А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 8
Текст из файла (страница 8)
= с, = О. Коли же най- дутся с„с,, св, ие все равные пулю, таяне, что имеет место равенство (1), то векторы хь ..., хн иааывают ли- нейно зависи.ными. Маг>с>гз>алщгое число (если оио су- ществует) линейно иезавасизиич векторов пикейного пространства Н называется рнзиерностью иростраиства Н. Пространство, обладагощее бесы>печным мш>жестком линейно иезависимыл векторов, называется бесконечно- мерныль Пространство Л называется но)>з>ироваггнь>м, если;щя каждого х ж Н определено вещественное число (гх!г, на- зываемое нормой, которое удовлетворяет ус:и>виям: 1) >гхИ ~ О при х~ О; 1х)г =-О, если х= О; 2) 1х+ д) ~ ггх)г+ г'гуг) (иеравеиство треун>льиика); 3) ((сх~(.— — )с( (>хг(, где с — число, Нвклидовым (соотвотствеиио унитарным) простраист.
пом называется копечиомериое действите:>ьиое линейное пространство Н (соответственно коиечиомериое комплекс- ное линейное иростраиство Н), в котором каждой паре векторов х, г> поставлеио в соответствие вещественное (комплексное) число (х, у), иазьгваемое скалярным нро- гщведением зтпх векторов, причем иьииюпеиы условия: В случае евкгщдова пространства: 1) (х, у) = (у, х) (гимггетричиость): 2) (х, -", хм у) .= (х„у) + (х„у) (дистрибутивиость): 3) (йх. у) = й(х, у) (одггг>)>од>гость), где ) — любое действительное число; й>) ес:ш .г т'- О, то (х, х) ) О, В случае упитариого простраиства: 1) (х.
у) ==- (у, х); 2) (х, + х>, у) = (х„у) + (хь у); 3) Ох, у) =й(х. у) для лгобого комплексного числа )л 4) если х ть О, то (х, х) ) О. Заметил>,чтовведе>г>гое скалярш>е произведение (х, у) порол<дает в Н норму ))х)) ) (х, х). (2) ГЛ. Г РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Справедливо неравенство 11огни — Буннковского ! (х, у) В = (х, .
) (у, у), которое с учетом (2) можно записать в виде ((х, у)! -. Их>' . (<уИ. 2. Динейнь>е операторы в конечномерном пространстве. 11усть Н вЂ” конечномерноо:>инейное пространство со скалярньгм ироизведением (.г, у). Обозначим через П некоторое иодирогтраиство //. Если каждому вектору х ю/) иоставлен В соответствие но опреде.генному правилу вектор у =Лх из //, то и>зорят, что в /I задан оператор А.
Множество // — // называет<н иолагтыо оп/>еде.гения оператора Л и обозначается //(Л ), Множество всех векторов вида у = Ах, х г= /)(Л) называется областью значений' оиератора Л и обозиачаегся Н(А). Если //(Л) = Н, то говорят, что оператор Л задан на П.
Оператор А называют линеиным, если он а) аддгпиВен, т. е. Л(х,+х<) =-Лг,+Ах, длн любых х,. х><НП; б) однороден, т. е. Л(гх) = сАх для любых хы П и любых чисел г. Требования «) и б) эквивалентны условии> Л(гтг, +г,г,) =-с,Л г, + г<ЛА, для любых х„х, <и П и лв>- бых чнсе.г г, и с, /(ггг>еггны>г оператор называется оериниченньг<г, если сунне<твует такая постоянная М )О, что Г~Лх(( М~!х1< для >нобых хы Н. (4) Точггая нижняя грань множества чисел М, удовлетворяю- и(их условгно (4<).
называется портной оператора А и обозначается ><ЛИ. Нсио, что ИЛхИ ( ~А<) '<хИ, (5) Мы будем всегда рассматривать ограниченные линейные оиераторьг Л, задан>гыс на Н с областью значений Н(т1)=— ы П. Такои оператор А отображает Н в П, что заиисывается в >игде А: П - П. В конечномериом пространстве:побой линейный оиератор ограничен.
Если кан<дому усе // со<>гветстяует только один вектор х <и Н, для которого Ах = у, то зтим соответствием оиределяетсн оператор А ', называемый обратным; А '. Н— П, Из определения обратного оператора А ' следует, что А '(Лх) х, Л(А 'у) у для любых х, у <иН, в '. Рлзност!Пзн увлннтсиия плн опГРлтогпыг. 4! Оператор П, действующий по правилу Пх = Л(Вх), иазгввается произведением операторов Л и В и обозначается П = АВ.
Оператор Е называется единичным (тождествепным), ес:т Ех = х для всех хш Н. Если существует А '. то Л 'А = ЛА ' = Е, Операторы А и В называются перестаповочны.ки, если ЛВ = ВА. Очевидно, что Л ' — линейный оператор, если липеен оператор А. Имеет место следующее утверягдение: Для того чтобы линейный оператор Л: Н вЂ” Н имел обратный, иеобнодимо и достаточно, чтобы уравнение Ах = О имело единственное регпение х = О. Оператор Ав: П Н называется сопряженныл~ оператору А: П вЂ” Н, если (Лх, у) = (х, Л*у) для любыт х, у ы Н. Оператор Л свмосонряжвн (симметричен), если А =Лв (или (Ах, у) = (х, Ау) для люоых х, у ш П).
Будем называть линейный оператор Л: положительным, если (»!х, х) > 0 (х ы П; х Ф О); положительно определенным, если (Ах. х) ~ Изх'Р (» ~н П), где б > 0 — число; пеотрпцательпы.ч, если (.4х, х) ~ 0 (хы И), Любой оператор Л мокино представить в виде суммы: ,4 = Лв -',- Л,, Лв = —, (.4 -'- .4"), Л, -=.
—,, (Л вЂ” А*), где А, = Ав — самосоирягиенный оператор, Л, = — А,— кососимметричный оператор, для которого в действительном пространстве (А,х, х) = — (х, Л,х) =- — (л(,х, х) н, следовательно, (Л,х, х) = О. 1!озтому для любого оператора Л в действительном пространстве П выполняется равенство (Ах, х) =1Л„,т, х) для лк1быя х ~Б П, (6) Е!ы будем пользоваться операторными неравенства»и; А >О, если (Лх, х) >О, для веет ты П; А >О, если (Лх, х)>0, для всея.гыИ, х~О; (у) А > ЕЕ, если (4»', .т) > Их!', для всея х ~и Н, где Š— едпни иптй оператор. 11еравепство ВР аЛ означает, что выполнено условие  — аА > О, т.
е. (( — аА)х, х) > О (для всея хш П). гл. г. галио лпыг. гвлвпгпип имеет потрпииальпые решения (собствснныс векторы). Приве;(ем основные факты из линейной алгебры о задаче на гобствеипые значения. 1) (:амосопряжеииый оператор Л имеет Я! ортоиормиРоваппых собственных вектоРов ьо „-н ..., е«; !1, «=- лм (Вэ, $и) =- б.ч~, бнв — —— (О, «Фт. (0) 2) Соответствующие собственные значения действительны и могут быть расположены в порядке возрастания их абсолютных величин: 0«!Я.,! -- !Я„' «....: 'Я,т!. (10) 3) Если Л вЂ” положителшисй оператор. то все собственные числа (Я.,) положительны; 0 «Я, «Я..-:, .
- Л«. (11) В самом деле, Я, (Льч З )Я1" 1 = (АЕ ° $ч) >О. так как в. чь О, 4) Произвольный вектор х — Я! можно разложить по собственным векторам оператора Л = А*: х ~ сД«, св =- (х,$«). «-1 (12) Если Л ть Лв и лейстшыолшнми проев раиствс, то неравенство А >О (А >0) зквивалептпо неравенству А«~0 (А, > 0), что следует пз (6). Пусть Л вЂ” полоткительиый оператор. Тогда су|цествует обратный оператор Л-': Я! - Я), причем А ' = 0 при А > О, (А ')в = Л ' ирп Л* =-Л.
В самом деле, оператор А ' существует, ес:ш уравнение Лх — 0 имеет только тривиальное решение. Допустим, что Лх = О ири х чв 0; тогда 0= (Ах, х) при хФ О, что противоречит условшо А >0 пли (Лх, и) >0 прп хФО. Такии образом, если А > О, то уравнение Лх = р имеет единственное решение, 3. Собственные значении линейного оператора. Пусть А — самосопрнжепиый оператор в !т'-нерио«1 пространстве П со скалярным произведением (,).
!'ассмотрим задачу о собственных эначсни«х оператора Л: требуется найти такие значения параметра Л (собстввнныв значения), при которых однородное уравнение Л: — — Я."- (3) е 1. Рлзностные углапения клк опгглтогныг 43 причем справедливо равенство );,г,!1 — —, с1,, »-1 (13) !3 самом деле, а силу условия (У) ортоиормпрованпостп систеыы (Е„) имеем ;,'х!)! =- (х, х) = ~» сД», ~', с1, г-1, '!»=.1»'=-1 ~! с1,с» Я»! $» ) -.= ~, М я ~~ с1,с» б»» = ~~ с„.
»-1»'=-1 5) Если А = А» - О, то решение можно представить в виде ь (» » — 1 уравнения Лх =-! (14) где (, = — (), ч„) — коэффициент Фурье функции !. Восиог!ьэуемся представлениями х == „~ сД», !:: — (1„1, »..! ' » - ! и напишем О == Ах — ! =- ~„' ()'» г1, — !» ) ть1, . 1'- ! В са»и!м деле, по:пэу~сь (12), получ! и т я ~1 У е Лх - - с»А$„-: ь» ).1,с»,-,», »- 1 »=.1 и в силу (10) и (13) имеем !)Ах",1==,.', ).!!с1,(),,-'т '., г!-', »'-, ),1,,!1, у »=! 1..-1 т.
е. )!А ! ~ !).а!. Эта оценка достигается, Действн- Умпоькая это равенство скалярпо иа с„!! учитывая, что (ь», $» ) =-6»», найдем О = ).»с» - - гы т. е, с„= (1/).1, О) !1орма саыосопряькеппого оператора Л равна моду;по его наибольшего собствеппого зпачепия; !! Л:! -: — Птат ! ),1, (: ! Хл !. (1 5) !.'» Х гл. ь гхзностнык ж знпншн тельно, прн х = й,; имеем !(Ах!Р = !!Афх(Р = (!),ле,1з !йл!', так как !:с,;Р = 1. Отсюда и следует, что ((А(! = )7,-!. 7) Если А =Аз, то (! А !! == но р ( (А.г, х) (.
гв!=-з 8) Гслп А = А* > О, то ).,Е -- =А < 7,, Е, илп л,!!х'.Р~(Лх, х) «7„,.(!х!', 8,>0, х~иП, (17) [10) 9) Если оператор Л положителен, то он и положитель- но определен, т. е. существует такая постоянная б>0, что из условия А > 0 следует неравенство А» ЬЕ, Для самосопряженпого оператора зто свойство следует из свойства 8).
В общем случае представим А н виде сум- мы А А,+А,, где Аз = — А„'> О, А, =- — А, — кососим- метричеснпй оператор. Так как (А,х, х) = О, то (Ах, х) = (А,х, х) > О. Для А„верно свойство 8). Полагая Х, = =7.,(А„) б >О, получаем (А„х, х) = (.4х, х)» Ы:)!' для всех х~//, 10) Гели существует (7 ', то операторные неранепства С>0, ()*СД» 0 (18) вквивалектны. Это следует пз тождества (()*С()х, х) = (С()х, 1)х) (Су, у), где у = ()х, х — (7 ' у. 17!) Пусть А, н А. — самосопряжепные, пологкптельные и нерестаноночные операторы в П: А, — А,'>О .4„— А', >О А,А, -- А,Л, (19) Тогда операторы А, п А .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
