А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 9
Текст из файла (страница 9)
нх сумма А, + А, н произведение А,А, имеют общую систему собственных функпий Ц,): АДз=)з сз Асз=м йз 7, (А, + Ае) = 7. (.4,) + 7, (.4,) „ 7. (з1,А,) = 7. (А,) 7, (А,). 12) Гели А = А* > О, то оператор А ' = (А ')е > 0 также самосопряжеп, имеет те же собственные векторы, что и оператор А, и собственные значения й(А ') 1/7. (А ). В самом деле, иа Ас, 7,,у, следует йз ).зА 'нем т. е, (А-')й, (1/7.,)фм Отсюда заключаем, что неравеи- Ь !.
гззноопищ! ю !виппщ и !и опк! зтоапьж (20) где А — самосоиряжеиный положительный оператор. Пусть операторы А и В представлены соответственно матрииамн А = (ио), В = (Ьо) (г', ! = 1, 2, ..., Л!). Операторное уравнение (20) можно ааписать в виде система! ,щнейныя алгебраических уравнений у,,е ~,,!!з и,!!! --= р Ь„г, ! ==- 1, -,..., Д!', ! ! -! где ко!... „о"' — компоненты вектора и Для определе- ния собствеииык значений получаем алгебраическое урав- нение д!-й степени (1! ! (ао — рЬ„) = О, (2!) Для задачи (20) справедливы свойства, аналогичные свойствам обычной задачи иа собственные значения, а именно: существуют т! ортонормированнык в смысле скалярного произведения (х, у), собственнык вектороз (и!, гн,),.=-б„„, Ь, т=1, 2, ..., %, (22) которым соответствуээт собственные значения (23) 0<у,~...<рт, По аналогии с и.
3 имеем х .= ~ е! т!„е!, ==- (х, к!,) в, !=! к а-! (24) Гправедливы операторные неравенства р,В =А ~рзВ, (23) стза ).,Е =.А —:),,Е и (Ы.,)Е=.:А '=:-'(!Я,)Е зкзивалептиы. 4. Обобщенная задача на собственные значения. 1!усть задан самосоиряжеиный положительный оператор В, Введем новое скалярное произведение (х, у)е = (Вх, у) н иорз!у )ул, = У(Ву, у), 1!ростраиство В ео скалярным произведением (х, у)„называется эие!!лет!! !если.и пространство.ч и обозначаетси П,. Рассмотрим оообщеппу!о за;!зчу иа собственные згщчепня, состоящую в отыскании иетривиальнык решений и уравнения 46 Гл.
!. Рлзпостные уг.»внвнпя причем рл — норма оператора А в Ва. Ото значит, что 1А х)~, =- 1А))а1Ы)в. 3амечанпе. Перавепства ;,В«Л «7»В, (26) 7»«)г! -7», Ь=1, 2, ..., »У, (27) эквивалентны. В самом деле, разложпи пропзвольный вектор х.-= ~~ с„а»„найдем (А — 7В) х:.= ьз сь(р»,— 7) Впа !». -! !»=! и скалярное пропзведепне ((Л вЂ” уВ),т, х) .— ~~ с», (р», — у) (Вою гь) -=: х.» (р», — 7) сь, /» !»=-! где 7 — одно пз чисел 7, нлп 7», Полагая х =- п», найдем ИЛ вЂ” 7В)о„г,) = р» — 7. Пусть 7 — 7» и выли»ляско ус!»овне Л -7,В; тогда р„- 7».
Перш» и обратное утверждение. Аналогично проводятся рассугкдеппя прн 7 = 7». 5. Линейные пространства сеточных функций. Разностные операторы. 11 дальнейшем мы будем рассматривать фупкцпв, заданные »га сетке с Пелочпс;»епныпп узла мп: а»„=(0 »=О, 1, ..., М. Если па отрезке 0 «х -- ) ввести узлы х,—.-!)», Ь = 1/Ь! (»=О, 1, ..., »т'), то получим равномерную сетку с шагом Ь как совокупность узлов х,= »Ь с целочпслеппымп пндексаин: »о, = — (х, = »7!. ! = О, 1, „»»'; )», = 1/»!."), Перевод от одной сеткп к другой очовпдсп а мы часто не будем делать различия мс!кду пптш, Обозначим через 11,;„=(уь !'=О, 1, ..., % пространство сеточных фупьцпй, аадаппык па сетке ы,;, через 11л»» = (у», ! = О, 1, ..., Х; у,= О, у; = 0) — кодпространство сеточных фупкцнп, заданпык па ы., п обращал»- шихся в нуль в гранин»ыт узлах сетки !»»ь: у»=у =О.
а Функция пз 1), » будем обозначать уП) =!)„ Рассмотрим примеры простейших разностных операторов. Для оператора правой равности .1 имеем »Ьр» у,, — р„(=0, 1, ..., Ь! — 1; $ с плзпостчилп лл лвшсиия ~ лп оплел плвпьп' областью определения является 11лс о областью зиачоний — пространство 1)л. — (у с — О, 1,..., Л' — 1/ размерности /у. Для оператора левой разности т имеем ~у;=//,— у, о /=1, 2, ..., Л/; область определения есть 1),ы, область значений — пространство Й т = — (у, ( =- 1, 2,, Х) 11з формулы Л у;, = Л( Ъ//,—, ) = й( ~7 у,) = )/...
— 2//, + у~, и за1иппем ее в матричном виде: А У == Ф, (29) где Ф = (/, + а,ро /„.. „ /; ., /; —, + Ь,;,р,) — известный, У = (у„у,, у,, у,;,) — неизвестные векторы размерности Т вЂ” 1, .4 — квадратная треядиатональная матрица размера (Х вЂ” 1) Х (.Ъ вЂ” '1): /й ... 0 — с, Ь, ... 0 з з''' — с 1 а„ 0 ... 0 а, Сравнивая (28) и (29), видим, что можно написать Лу = — срь 1 = '1, 2, ..., Лс — 1, Лу, -с,у,+Ь,уь с(,=/,+а,р„ Лу~ Луь (р, /ь ('= 2, 3, ..., /У вЂ” 2, (28') Лув-, а,,у„-, — сл-,ул-„~рл —, /с--~ Р Ь вЂ”,р,. видно, что оператор второй разности определен Лля сеточиыл фуияций у, при /= 1, 2, ..., Л вЂ” 1, т. е.
отображает ()... в пространстве 1);, = (у„( = 1, 2, ..., /т' — 1). :)тим же свойством обладает разиостоый оператор Л: Лу,.= Ь;у;, — с;у, + а,у,, = = ЬЛ(ру ) — (Ь; — а )(т7у ) — (г, — а, — Ь )у„ / =-. 1., 2, ..., Л/ — 1, т. е. Лу, е: Йс о если у, ~ Й;,, плп, в сокращенной запн- О„, с)к 1'ассмотрим разиостную краевую задачу. Лу, = — /„ / — — 1, 2, ...., Т вЂ” 1, у. =- р„у, =- р, (28) гп. 1. Рьзностпык !'гхвнккия 4е 1'азностный оператор Л <пображает 1?а-< в Йх !.
Нетрудно заметить, что Лу,=Лу,. Вместо (28') получим о Лу,= — <р<, <=1, 2,, У вЂ” 1. Введем теперь оператор Л, соответствукпцпй матрице (29), полагая о Лу,= — Лу,= — Луч ! 1, 2, ..., % — 1, Тогда вместо рааностной краевой задачи (28) получим операторное уравнение Ау =<р, где Л: 1?х — Йх-«. р~ Й;,, т, е. оператор А действует пз Й;, в Й,, Очезп;<но, что А — лннейпый оператор. Заметны, что можно также считать (имея в воду, что Ау = — Лу), что А отображает 1?;,, в Йх, В пространстве Н = Й,, можно ввести скалярное произведение н-! 1 'Ч (у, г) = —.
~ у;г! -'=! и норму 1у" = У(у, у). Если рассматриваются вторая (х, х< 1) или третья (х,чь0, х, за 0) краевые задачи (см. (!) з 3). то матрица А есть квадратная матрвца размера (%+ 1) Х(?Р+1) и оператор А определяетсн следующим образоы: Ау; — Лу<=-(Ь,у<.« — с<у<л-ау, <), <=1, 2,, Х вЂ” 1, "1у< — (к<у< — у<).
Аух — (р<- — х.уч,). В зтоы случае оператор Л отображает пространство сеточных функций Н Йх., в себя: А: Н вЂ” Н. В дальнейшем мы будем рассыатривать первую краевую задачу для разностного уравнения второго порядка; в этом случае, каъ было покааано выше, Н Й; <. 6, Разностные формулы Грина. Рассмотрим разностпый оператор Х,: ЕУ< Ь,У„,— с,р,+ацп и 1-1...„М вЂ” 1. (30) Если Ь,~ а„„то соответствуюшая матрица не является $1 РЛЗНОСТНЫР УРАВНЕНИЯ КЛК ОПЕРЛТОРНЫЕ 49 симметричной.
Он» симметрична только в случае Ь! аоо 1=1, 2, ..., Х вЂ” 1. (31) Учитывая зто условие, перепишем Еу; в следующем виде: ДУ; У!~1 — У! у д= ь ь чу,. ут.= — = —, (33) Ь Ь у,„; = у-с„(0— уьь1 д (ту!) Разделим выражение (32) на )1* н получим разностный оператор Лу! = (ау-,)„,! — о1,у!, 1 1(! = —, (с! — а; — а; ..!), !' =- 1..., У вЂ” 1. (34) В з 1 была получена Формула суммирования по частям и-1 л ~ у,йг! = — ~д„г!7у! — ' (уг)к — (уг),, (35) Пользуясь обозначениями (33), перепишем ее в виде К вЂ” 1 к Х у г,! й = — Х г у;.„й+ (уг)л — (уг)а (36) ! !! !=1 К-1 И-1 И-1 !' Ду так как ~' у!йг; Д у!~ —,' ~Ь.
~' уи',!Ь. ф 1-9 !.=6 Для дальнейшего изложения нам удобнее в левой части (36) вести суммирование от 1 — 1 до !-У вЂ” 1; зто Еу1= а;.,у, ! — гу, +а у,, = а,,(уо., — у,) — и,(у! — у,,) — (с, — а, — ам,)у! а,е,!!у!„! — а!т!у, — (с; — а; — и,л,)у, Л(и,ту,) — (с; — а,— а,+,)уь (32) Разобьем отрезок (О, 1! точками х, на Ю равных частей, положим у(х,) = у! = уП) н введем обозначения, которыми будем в дальнейшем всюду пользоваться: ! й= —,, а!=!21,1=0,(,...,Л', х =О, хл=1, гп. !. Рхзностггыв тгхвпн!пи! 50 п)и!водит к Формуле н — ! н ~~~д у»гун»Ь = — ~~~ г»у-»Ь+ (уо)н — у,и!.
(37) »-! »=! Подставим сюда г; = а;г-„,; получим н — ! и ~ у;(аг-),Ь = — — ~ а;у;,,г- »1» ', (ауг-) . — уо(аг-),. 1 — ! »=-! (38) Вто — первая разностная форггуага 1')тна. Поменяем в пей местамп у! н га н ~ г; (ау-,) „»Ь = — ~~~~ а г-„,у-, . Ьг + (ау-г) т г, (ау-,), =.! »-! (38') Вычитая Г38') нз (38), получаем вторую рагностнуго форму.!у 1'рина н-! и — ! ~ у; (аг,-)„,Ь = ~~д г; (ау„-)„:Ь+ ах(уг;, — гуа)ч— г=! г=-! — (у, (аг-), — г, (ау„-,),).
(39) Если выполнены условия (40) Р о ° т. е, у у, г =гы Пяа н то в правов части равенства (39) два последних слагаемых обращаются в нуль и и — г, х-! у»(аг„-) г1г = ~. гг(ау-,)а Ь. (4() для разностного оператора а / а а а о Лу» (ау„)„< — »1»у», для всех у аи ()н+!. (43) н-! а о Вычитая из обеих частей тождества (41) сумму ~г»1»у»г»1»! ! ! о получаем вторую фарг»у»у Грина для у, =!и(гая г! ° о ' ! о Х у»Лг»Ь — а~ г»Лу»Ь (42) ! ! ! ! 3 с. РЛЗНОСРИЫГ. УРЛЗНКППЯ КЛК ОПЕРЛТОРНЫГ Ч( Пусть Н = П,, — пространство сеточных функций у„ ЗадаННЫХ Прн 1=1, 2, ..., 11' — 1, СО СКапярНЫМ ПрОИЗВЕ- деиием Л -1 (у, ) - 'Х уп ус с — 1 п нормой [(у.". = 1(у, у) Введем опоратор Р1: Лу= — Ау, у~», (44) Тогда вторую формулу Грина можно записать в виде (у, Лз) = (Ау, 1).
(43) ')та формула выражает свойство самосопряжеииостп опео о рзтора Л: А* =А и, следовательно, Л* = Л. При в = уев о жс)аос первая формула Грина (38) дает: и-1 л -- ~с у; ([ау-„),,)г -= ~ а,(11);,.) lг) О о — 1 с=- 1 ри усФО, а; О (48) о (так как уо = у; =- О, то равенство пулю возможно только прп у, = 0 П = 1, .. о 11' — 1)). Рс ьнтываи определение оператора Л, найдем л К -1 (АУ у) — - лг а, [у-1)л)г+ ~ сосу",й)0, а;- О, с)1= О. -'. 1 с=1 (47) Таким образом. ревностный огссрзтор Л, определенный формуламп [43), (441), является самосопряжеппым и положительным: А = Ло ) О, если а, О, с)1~0, 1=1, 2, ..., Дс- 1, сго-)0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
