В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 90
Текст из файла (страница 90)
24.2443Ðèñ. 24.3Ðèñ. 24.4 (24.18) ó÷òåíî, ÷òî (ch α)′ = sh α, th α = sh α / ch α. Ïîýòîìó äèñïåðñèîííîåñîîòíîøåíèå ïîëó÷àåòñÿ â âèäåω=Îáîçíà÷èì c0 =⎛ th (kH ) ⎞gH k ⎜⎜⎟⎟⎝ kH ⎠12.(24.19)gH . Òîãäà⎛ th (kH ) ⎞ω = c0 k ⎜⎜⎟⎟⎝ kH ⎠12.(24.20)Íà ðèñ. 24.3 ýòà çàâèñèìîñòü èçîáðàæåíà ñïëîøíîé ëèíèåé, à øòðèõîâîéëèíèåé ïîêàçàíà ïðÿìàÿ ω = c0k. Ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîëíû c = ω / k êàê ôóíêöèÿâîëíîâîãî ÷èñëà ïîêàçàíà íà ðèñ. 24.4.Òàêèì îáðàçîì, ïîâåðõíîñòíûå ãðàâèòàöèîííûå âîëíû ïîäâåðæåíû ñèëüíîé äèñïåðñèè. Ýôôåêò äèñïåðñèè ÿðêî âûðàæåí ó îêåàíñêèõ âîëí, çàðîæäàþùèõñÿ â óäàëåííûõ øòîðìîâûõ ðàéîíàõ. Ïîñêîëüêó äëèííûå âîëíû (ñ ìåíüøèì k) äâèæóòñÿ áûñòðåå, ÷åì êîðîòêèå, òî îíè äîñòèãàþò áåðåãîâ íà 12 äíÿ ðàíüøå êîðîòêèõ. Ýôôåêò äèñïåðñèè ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìåñòà âîçíèêíîâåíèÿ âîëí.
Ðàññòîÿíèå äî øòîðìîâîãî ðàéîíà ïîäñ÷èòûâàåòñÿ ïî ðàçíîñòè âðåìåí ïðèáûòèÿ âîëí ðàçíîé äëèíû âîëíû è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàçíîé ÷àñòîòû. Ïðåîáëàäàþùàÿ ÷àñòîòà ïðèáûâàþùèõ âîëí ðàñòåò âîâðåìåíè, à äëèíà ïðîéäåííîãî ïóòè íàõîäèòñÿ ïî ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ÷àñòîòû. Òàê, ïî îöåíêå, îäèí èç ïàêåòîâ âîëí, íàáëþäàâøèõñÿ â ñåâåðíîé ÷àñòèÒèõîãî îêåàíà, ïðîøåë ïîëîâèíó îêðóæíîñòè çåìíîãî øàðà îò Èíäèéñêîãîîêåàíà ïî äóãå áîëüøîãî êðóãà, ïðîõîäÿùåé þæíåå Àâñòðàëèè.Ðåàëüíûå âîëíû, êàê óæå ãîâîðèëîñü ðàíüøå, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ âîëí, èëè âîëíîâûå ïàêåòû, êîòîðûå äâèæóòñÿ ñ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþu = dω / dk.
Ñêîðîñòü u ãðóïïû ìåíüøå, ÷åì ñêîðîñòè c = ω / k êàæäîé èç âîëí âãðóïïå. Åñëè ðàññìàòðèâàòü îòäåëüíóþ âîëíó, òî ìîæíî âèäåòü, ÷òî îíà ïåðåìåùàåòñÿ áûñòðåå, ÷åì ãðóïïà. Ïðè äîñòèæåíèè ôðîíòà ãðóïïû îíà çàòóõàåò, àåå ìåñòî çàíèìàþò âîëíû, ïðèøåäøèå ñ òûëà.Ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîëíû c = ω/k, êàê ñëåäóåò èç (24.20), çàâèñèò îò ïàðàìåòðà kH = 2πH / λ. Ïîýòîìó ðàçëè÷àþò âîëíû ãëóáîêîé è ìåëêîé âîäû.Âîëíû ãëóáîêîé âîäû. Åñëè kH ? 1 (H ? λ), òî âîëíû íàçûâàþòñÿ âîëíàìèãëóáîêîé âîäû. Âîçìóùåíèÿ δp ñîñðåäîòî÷åíû â ïðèïîâåðõíîñòíîì ñëîå òîë444ùèíîé ∼ λ è íå «÷óâñòâóþò» ïðèñóòñòâèÿ äíà.
Äëÿ òàêèõ âîëí, ñ ó÷åòîì ïðèáëèæåíèÿ th (kH ) ≈ 1, äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå (24.19) èìååò âèäω=gk .(24.21)Òàêèì îáðàçîì, ýòè âîëíû îáëàäàþò ñèëüíîé äèñïåðñèåé.Ñäåëàåì íåêîòîðûå îöåíêè.  îêåàíå ïðåîáëàäàþò âîëíû ñ ïåðèîäîì êîëåáàíèé T ≈ 10 ñ. Ñîãëàñíî (24.21), äëèíà âîëíû λ = 2π / k ≈ 150 ì, à ôàçîâàÿñêîðîñòü c ≈ 15 ì/ñ. Òàêàÿ ñêîðîñòü ÿâëÿåòñÿ òèïè÷íîé, òàê êàê îíà ñîâïàäàåò ñõàðàêòåðíîé ñêîðîñòüþ âåòðà, ãåíåðèðóþùåãî âîëíû ãëóáîêîé âîäû.Åñëè ïðîàíàëèçèðîâàòü ðàñïðåäåëåíèå âîçìóùåíèé äàâëåíèÿ ñ ãëóáèíîé,îïèñûâàåìîå ôóíêöèåé f (z) [ñì. (24.16)], òî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî f = e−1 ïðèz = λ / 6 = 25 ì. Òàêèì îáðàçîì, ïðèáëèæåíèå ãëóáîêîé âîäû ñïðàâåäëèâî â òåõìåñòàõ, ãäå ãëóáèíà H > 25 ì.Âîëíû ìåëêîé âîäû. Ïðè ïðèáëèæåíèè ê áåðåãó ãëóáèíà H óìåíüøàåòñÿ, èðåàëèçóåòñÿ óñëîâèå kH < 1 (2πH < λ). Õîòÿ ÷àñòîòà âîëíû îñòàåòñÿ ïðåæíåé,îäíàêî äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå ïðèìåò èíîé âèäω = k gH = kc0 ,(24.22)èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî íà ìåëêîé âîäå äèñïåðñèÿ âîëí îòñóòñòâóåò.
Ñêîðîñòüâîëí c0 = gH óìåíüøàåòñÿ ñ ãëóáèíîé, è íà ãëóáèíå H = 1 ì ñêîðîñòü c0 ≈ 3 ì/ñ,à äëèíà âîëíû ïðè T ≈ 10 ñ ðàâíà λ = c0T ≈ 30 ì. íåïîñðåäñòâåííîé áëèçîñòè îò áåðåãà, ãäå ãëóáèíà H ñðàâíèìà ñ àìïëèòóäîé âîëíû s0, âîëíà èñêàæàåòñÿ ïîÿâëÿþòñÿ êðóòûå ãðåáíè, êîòîðûå äâèæóòñÿ áûñòðåå ñàìîé âîëíû è çàòåì îïðîêèäûâàþòñÿ. Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó,÷òî ãëóáèíà H + s0 ïîä ãðåáíåì ñóùåñòâåííî ïðåâûøàåò ãëóáèíó H − s0 ïîäâïàäèíîé.  ðåçóëüòàòå êîëåáàíèÿ ÷àñòèö âîëíû ïðèîáðåòàþò ñëîæíûé õàðàêòåð. Îíè ÿâëÿþòñÿ ñóïåðïîçèöèåé êîëåáàíèé ìíîãèõ ÷àñòîò, ïðè÷åì ïî ìåðåïðèáëèæåíèÿ ê áåðåãó øèðèíà ÷àñòîòíîãî ñïåêòðà óâåëè÷èâàåòñÿ.Èç ïðèâåäåííîé âûøå êëàññèôèêàöèè ãðàâèòàöèîííûõ âîëí ñëåäóåò, ÷òîäëÿ îêåàíà ñ ãëóáèíîé H ≈ 5 êì âîëíû ãëóáîêîé âîäû äîëæíû èìåòü äëèíóâîëíû λ < 2πH ≈ 30 êì.
Ñîãëàñíî (24.21), äëÿ λ = 30 êì ïåðèîä êîëåáàíèé T = 2π / ω ≈≈ 2 ìèí, à ñêîðîñòü c = λ / T ≈ 250 ì/ñ. Äëÿ êîíòèíåíòàëüíîãî øåëüôà H ≈ 50 ì,ïîýòîìó âîëíàìè ãëóáîêîé âîäû áóäóò âîëíû ñ λ < 300 ì, T ≈ 15 ñ è c ≈ 20 ì/ñ.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè H ≈ 5 êì âîëíû ñ λ > 30 êì áóäóò âîëíàìè ìåëêîéâîäû. Îíè èìåþò ïåðèîä êîëåáàíèé T > 2 ìèí è ñêîðîñòü c > 250 ì/ñ.
Òàêèåâîëíû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ñî ñêîðîñòüþ ðåàêòèâíîãî ñàìîëåòà è ìîãóò ïåðåñå÷üÀòëàíòè÷åñêèé îêåàí ïðèìåðíî çà 7 ÷.Õàðàêòåð äâèæåíèÿ ÷àñòèö æèäêîñòè. Ðàññ÷èòàåì ñêîðîñòè ÷àñòèö Lx è Lzêàê ôóíêöèè êîîðäèíàò x, z è âðåìåíè t. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ (24.6) ñ ó÷åòîì (24.1), (24.3) è (24.16):ρ∂L x∂= − δρ = f (z )ρgks0 cos (ωt − kx ) ;∂t∂x∂Ldf∂ρ z = − δρ = −ρgs0 sin (ωt − kx ) .dz∂t∂z(24.23)445Ðèñ. 24.5ÎòñþäàLx = f (z ) gks sin (ωt − kx ) ;ω 0df gLz =s cos (ωt − kx ) .dz ω 0(24.24)Íà ðèñ. 24.5 ïîêàçàíû âåêòîðû ñêîðîñòè ÷àñòèö íà ïîâåðõíîñòè â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè. Ïóíêòèðîì èçîáðàæåíî ïîëîæåíèå âîëíû ÷åðåç ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè.
Íà ãðåáíå âîëíû ÷àñòèöû èìåþò ñîñòàâëÿþùóþ ñêîðîñòè Lx > 0, à âî âïàäèíå Lx < 0. Ñêîðîñòü íåêîòîðîé ÷àñòèöû A íàïðàâëåíàâíèç, è ñ òå÷åíèåì âðåìåíè îíà áóäåò èçìåíÿòüñÿ. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî â ïîñëåäóþùèé ìîìåíò ñêîðîñòü ÷àñòèöû A áóäåò òàêîé, êàê ó ÷àñòèöû B â íàñòîÿùèéìîìåíò, çàòåì êàê ó ÷àñòèöû C â íàñòîÿùèé ìîìåíò, è òàê äàëåå. Ïîýòîìóòðàåêòîðèÿ ÷àñòèöû A áóäåò ýëëèïòè÷åñêîé. Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ êîîðäèíàòûz (ãëóáèíû ïîãðóæåíèÿ) Lz → 0, ýëëèïñû ñïëþùèâàþòñÿ, è ïðè z Y λ ÷àñòèöûæèäêîñòè êîëåáëþòñÿ ïðàêòè÷åñêè âäîëü îñè Ox.Ðàçìåð l áîëüøîé ïîëóîñè ýëëèïñà ìîæíî îöåíèòü èç óñëîâèÿl ≈ (L x )maxT = gks T.ω 0(24.25)Ñðàâíèì l ñ äëèíîé âîëíû λ :g kl≈s T.λ λω 0Ó÷òåì, ÷òî ω / k = c, λ = cT, c0 =(24.26)gH ñêîðîñòü âîëí ìåëêîé âîäû.
Òîãäàc2 sl≈ 02 0 .λ c H(24.27)sl≈ 0 = 1.λ H(24.28)Äëÿ ìåëêîé âîäû c = c0, è446Ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå λ ∼ H, òî l ∼ s0,ò. å. âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì àìïëèòóäû âîëíû s0. Íî òàê êàê s0 = H, òî àìïëèòóäàãîðèçîíòàëüíûõ êîëåáàíèé l = λ.Ïðè áîëüøîé ãëóáèíå âîäîåìà ÷àñòèöû íà ïîâåðõíîñòè äâèæóòñÿ ïî òðàåêòîðèÿì, áëèçêèì ê êðóãîâûì. Ïî òàêèì æå òðàåêòîðèÿì áóäóò äâèãàòüñÿ èïëàâàþùèå íà ïîâåðõíîñòè íåáîëüøèåÐèñ. 24.6òåëà, íàïðèìåð, ïðèòîïëåííûé ïîïëàâîê.Äî ñèõ ïîð ìû ïðåäïîëàãàëè, ÷òî ïðîôèëü âîëíû ÿâëÿåòñÿ ñèíóñîèäàëüíûì, ÷òî âîçìîæíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè àìïëèòóäà âîëíû î÷åíü ìàëà ïîñðàâíåíèþ ñ åå äëèíîé.
 ïðèðîäå òàêèì ïðîôèëåì ðåàëüíî îáëàäàþò òîëüêîïðèëèâíûå âîëíû, äëèíà êîòîðûõ ÷ðåçâû÷àéíî âåëèêà ïî ñðàâíåíèþ ñ èõâûñîòîé. Îáû÷íûå âåòðîâûå âîëíû èìåþò áîëåå ñëîæíûé âèä. Êàê ïîêàçûâàþòðàñ÷åòû, ÷àñòèöû æèäêîñòè â íèõ äâèæóòñÿ ïî îêðóæíîñòÿì, ðàäèóñ êîòîðûõýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò ñ ãëóáèíîé (ðèñ. 24.6). Ñïëîøíûå ëèíèè ýòî ëèíèè ðàâíîãî äàâëåíèÿ (èçîáàðû), ëþáàÿ èç êîòîðûõ ìîæåò ñîîòâåòñòâîâàòü ïîâåðõíîñòè âîäû ïðè îïðåäåëåííîé àìïëèòóäå âîëíû.
Ýòè ëèíèè ÿâëÿþòñÿ òðîõîèäàìè, ïîýòîìó òàêóþ âîëíó íàçûâàþò òðîõîèäàëüíîé. Î÷åíü áëèçêèìè êòðîõîèäàëüíûì ÿâëÿþòñÿ âîëíû ïîñëå íàñòóïëåíèÿ íà ìîðå øòèëÿ. Ýòî òàêíàçûâàåìàÿ ìåðòâàÿ çûáü.Îïûòíûì ïóòåì óñòàíîâëåíî, ÷òî ó òðîõîèäàëüíûõ âîëí óãîë ìåæäó êàñàòåëüíîé ê ïîâåðõíîñòè âîäû è ãîðèçîíòîì íå ïðåâûøàåò 30°.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå âîëíà òåðÿåò óñòîé÷èâîñòü. Ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ â ïðîöåññå çàðîæäåíèÿ è ðàçâèòèÿ âîëí ïîä äåéñòâèåì âåòðà. Âûñîêèå âîëíû ñ îñòðûìè ãðåáåøêàìè íåìîãóò ïðîäîëæàòü ñâîé áåã, òàê êàê èõ ãðåáíè îïðîêèäûâàþòñÿ è ðàçðóøàþòñÿ, è âîëíû óìåíüøàþòñÿ ïî âûñîòå.Êàïèëëÿðíûå âîëíû.
Ïðè àíàëèçå çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè îò âîëíîâîãî ÷èñëà, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 24.4, âîçíèêàåò âîïðîñ: äî êàêîé âåëè÷èíû ïàäàåòñêîðîñòü c ïðè óâåëè÷åíèè âîëíîâîãî ÷èñëà k (èëè óìåíüøåíèè äëèíû âîëíû)?Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ñ óìåíüøåíèåì äëèíû âîëíû ñêîðîñòü äîñòèãàåò ìèíèìóìà, à çàòåì íà÷èíàåò âîçðàñòàòü.
Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðè ìàëîì ðàäèóñåR êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè (R ∼ λ) çàìåòíóþ ðîëü íà÷èíàþò èãðàòü ñèëû ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ. Ïîä èõ äåéñòâèåì ïîâåðõíîñòü âîäû ñòðåìèòñÿ óìåíüøèòü ñâîþ ïëîùàäü. Òàêèå âîëíû íàçûâàþò êàïèëëÿðíûìè.Åñëè ïðè óâåëè÷åíèè íàòÿæåíèÿ øíóðà ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïî íåìóâîëí âîçðàñòàëà, òî ïðè óñèëåíèè ðîëè ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ (óìåíüøåíèè λ ∼ R ) ñêîðîñòü êàïèëëÿðíûõ âîëí òàêæå äîëæíà óâåëè÷èâàòüñÿ. Èçâåñòíî, ÷òî äàâëåíèå ïîä èñêðèâëåííîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ p = σ/R,ãäå σ êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ.
Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî λ ≈ 2πR,òî, ïî àíàëîãèè ñ ôîðìóëîé äëÿ ñêîðîñòè çâóêà â ãàçå (ïðè γ = 1), ìîæíîîöåíèòü ôàçîâóþ ñêîðîñòü òàêèõ âîëí:cêàï =ω=kp ρ = σk ρ.(24.29)447Ðàñ÷åò ïîêàçûâàåò, ÷òî ôîðìóëà (24.29) äëÿ êàïèëëÿðíûõ âîëí ãëóáîêîéâîäû îêàçûâàåòñÿ òî÷íîé. Ó÷åò êîíå÷íîñòè ãëóáèíû âîäîåìà äàåò äëÿ ýòèõ âîëíðåçóëüòàò, àíàëîãè÷íûé ïîëó÷åííîìó âûøå äëÿ ãðàâèòàöèîííûõ âîëí: â ôîðìóëå (24.29) ïîä êîðíåì äîïîëíèòåëüíî ïîÿâëÿåòñÿ ìíîæèòåëü th (kH).Êàïèëëÿðíûå âîëíû òàêæå èñïûòûâàþò äèñïåðñèþ, îäíàêî, â îòëè÷èå îòãðàâèòàöèîííûõ, èõ ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì âîëíîâîãî ÷èñëàk, ò.
å. ñ óìåíüøåíèåì λ. Çàïèøåì äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå (24.29) â âèäåω2 = σk3/ρ.(24.30)Êàê ñëåäóåò èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ, ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü uêàï êàïèëëÿðíûõâîëí ãëóáîêîé âîäû áîëüøå èõ ôàçîâîé ñêîðîñòè cêàï â 1,5 ðàçà: uêàï ==dω=dk1 g3 σ3=k = cêàï , òîãäà êàê äëÿ ãðàâèòàöèîííûõ âîëí [ñì. (24.21)] u =2 k2 ρ21c , ò. å. ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü âäâîå ìåíüøå ôàçîâîé. Ðàçëè÷èå ãðóïïîâîé è2ôàçîâîé ñêîðîñòåé êàïèëëÿðíûõ âîëí õîðîøî çàìåòíî íà ïîâåðõíîñòè âîäûïðè ïîðûâàõ âåòðà: âèäíî, ÷òî ìåëêàÿ ðÿáü âíóòðè ãðóïïû âîëí äâèæåòñÿ ìåäëåííåå, ÷åì âåñü âîëíîâîé ïàêåò.Åñëè ïðè ðàññìîòðåíèè ïîâåðõíîñòíûõ âîëí ó÷åñòü êàê äåéñòâèå ñèëû òÿæåñòè, òàê è ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå, òî äëÿ âîëí ãëóáîêîé âîäû ïîëó÷èòñÿîäíî äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå:=ω=gk +σ 3k .ρ(24.31)Îòñþäà ñêîðîñòü ãðàâèòàöèîííî-êàïèëëÿðíûõ âîëí ãëóáîêîé âîäû ïîëó÷àåòñÿðàâíîéc=g σ+ k.k ρω=k(24.32)Äëÿ âîëíîâûõ ÷èñåë k = H −1 (âîëíû ìåëêîé âîäû) â ñîîòâåòñòâèè ñ (24.22)ñêîðîñòü ñòðåìèòñÿ ê çíà÷åíèþ c0 = gH , à äëÿ ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèé k, âñîîòâåòñòâèè ñ (24.20), ìîæíî çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè âîëí ñëåäóþùèì îáðàçîì:⎛g σ ⎞c = ⎜ + k ⎟ th (kH ).⎝k ρ ⎠(24.33)Çàâèñèìîñòü (24.33) ñêîðîñòè c îò âîëíîâîãî ÷èñëà k ïîêàçàíà íà ðèñ.
24.7.Âèäíî, ÷òî ñêîðîñòü äîñòèãàåò ìèíèìàëüíîé âåëè÷èíû.  ñîîòâåòñòâèè ñ (24.32),ýòî ïðîèñõîäèò ïðè g / kmin = σkmin / ρ, îòêóäà kmin =cmin =4484σg2.ρg ρ σ . Ñëåäîâàòåëüíî,(24.34)Äëÿ âîäû σ = 0,073 Í/ì, cmin ≈ 23,2 ñì/ñ,λmin = 2π/kmin ≈ 1,73 ñì. Òàêèì îáðàçîì, íà ïîâåðõíîñòè âîäû íå ìîãóò ñóùåñòâîâàòü âîëíû,ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ ñî ñêîðîñòüþ ìåíüøå23 ñì/ñ!Öóíàìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
