ” У<= У; положим О = С вЂ” У и Е = С вЂ” У. Легко видеть, что й и Е компактны и Ос=У, Ес=У.
Так как ОП У=О, то ОЦЕ= =(С вЂ” 0)()(С вЂ” У)=С вЂ” (ОП У)=С. Теорема 2. Если С вЂ” компактное множество, Š— замкнутое множество и С() Е = О, то в вг существует такая функция у, что ~(х) =0 для х из С и 1(х) =1 для х из Е. До к а з а т е л ь с т в о. Пространство Х вполне регулярно, поэтому для каждой точки у из С существует функция 1в из вг, такая, что .гв(У)=0 и г (х)=1, когда х~р. Так как класс всех множеств я = 1 вила (х:у (х) < — ) образует открытое покрытие компактного мнов 2) жества С, то С содержит конечное подмножество (у„..., у„), обладающее тем свойством, что и С О(=:г' (х) <й Положим Л(х) =Иге (х); тогда даат и, так как 0 (1в(х) <1 при 4=1 всех х из Х и при всех у из С то и(х) < —, когда х Е С и Л(х) = 1, 1 йгг ГЛАВА К.
ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫВ ПРОСТРАНСТВА когда х~с. Легко убедиться в том, что свойствами, указанными в теореме, будет обладать функция у=(2д — 1) 0 О. Иногда бывает важно знать не только, существует илн нет функция у~У, тождественно равная нулю на С, как в теореме 2, но и можно ли выбрать ее так, чтоба она нигде вне С в нуль не обращалась. Такой выбор У в общем случае невозможен; в следующей теореме этот вопрос рассмотрен подробнее.
Теорема 3. Если У вЂ” действительная непрерывная функция на Х и с — произвольное действительное число, то каждое из множеств (х:у(х))~с), дх: у(х) <с) и (х:у(х)=с) представляет собой замкнутое 01. Обратно, если С вЂ” компактное 01, то существует функция у из Зг, такая, что С= (х:Г(х) =О). Доказательство.
Так как (х:у(х)) с) =(х: — у(х) < — с) и (х:у(х) =с) =(х:~(х))~с) () (х:у(х) <с), то достаточно рассмотреть множество (х: у(х) < с). В силу непрерывности функции Г, множество (х: у(х) < с) замкнуто, тогда как множества вида )х: у(х) < 11 < с+ — 1, и = 1, 2, ..., открыты. Равенство п)' (х 1 1'(х) < с) = П ~ х: Г (х) < с+ — ~ означает, что (х: у (х) < с) есть 01.
ОЭ Теперь предположим, что С= П У„, где С вЂ компактн множеп=1 ство, а (У„) — последовательность открытых множеств. Согласно теореме 2, для каждого я=1, 2, ... существует функция У'„из ьг, Ч-1 Уе (Х) равная нулю на С и единице на Х вЂ” У„.
Положим 1 (х) = у — „ п=1 тогда ~~У и У(х)=0, когда х~С. Какова бы ни была точка х, принадлежащая Х вЂ” С, х~Х вЂ” У„при некотором значении п; таким 1 1 образом, если х~Х вЂ” С, то ~(х))~ ~„~„(х) = 2„) 0 и, следовательно, С= (х:Г(х) = О). Ф Теорема 4. Если С вЂ” компактное множество, У вЂ” открытое множество и С1=У, то существуют множество С, являющееся компактным Оы и о-компактное открытое множество Уе, такие, что СсУ сС сУ. Доказательство. Не ограничивая общности, можно предположить, что У ограничено, так как всегда существует ограниченное открытое множество 1', содержащее С и содержащееся в У.
Пусть ув а ао. некОтОРые тополОГические теОРемы 21З функция из У, равная нулю на С и единице на Х вЂ” У (см. тео- рему 2); полон<им У~=(х:У'(х) ( — ) и С (х:~(х) ~ — ~. При этом, очевидно, СсУосС сУ и, в силу теоремы 3, С представляет собой замкнутое ба. Так как У ограничено, то Со компактно; из равенства Уо = О )(х:1 (х) ( — — — ~ видно, что У о-компактно.
Те оре м а 5. Если Х свпарабельно, то в нем всякое колгнактное множество С есть О,. Доказательство. Какова бы ни была точка х изХ, не принадлежащая С, существуют такие непересекающиеся открытые множества У(х) и (1(х), что С~У(х) и х~ (г(х). Пространство Х сепарабельно, н класс ((1(х): х~ С) образует открытое покрытие множества Х вЂ” С, поэтому существует последовательность (х„) точек из Х, такая, что ОЭ Х вЂ” Сс= 0 $ (х„). Отсюда следуют соотноц|ения Оь ьь П У(х„)зС» П (Х вЂ” "Р'(х„))э ПУ(х„).
К Теорему 2 можно доказать иначе, дополнив пространство Х до компактного (присоединением одной точки) и воспользовавшись тем, что компактное хаусдорфово пространство нормально. Для любых двух непересекающихся замкнутых множеств С и В в компактном хаусдорфовом пространстве существует непрерывная на этом пространстве функция, равная нулю на С и единице на Ю. 2. С помощью теоремы 3 или непосредственно можно доказать, что класс всех компактных Па замкнут относительно образования конечных соединений и счетных пересечений. 3.
Если Х вЂ” несчетное дискретное пространство, а Х* — компактное пространство, полученное из Х путем присоединения одной точки ха, то одноточечное множество (х*) компактно, но не является 0ь 4. Пусть 1 в произвольное несчетное множество; поставим в соответствие каждому 1 из 1 (компактное хаусдорфово) пространство Хо состоящее из двух действительных чисел 0 и 1; их тихоновское произведение Х Хг обоз бт значим Х: а) Любое одноточечное множество в Х компактно, но не является Оь б) Назовем множество Е в Х Ыа-множеством, если в 1 существует такое счетное подмножество 1, что Е представляет собой 1-цилиндр (см. упр.
2 э ЗЗ). Компактное множество С в Х есть Оа тогда и только тогда, когда оно ЯвлЯетсЯ Ь(а-множеством. [У к аз ание. Если С компактно, 0 откРыто ГЛАВА Х. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫВ ПРОСТРАНСТВА 2(4 и Сс (У, то, в силу самого определения топологии в Х, Сс Уьс (Г, где Уь — открытое множество в Х и одновременно й-цилиндр, причем У в некоторое конечное подмножество в Ц в) Если у †действительн непрерывная функция на Х и М вЂ” любое борелевское множество на числовой прямой, то у-г(А() представляет собой Ые-множество.
5. Пусть Хе и г* — компактные пространства, полученные из счетного дискретного пространства Х и несчетного дискреггного пространства 1' присоединением к тому н другому по одной точке (х" и у*). На примере множеств ((х*) )( 1'ь) — ((х*, у*)) и (Х*)( (уь)) — ((хь, у")) в локально компактном хаусдорфоволю пространстве (Хе К 'ге) — ((х*, у*)) можно видеть, что в теореме 2 нельзя опустить условие компактности множества С. 6. В локально компактном хаусдорфовом пространстве класс всех е-компактных открытых множеств образует базис (см.
теорему 4). $51. БОРЕЛЕВСКИЕ И БЗРОВСКИЕ МНОЖЕСТВА Соотношения между свойством измеримости и свойством непрерывности функций представляют исключительный интерес; глубже всего эти соотношения изучены в случае локально компактных пространств. В этом параграфе мы изложим основные понятия и результаты, касающиеся некоторых специальных а-колец множеств в локально компактных пространствах и функций, измеримых относительно этих о-колец. Введем следую:цие обозначения: С вЂ” класс всех компактных множеств в локально компактном хаусдорфовом пространстве Х,  — о-кольцо, порожденное классом С, () — класс всех открытых множеств, принадлежащих классу 8.
Множества, принадлежащие классу 8, мы будем называть борелевскими множествами в Х, так что, например, 1) может быть определено как класс всех открытых борелевских множеств в Х. Действительную функцию у на Х назовем функцией, измеримой в смысле Борелн (или просто борелевской функцией), если она измерима относительно е-кольца 8. Теорема 1.
Всякое борелевекае множество о-ограничено; всякое о-ограниченное открытое множество есть борелевское множество. Д о к а з а т е л ь с т в о. Всякое компактное множество, очевидно, ограничено и, следовательно, о-ограничено. Класс всех о-ограниченных множеств представляет собой о-кольцо, а так как он содержит С, то он содержит и о-кольцо, порожденное классом С.
Предположим теперь, что У вЂ открыт множество и (С„) — последовательность компактных множеств, такая, что О> (ус ЦС„=К. я=1 $ 51. БОРЕЛЕВСКНЕ Н БЭРОВСКИВ МНОЖЕСТВА 2!й Так как все множества ф— Ц и=1, 2, ..., компактны, то в силу равенства В=К вЂ” сг, имеем У=К вЂ” (К вЂ” сг)~$. Ф Пусть Се — класс всех компактных множеств в Х, которые суть 01, Яэ — в-кольцо, порожденное классом Се, и Па — класс всех открытых множеств, принадлежащих Бе. Множества, принадлежащие классу Бе, мы условимся называть бэровскими множествами в Х, так чтог например, 1)е можно определить как класс всех открытых бэровских множеств.
Действительную функцию, заданную на Х, назовем функцией, измеримой в смысле Бэра (или просто бэровской функцией), если она измерима относительно с-кольца 8 . Борелевские множества могут показаться естественным объектом изучения с точки зрения теории меры. Однако некоторые соображения заставляют нас ввести понятие бэровского множества, на первый взгляд довольно искусственное. Приведем некоторые из этих соображений. Во-первых, теория бэровских множеств в некоторых отношениях проще теории борелевских множеств, хотя, в то же время, бэровские множества могут служить средством изучения борелевских множеств; во-вторых, всякая непрерывная функция, равная нулю вне некоторого компактного множества, измерима в смысле Бара (см.
теорему 2); в-третьих, Ве представляет собой наименьшее а-кольцо, содержащее запас множеств, достаточный для того, чтобы с его помощью можно было задать топологию в Х (см. теорему 3); в-четвертых1 во всех классических частных случаях, когда теория меры применяется в топологических пространствах (например, в эвклидовых пространствах), понятия борелевского и бэровского множеств совпадают (см. теорему 5 $51).
Теорема 2. Если действительная непрерывная функция г' на Х такова, что множество гч'(у) =)х:г(х) + О) е-оераничено, то У' измерима в смысле Бэра. Доказательство. Если некоторое е-ограниченное открытое множество У есть Е„то существует последовательность компактных СО множеств (С„), такая, что У= а„э С„. Согласно теореме 5 $50, и=1 С„~О„<=.У, где я — произвольное целое положительное число и ΄— компактное бэровское множество. Отсюда следует, что У= ЦО„В и=1 У является бэровским множеством.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
