В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 89
Текст из файла (страница 89)
ä.). Èíòåðôåðåíöèîííûå ìèíèìóìû ðàñïîëàãàþòñÿ â òåõ ìåñòàõ, ãäåΔr = r2 − r1 = nλ,2(23.48)ãäå n = ±1, ±3, ±5, ...Ðàññìîòðåííàÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà ñîîòâåòñòâóåò èäåàëèçèðîâàííîé ñèòóàöèè. Ðåàëüíûå âîëíû äàæå â ëó÷øåì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèìè. Äëÿ òàêèõ âîëí àìïëèòóäû s0 è ôàçû ϕ1 è ϕ2 ÿâëÿþòñÿ ìåäëåííîìåíÿþùèìèñÿ ôóíêöèÿìè âðåìåíè (çàìåòíûå èçìåíåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé ïðîèñõîäÿò çà âðåìÿ τ ? T = 2π / ω). Îäíàêî, åñëè îáà øàðèêà ïðèâîäÿòñÿ â êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå îäíèì âèáðàòîðîì, ðàçíîñòü ôàç Δϕ â (23.45) îñòàåòñÿïîñòîÿííîé, ïîëîæåíèå èíòåðôåðåíöèîííûõ ìàêñèìóìîâ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé(23.47) è íå çàâèñèò îò âðåìåíè.437 ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ñëó÷àÿõ èñòî÷íèêè èíòåðôåðèðóþùèõ âîëí ìîãóò áûòüíåçàâèñèìû.
 íàøåì îïûòå ýòî ìîæíî îñóùåñòâèòü, åñëè èñïîëüçîâàòü äâàâèáðàòîðà, ê êàæäîìó èç êîòîðûõ ïðèñîåäèíåí ìàëåíüêèé øàðèê. Òîãäà ðàçíîñòü ôàç Δϕ áóäåò òàêæå èçìåíÿòüñÿ çà õàðàêòåðíîå âðåìÿ τ, è åå ìîæíî çàïèñàòü â âèäåΔϕ(t ) = Δϕ + δ(t ),(23.49)ãäå Δϕ ñðåäíåå ïî âðåìåíè çíà÷åíèå ðàçíîñòè ôàç; δ (t) çíàêîïåðåìåííàÿôóíêöèÿ.Ñ÷èòàÿ äëÿ ïðîñòîòû â (23.45) s0 = const, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà êàê öåëîå áóäåò äîñòàòî÷íî õàîòè÷íî ñìåùàòüñÿ â ðàçíûåñòîðîíû.
Åñëè òàêóþ êàðòèíó ñíèìàòü íà êèíîïëåíêó ñî âðåìåíåì ýêñïîçèöèèêàäðà Δt > τ, òî íà êàæäîì êàäðå áóäåò îòïå÷àòàíà óñðåäíåííàÿ çà âðåìÿ Δt«ðàçìàçàííàÿ» êàðòèíà. Îíà ìîæåò ñòàòü ñîâñåì íåðàçëè÷èìîé, åñëè èíòåðôåðåíöèîííûå ìàêñèìóìû áóäóò ñìåùàòüñÿ íà âåëè÷èíû, ðàâíûå èëè ïðåâûøàþùèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñîñåäíèìè ìàêñèìóìàìè. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ äîñòàòî÷íî÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ ïðè èíòåðôåðåíöèè ñâåòîâûõ âîëí. ×òîáû ïîëíîãî «ñìàçûâàíèÿ» êàðòèíû íå ïðîèçîøëî, î÷åâèäíî, íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ñëåäóþùåãî óñëîâèÿ:|δ (t )| = 2π.(23.50)×åì ëó÷øå âûïîëíÿåòñÿ ýòî íåðàâåíñòâî, òåì âûøå ÷åòêîñòü êàðòèíû.
Äëÿñâåòîâûõ âîëí τ ∼ 10−9 ÷ 10−12 ñ è ïðè âèçóàëüíîì íàáëþäåíèè (äëÿ îðãàíîâçðåíèÿ Δt ≈ 0,1 ñ) ìû âñåãäà ðåãèñòðèðóåì «ðàçìàçàííóþ» èíòåðôåðåíöèîííóþêàðòèíó.Ñ ÷åòêîñòüþ êàðòèíû íàïðÿìóþ ñâÿçàíî ïîíÿòèå êîãåðåíòíîñòè èíòåðôåðèðóþùèõ âîëí. Êîãåðåíòíîñòü õàðàêòåðèçóåòñÿ áåçðàçìåðíûì êîýôôèöèåíòîì γ(ñòåïåíüþ êîãåðåíòíîñòè), êîòîðûé ìîæåò èçìåíÿòüñÿ â èíòåðâàëå 0 < γ < 1.×åì âûøå ÷åòêîñòü êàðòèíû, òåì áîëüøå ñòåïåíü êîãåðåíòíîñòè.
Äëÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí γ = 1. Äåòàëüíîå îïèñàíèå ïîíÿòèÿ êîãåðåíòíîñòè áóäåòäàíî â êóðñå «Îïòèêà».Äèôðàêöèÿ âîëí.  óïðîùåííîì ñìûñëå ïîä äèôðàêöèåé ïîíèìàþò êðóã ÿâëåíèé, â êîòîðûõ ïðîÿâëÿåòñÿ îòñòóïëåíèå îò ïðÿìîëèíåéíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí. Íà ñàìîì äåëå ïðÿìîëèíåéíîå ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí ÿâëÿåòñÿ ëèøüîïðåäåëåííûì ïðèáëèæåíèåì. Äåéñòâèòåëüíî, ñïåöèôèêà ëþáîãî âîëíîâîãîäâèæåíèÿ ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî îíî, âîçíèêíóâ âíà÷àëå â îãðàíè÷åííîéîáëàñòè, ñòðåìèòñÿ ðàñïðîñòðàíèòüñÿ â ðàâíîé ñòåïåíè âî âñå ñòîðîíû.
Âûáîðîì ñïåöèàëüíîé ôîðìû ýòîé îáëàñòè ìîæíî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òî âîëíà ïîáåæèò ïðåèìóùåñòâåííî â íåêîòîðîì íàïðàâëåíèè, òî åñòü áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ïðàêòè÷åñêè ïðÿìîëèíåéíî.Äëÿ èçó÷åíèÿ îñíîâíûõ çàêîíîìåðíîñòåé äèôðàêöèè âèäîèçìåíèì õàðàêòåð âîçáóæäåíèÿ âîëí íà ïîâåðõíîñòè âîäû â îïèñàííîì ðàíåå îïûòå.  êà÷åñòâå èñòî÷íèêà âîëíû âìåñòî øàðèêîâ áóäåì èñïîëüçîâàòü ïëàñòèíó O1O2, äëèíàêîòîðîé l0 = (3 ÷ 5) ñì, ò. å. çàìåòíî ïðåâûøàåò äëèíó âîëíû λ ≈ 3 ìì (ðèñ. 23.18). ðåçóëüòàòå ïî ïîâåðõíîñòè âîäû ïîáåæèò «ïëîñêàÿ» âîëíà â íàïðàâëåíèè,ïåðïåíäèêóëÿðíîì ïëàñòèíå. Îò÷åòëèâî íàáëþäàþòñÿ äâå ïðÿìîëèíåéíûå ãðàíèöû Ã1 è Ã2, îòäåëÿþùèå âîçìóùåííóþ âîëíîé è ãëàäêóþ ÷àñòè ïîâåðõíîñòè438Ðèñ.
23.18Ðèñ. 23.19âîäû. Äëÿ ýòîé ïîñëåäíåé ÷àñòè ìîæíî óïîòðåáèòü çàèìñòâîâàííûé èç îïòèêèòåðìèí: «îáëàñòü ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè». Ñàìó âîëíó ÷àñòî íàçûâàþò âîëíîâûìïó÷êîì, èëè ëó÷îì.  ýòîì ýêñïåðèìåíòå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî è íå çàõîäèò â îáëàñòü òåíè. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òîðàçìåð åå âîëíîâîãî ôðîíòà l0 ? λ.Óìåíüøèì òåïåðü ýòîò ðàçìåð. Íàèáîëåå ïðîñòî ýòî ìîæíî îñóùåñòâèòü,åñëè ïàðàëëåëüíî ïëàñòèíå O1O2 óñòàíîâèòü äâå âåðòèêàëüíûå ñòåíêè Ñ1 èÑ2, ðàññòîÿíèå l ìåæäó êîòîðûìè ìîæíî èçìåíÿòü (ðèñ.
23.19). Åñëè ñäåëàòül ≈ 5λ ≈ 15 ìì, òî âîëíà íà÷íåò ïîñòåïåííî çàõîäèòü â îáëàñòü òåíè, à åå ôðîíòáóäåò èñêðèâëÿòüñÿ. Íà íåêîòîðîì õàðàêòåðíîì ðàññòîÿíèè L âîëíîâîé ïó÷îêïðèîáðåòåò çàìåòíóþ óãëîâóþ ðàñõîäèìîñòü è äàëåå áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ïî÷àñòè ïîâåðõíîñòè, îãðàíè÷åííîé óãëîì 2ϑ. Ïðè óìåíüøåíèè çàçîðà l ìåæäóñòåíêàìè óãîë 2ϑ âîçðàñòàåò, à ðàññòîÿíèå L óìåíüøàåòñÿ. Ýòî îòñòóïëåíèå îòïðÿìîëèíåéíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì äèôðàêöèè è ñóùåñòâåííî òîãäà, êîãäà l ≈ λ.Íå ñîñòàâëÿåò òðóäà îöåíèòü âåëè÷èíû ϑ è L, èñïîëüçóÿ ïîäõîä, ïðåäëîæåííûé ôðàíöóçñêèì ó÷åíûì Î. Ôðåíåëåì â XIX â.
äëÿ îáúÿñíåíèÿ äèôðàêöèè ñâåòîâûõ âîëí. Ñëåäóÿ Ôðåíåëþ, ó÷àñòîê ôðîíòà ïàäàþùåé âîëíû â çàçîðå ìåæäóñòåíêàìè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê öåïî÷êó èç N ? 1 áëèçêî ðàñïîëîæåííûõîäèíàêîâûõ òî÷å÷íûõ èñòî÷íèêîâ O1, O2,..., ON (ðèñ. 23.20). Âîçìóùåíèå â ëþáîéòî÷êå M ïîâåðõíîñòè âîäû åñòü ðåçóëüòàò èíòåðôåðåíöèè N âîëí îò ýòèõ, òàêíàçûâàåìûõ «âòîðè÷íûõ» èñòî÷íèêîâ, è çàâèñèò îò ðàçíîñòè õîäà âñåõ èíòåðôåðèðóþùèõ âîëí.  ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ñëó÷àÿõ ðàññòîÿíèÿ r1, r2, ..., rN ? l,ïîýòîìó îòðåçêè O1M, O2M, ..., ONM ìîæíî ñ÷èòàòü ïàðàëëåëüíûìè. Ïîíÿòíî,÷òî â òî÷êó P, ëåæàùóþ íà îñè âîëíîâîãî ïó÷êà, èíòåðôåðèðóþùèå âîëíûïðèõîäÿò â ôàçå è âîçìóùåíèå ïîâåðõíîñòè â íåé áóäåò ìàêñèìàëüíûì. Íàïðîòèâ, â òî÷êå M âîëíû ìîãóò ïîãàñèòü äðóãäðóãà, åñëè ðàçíîñòü õîäà Δr = rN / 2 − r1ìåæäó âîëíàìè îò êðàéíåãî èñòî÷íèêàO1 è ñðåäíåãî èñòî÷íèêà ON/2 áóäåò ðàâíà λ / 2.
Ïîñêîëüêó ýòà ðàçíîñòü, êàêlâèäíî èç ðèñ. 23.20, ðàâíà sin ϑ, òîÐèñ. 23.202439Ðèñ. 23.21Ðèñ. 23.22lλsin ϑ = .(23.51)22Àíàëîãè÷íî, â ïðîòèâîôàçå áóäóò ïðèõîäèòü âîëíû è îò äðóãèõ ïàð èñòî÷íèêîâ (O2, ON / 2 + 1; O3, ON / 2 + 2; ...; ON / 2 + 1, ON). Ãîâîðÿò, ÷òî â òî÷êå M áóäåòíàáëþäàòüñÿ ïåðâûé ìèíèìóì äèôðàêöèîííîé êàðòèíû. Ëåãêî íàïèñàòü óñëîâèå, ïîäîáíîå (23.51), è äëÿ äðóãèõ ìèíèìóìîâ.
Îäíàêî, êàê ïîêàçûâàåò ñòðîãèé àíàëèç, áîëåå 90 % âñåé ýíåðãèè ïåðåíîñèòñÿ âîëíîé â ïðåäåëàõ óãëà 2ϑ.Ïîýòîìó íà ðèñ. 23.19 ãðàíèöû Ã1 è Ã2 âåñüìà óñëîâíû è î÷åð÷èâàþò ëèøüîñíîâíóþ, íàèáîëåå ýíåðãîåìêóþ ÷àñòü ïó÷êà.Äëÿ îöåíêè äèôðàêöèîííîé ðàñõîäèìîñòè âîëíîâûõ ïó÷êîâ èñïîëüçóåòñÿóãîë ϑ, êîòîðûé ïðè l ? λ îöåíèâàåòñÿ ñîãëàñíî (23.51) ïî ôîðìóëåΔr =ϑ ≈ λ / l.(23.52)Òàêóþ ðàñõîäèìîñòü ïó÷îê ïðèîáðåòàåò íà íåêîòîðîì õàðàêòåðíîì ðàññòîÿíèè L. Åãî ìîæíî ëåãêî îöåíèòü èç ðèñ.
23.21, íà êîòîðîì èçîáðàæåíû àñèìïòîòû ê ãðàíèöàì Ã1 è Ã2. Áóäåì óñëîâíî ñ÷èòàòü, ÷òî íà ðàññòîÿíèè L ïîïåðå÷íûéðàçìåð ïó÷êà óäâîèëñÿ è ñòàë ðàâíûì 2l. Òîãäà ñ ó÷åòîì (23.52) ìîæíî çàïèñàòü:ϑ = l/L = λ/l.(23.53)L = l 2/ λ.(23.54)ÎòñþäàÂåëè÷èíà L íàçûâàåòñÿ äèôðàêöèîííîé äëèíîé ïó÷êà ñ äëèíîé âîëíû λ è ïîïåðå÷íûì ðàçìåðîì l.
Îíà îïðåäåëÿåò ìàñøòàá ðàññòîÿíèé, íà êîòîðûõ ðàçâèâàåòñÿ çàìåòíàÿ äèôðàêöèÿ ïó÷êà.Ñäåëàåì íåêîòîðûå îöåíêè.  îïûòå, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 23.18, l = 5 ñì,λ = 3 ìì, è L ≈ 80 ñì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â êþâåòå äèôðàêöèÿ ïðîñòî íå óñïåâàåòçàìåòíî ðàçâèòüñÿ. Ïðè óìåíüøåíèè l (ñì. ðèñ. 23.19) äî âåëè÷èíû l = 5λ = 15 ììäèôðàêöèîííàÿ äëèíà ïó÷êà L = 7,5 ñì, è äèôðàêöèÿ ñòàíîâèòñÿ îò÷åòëèâî âèäíà. Åñëè íà ïóòè âîëíîâîãî ïó÷êà ïîñòàâèòü ïðåïÿòñòâèå ñòåíêó Ñ(ðèñ. 23.22), òî ñðàçó çà ñòåíêîé áóäåò òåíü, îäíàêî âîëíà, ïðîéäÿ ðàññòîÿíèåL ≈ l 2/λ, îáîãíåò ïðåïÿòñòâèå. Èëëþñòðàöèåé ê ñêàçàííîìó ÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð,âîçìîæíîñòü óñëûøàòü çâóêîâîé ñèãíàë àâòîìîáèëÿ, íàõîäÿñü ïîçàäè íåáîëüøîãî ñòðîåíèÿ.
Îäíàêî çà ìíîãîýòàæíûé äîì çâóê ïðàêòè÷åñêè íå ïðîíèêàåò.ËÅÊÖÈß 24Âîëíû íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Ãðàâèòàöèîííûå âîëíû. Ìíîãèå èç íàñ ìîãóò äîëãî ëþáîâàòüñÿ ïîâåðõíîñòüþ ìîðÿ èëè ðåêè, ïî êîòîðîé ïåðåêàòûâàþòñÿ âîëíû. Ðîæäåííûå âåòðîì, îíè ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ çàòåì çà ñ÷åò ñèëû òÿæåñòè. Òàêèå âîëíû íàçûâàþò ãðàâèòàöèîííûìè. ×àñòèöû âîäû ñîâåðøàþò â íèõäâèæåíèå ïî êðóãîâûì è ýëëèïòè÷åñêèì òðàåêòîðèÿì («ââåðõ âíèç» è «âïåðåä íàçàä» îäíîâðåìåííî), ïîýòîìó òàêèå âîëíû (êàê è âîëíû Ðýëåÿ) íåëüçÿîòíåñòè íè ê ïðîäîëüíûì, íè ê ïîïåðå÷íûì. Ãðàâèòàöèîííûå âîëíû îáëàäàþòðÿäîì óäèâèòåëüíûõ ñâîéñòâ, ê àíàëèçó êîòîðûõ ìû è ïðèñòóïèì.Ïóñòü ïî ïîâåðõíîñòè âîäîåìà ãëóáèíîé H âäîëü îñè Ox ðàñïðîñòðàíÿåòñÿïîâåðõíîñòíàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ âîëíàs (x, t ) = s0 sin (ωt − kx),(24.1)ãäå s ñìåùåíèå ïîâåðõíîñòè âîäû ââåðõ îò åå ðàâíîâåñíîãî ãîðèçîíòàëüíîãî ïîëîæåíèÿ, îòìå÷åííîãî íà ðèñ.
24.1 øòðèõîâîé ëèíèåé. Áóäåì ñ÷èòàòü,÷òî | s | = H.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äàâëåíèå æèäêîñòè íà ãëóáèíå z ðàâíîp (z, x, t ) = ρgz + δp (z, x, t ),(24.2)ãäå δp äîáàâêà ê ãèäðîñòàòè÷åñêîìó äàâëåíèþ ρgz, îáóñëîâëåííàÿ âîëíîâûìäâèæåíèåì ïîâåðõíîñòè.Ñäåëàåì òàêæå ïðåäïîëîæåíèå, ÷òîδp (z, x, t ) = f (z)ρg s (x, t ).(24.3)Âûðàæåíèå (24.3) çàïèñàíî â ïðèáëèæåíèè, ÷òî âîçìóùåíèå äàâëåíèÿ âáëèçèïîâåðõíîñòè (z → 0) îïðåäåëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì ãèäðîñòàòè÷åñêèì äàâëåíèåì ρgs, ñâÿçàííûì ñ èçìåíåíèåì óðîâíÿ æèäêîñòè ïðè ðàñïðîñòðàíåíèèâîëíû:δp (0, x, t ) = ρg s (x, t ),(24.4)ïðè÷åì ñ ãëóáèíîé ýòî âîçìóùåíèå äîëæíî óáûâàòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿf (z) ñ ðîñòîì z òàêæå äîëæíà óáûâàòü, ïðè ýòîì f (0) = 1.
Ïîçæå ìû äîêàæåì,÷òî ïðåäñòàâëåíèå âîçìóùåíèÿ äàâëåíèÿ â âèäå(24.3) îïðàâäàíî.Äëÿ îïèñàíèÿ âîëíîâîãî äâèæåíèÿ æèäêîñòè íàì íåîáõîäèìî, âî-ïåðâûõ, äëÿ çàäàííîé÷àñòîòû ω íàéòè k, ò. å. óñòàíîâèòü äèñïåðñèîííóþ çàâèñèìîñòü ω = ω (k ) è, âî-âòîðûõ, îïðåäåëèòü âèä ôóíêöèè f (z). Ýòî ìîæíî ñäåëàòü,åñëè ñ ó÷åòîì (24.2) çàïèñàòü óðàâíåíèÿ Ýéëåðà äëÿ äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé è íåâÿçêîé æèäêîñòè â ïëîñêîñòè Oxz [ñì.
óðàâíåíèå (17.30)]:Ðèñ. 24.1441∂L∂L ⎞∂δp⎛ ∂L;ρ ⎜ x + L x x + Lz x ⎟ = −z∂x∂ ⎠∂x⎝ ∂t∂L∂L ⎞∂δp⎛ ∂L.ρ ⎜ z + Lx z + Lz z ⎟ = −∂x∂z ⎠∂z⎝ ∂t(24.5)Ïðè çàïèñè (24.5) ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî äâèæåíèå ÷àñòèö ïî îñè Oy îòñóòñòâóåò.∂L x∂L x∂L z∂L z, Lz, Lxè Lzâ ñèëó èõ ìàëî∂x∂z∂x∂zÓ÷òåì äàëåå, ÷òî ÷ëåíàìè L xñòè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Òîãäàρ∂L x∂δp=−;∂t∂x∂L∂δpρ z =−.∂t∂z(24.6)Ýòè óðàâíåíèÿ äîïîëíèì óñëîâèåì íåñæèìàåìîñòè:∂L x ∂L z+= 0.∂x∂z(24.7)Óðàâíåíèÿ (24.6) è (24.7) ïðè çàäàííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ äàþò âîçìîæíîñòü ðàññ÷èòàòü Lz, Lx è δp è ïîëó÷èòü ðåøåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè æèäêîñòè,âêëþ÷àÿ äâèæåíèå åå ïîâåðõíîñòè.Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïåðâîå èç óðàâíåíèé (24.6) ïî õ, à âòîðîå ïî z:ρ∂ 2 δp∂ ∂L x=−;∂t ∂x∂x 2∂ 2 δp∂ ∂L zρ=− 2 .∂t ∂z∂z(24.8) ëåâûõ ÷àñòÿõ ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé èçìåíåí ïîðÿäîê äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.Ñëîæèì òåïåðü óðàâíåíèÿ (24.8).
Òîãäà ñ ó÷åòîì (24.7) ìîæåì çàïèñàòüρ⎛ ∂ 2 δp ∂ 2 δp ⎞∂ ⎛ ∂L x ∂L z ⎞+= −⎜ 2 +⎟ = 0.⎜⎟∂t ⎝ ∂x∂z ⎠∂z 2 ⎠⎝ ∂x(24.9)Óðàâíåíèå∂ 2 δp ∂ 2 δp+=0∂x 2∂z 2(24.10)ÿâëÿåòñÿ çíàìåíèòûì óðàâíåíèåì Ëàïëàñà, èñïîëüçóåìûì âî ìíîãèõ ðàçäåëàõôèçèêè. Ïîýòîìó åãî ðåøåíèå õîðîøî èçâåñòíî.Íà ïîâåðõíîñòè âîäîåìà ïðè z = 0 ãðàíè÷íûì óñëîâèåì ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî(24.4), à íà äíå ïðè z = H äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå Lz = 0, èç êîòîðîãî ñó÷åòîì âòîðîãî óðàâíåíèÿ (24.6) ïîëó÷àåì442∂δp∂z= 0.(24.11)z =HÏîäñòàâèì (24.3) â (24.10) è ó÷òåì, ÷òîâèä∂ 2 δp= −k 2 δp . Òîãäà (24.10) ïðèìåò∂x 2d2 f− k 2 f = 0.dz2(24.12)Èñïîëüçóÿ ïîäñòàíîâêó f (z) = Aeλz, ïîëó÷àåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèåλ − k2 = 0, îòêóäà λ1,2 = ±k, è îáùåå ðåøåíèå (24.12) ìîæåò áûòü çàïèñàíî ââèäå ôóíêöèè2f (z) = Aekz + Be−kz,(24.13)ïðè ýòîì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ f (z) ñëåäóþùèå:f (0 ) = 1;dfdz= 0.(24.14)z =HÏîäñòàâëÿÿ (24.13) â (24.14), ïîëó÷àåìA + B = 1;AekH(24.15)− Be −kH = 0.Îòñþäàf (z ) =ch ⎡⎣k ( z − H )⎤⎦ch (kH )(24.16),1 α(e + e −α ) ãèïåðáîëè÷åñêèé êîñèíóñ.
Ãðàôèê ôóíêöèè2f (z) èçîáðàæåí íà ðèñ. 24.2.Îïðåäåëèì òåïåðü âîëíîâîå ÷èñëî k, âõîäÿùåå â (24.1) è (24.3). Ýòî ìîæíîñäåëàòü, åñëè ñíà÷àëà èç (24.1) íàéòè âåðòèêàëüíîå óñêîðåíèå ÷àñòèöû íàïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Ïðè ýòîì íàäî ó÷åñòü, ÷òî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ Lzñîîòâåòñòâóþò óìåíüøåíèþ s :ãäå ôóíêöèÿ ch α =∂L z∂2s=− 2 =∂t∂t= s0 ω sin (ωt − kx ) = ω s ( x, t ) .2(24.17)2Ïîäñòàâèì (24.17) â ëåâóþ ÷àñòü âòîðîãîóðàâíåíèÿ (24.6), à ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ çàïèøåì, èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå (24.3).Òîãäà ïîëó÷èìρω2 s = −ρgsdfdzz =0= ρgsk th (kH ) . (24.18)Ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
