А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Лннейпое уравнение относительно соточкой функции у, = у(>) И =- О, ~1, ~2, ...) а„(йу(й + а(>) уП+ 1) +... + а„,(>)у(( т >и) = ((й, ()) где а„(й (к =-О, 1, ..., т), ((>) — задвинью сеточные функ- ции, а„П) Ф О, а (й з О, называется ланейныьч рагностнь>з> уровне>гаева т->о порядка. Оно содержит >и+1 значений фугпп>ии у(й.
Лользуясь формуламн для рааностей Лу>, Л уь ..., Л"' 'уь можт>о выразить значения у,.„у;....., у.„.> через у, и указанные разности: у>„= у, + Луь у,«> = = Л'у,+ 2у«ы — у, = Л'у,+ 2Лу;+ у> и т. д. В результате нз (1) получим новую запись рагностного уравнения >и-го порядка: а,(йу,+а>Ь)Лу, +... + с«(>)Л у, — 1(й, 1 = О, ' 1, с 2, ...
(2) (чем и объясняется термпн «разиостпое уравнение«). Ес- ли коэффициенты а„а„..., а., не зависят от >, а, Ф 0 и а ФО, то (1) нааывается линейным разпостпым уравне- нием т-го порядка с постоянньип> коэф>ри>(иентаз>и. 11рп >и 1 из (1) получаем разноспюе уравнение пер- вого порядка аЯ)у>+ а>(()у>«> = ((>) ао(>) ~ О, а~(й ть О, (3) прп >и = 2 — разностное уравнение второго порядка а„(йу, + а,(йуь„, + а«Ойу>«, =1(й, а„(() Ф О, ае(() т= О, Ыы ограничимся изучением рааностных уравнений первого н второго порядков. 2.
Уравнения первого порядка. Рассмотрим разностпоо уравнение первого порядка (3). Подставляя у>ы=у>+Лу„ получим а (>)у>+ а~И)Лу; 1((), а, а«+ а,. 3 х Рлэссостныг! УРлвнгпия 27 Простейшими примерами разностных уравнений первого порядка могут служить уравнения для членов арифметической прогрессии уоы = ус+ с( н геометрической прогРессип Усо! = ЧУо Запишем уравнение (3) в впде У ы = Ч Ус+ сс"с! (Я где Ч! = — а„(с)са,(с), ср, = )(Нуа,(Н.
Отсюда видно, что решение у(Н определено однозначно при с) с'„если задано эпачеппе у(со). Пусть прн с = О задано у, = у(О). Тогда можно определить у„у„..., у„... Последовательно исключая ус, у,-„..., у, по формуле (4), получим У!о! = Ч Чс-! . Чссун + сс + Ч сгс-! + Ч Чс-сЧ' -! +... ° ° + Ч Чс-! ° Чссуо с!ли У с! = с(П Чо)! Уо-ь 2с ~ П Чс~)с сто+ ср (!) с!=-о о=-о сз ао! Для уравнения с постоянным коэффициентом Чс= Ч отсюда получаем у,+, = Ч'+'уо -,'- ~ Ч' "с(о, с =. О, 1, 2, ° ° ° ! (6) !=о т. е. решение разпостпого уравпешся (с!) с постоянными коэффициентами. 3. Неравенства первого порядка.
Если в выражениях чипа (1) или (2) анан равенства заменить знаками неравенства <, >, <, ~, то получим ревностные неравенства ш-го порядка. Пусть депо разпостпое неравенство первого порядка уо! -Чу!+)о с= — О, 1, 2, ..., Ч~О; (7) пе ограничивая общности, далее всегда считаем Ч ) О (у„Ч, сс известны), Найдем его решение. Пусть ос — решение разностного уравнения ос+с =Чос+Л, с=О, 1,, ос=У!. (8) Тогда справедлива оценка ус ~з П!. (9) В самом деле, вычитая (8) пэ (7), находим Уаы — ос+,<Ч(Ус — гс) <Ч'(Ус ! — Ус,) < " ! с.! -~ Ч (Уо — по) — С-) гл. 1. г«зностныв гв«внхння Подставив в (9) явное выражение для иь получим (-1 у(~~друз+ ~Х Ч' 1 «1~гг 1= 0.1 2,, (10) «=о — решение неравенства (7).
4. Уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим разностнос уравнение второго порядка . ЬУ1ог — су,+ау,,=)„1=0, 1„..., аФО, ЬФО, (11) коэффициенты которого пе зависят от 1. Если )1= 0, то уравнение (12) Ьу„,— су,+ау,,=О, 1=0, 1, называется сднороднььм. Его решение моя(ет быть най- дено в явном виде. Пусть у, — решение однородного уравнения (12), Ф У; — какое-:шбо решение неоднородного уравнения (11). Тогда их су«(ма у( =- у;+ у; также является решением неоднородного уравнения) Ь (у е, + у;) — с(у;+ у;) + а(у;, + у;,) = Г - ", — 1 Г э * О = (Ьу(«1 — су; + ау;,1+ (Ьу(е( — су; + ау;,1 = 1(. Вто свойство — следствие линейности уравнения (11); оно сохраняет силу для разпостпого уравнения (1) любого по- рядка.
Очевидно„что если у, является решением однород- ного уравнения (12), то и суо где с — произвольная посто- янная, также удовлетворяет этому уравнению. Пусть у(') и у(1') — два решения уравненкя (12). Овп называются линейно иеаасисио(ы.ни, если равенство су",)+су,')=О, 1=0,1,2,..., (1) (О) ваемо)кно только при с, = с, О. Это эквивалентно требованию, что определитель системы (1] (О) с,у; + с,у( = О, с(У~-йв т соу(+и = 01 и) = ~1, ~ 2, ...
1 (1) отличен от нуля для всех 1, т. В частности, э(1) э(О) Э( Э( ~1 ь«1 (М (о) З((-1 Эь«1 з з гззностные знавнвння Так же, как п в теории дифференциальных уравнений, можно ввести понятие общего решения разностного уравнения (12) и показать, что если решения У;, У, линей(» ()) но независимы, то общее решение уравнения (12) имеет вид И) (г) у( = с,у( + с,у; , с — ' )г сс — 4сЬ с — У с — 4аз йс ' У зз В зависимости от значений дпскриминанта Р = с' — 4аб возможны три случая: 1) Р= с' — 4аб) О. Корни сг п д, действительны и различны.
Им соответствуют частные решения (1) ь (2) з Уь =- ((г Уь = Уг' зти решения линейно независимы, так как отличен от нуля определителгк й йзг~ г г Ь,,х+г = '„"„.,~~= угу)(у, у,) ~О. иг чз' Заметим, что дг т=О я ((гФО, иначе а =О п уравнение (12) ке является разпостным уравнением второго порядка. Оо(цее решение уравнения (12) имеет впд уг = сг(), + с,с„. (15) 2) Р = с' — 4аб ~ О. Квадратное уравнение имеет комплексно-сопряженные корал с -! ( )г'(Р') у 2ь с — ( (гг)Р) Дг = где с, и с,— произвольные постоянные.
Общее решение неоднородного уравнения ('11) можно представить з виде у; = с,у; + с,у( + у(, (г) (г) (13) где у; — какое-либо (частное) решение уравпения (11). Для определения с( и с„как и в случае дифференциальных уравнений, надо задать дополнительные условия— начальные нлп краевые. Частное решение уравнения (12) можно найти в явном виде. Будем искать его в виде у(= 4г~, где с чьΠ— неизвестное пока число. После подстановки ус=а' в (12) получим кзадратпое уравнение Ьсг — сд+а =О, имеющее корни гл.
т. г»зностньш гг»внкния где ( — мнимая единица. Эти корни удобно представить в виде дг '= ре 'т, р = р( (, (р = агс(в —. )('( () ) д, = ре'т, Частными решекиямн являются пе только функции д" ,= р»е'»т =..р» (сов Ьр + ( вш )(ф), д"., = р»е-ит = р» (сов Ьр — (гбн Ьф), но и функции у» = р" сов )((р, у(, —— р» гбн Ьр, которые линейно независимы в силу линейной независимости функций в(нйф и сов йф.
Общее решение имеет вид у, = р'(с, сов й(р + с, ьбн йф). (16) 3) б = с' — 4аЬ = О. Корни действительны и равны: д, = д2 = с/(2Ь) = д,. Линейно независимыми являются решения (1)» (2)» у» = д» у» = )(до (17) Покажем, что у» есть решение уравнения (12); (2) Ьу».) 2 — су((2)+ ау(»") ( —— Ь (й + 1) д»2»2 — с)(д» + а(й — 1) д» = й (Ьдо~ — сд» + ад» ') + (Ьд» вЂ” а) д» = О с 0 так как Ьдт — а = Ь вЂ”.
— а = — .= О. Поскольку 4» (»»»т( —— - ', ', — — д»2~+' ~ О, то решения (17) »(+()о линейно независнмы, н общее решение имеет вид » у» = с(д» + с»)(д». у» = в(н йаь (2) У» —.— сов йа, 5. Примеры. Рассмотрим примеры решония разностпых уравнений второго парилка (11). 1. Найти общее решение уравнения у„, — 2ру, + у„, О, а = Ь 1, с = 2р ) О. Возмшкны три случая. 1) р(1. Положим р сова; тогда 1) = 4(сов' а — 1) = — 4 в(н2 а ~ О.
Частные решения имеют вид 5 к Рлвностнын твлвнення 2) р ) 1. Полагая р ей я, получим для о квадратное уравнение <)! — 2 ей а<)+ 1 = 0; его днскрпмкпапт равен 1) =4(с)<''<т — 1) = 4 в)<*<т, а корни Умеют вид о, ° = = с)< а ~ ей а = е-'. Частными решекпямп являются функции уьп<= сй)и, у~м<= ей)<с<. 3) У=1. В атом случае о' — 2<)+1=0, <)с! 1, част- <1! <ю пые решения имеют впд уь =1, уь' =)с,а общее решение имеет вид у, = с, + с й. 2. Найти решение уравнения У,е, — у<~, — 2у, = О. Дискримикант равен 1) = 1+ 8 =9, корнямн будут (<с<= =(1~3)/2, у!=2, у,= — 1. Обп<ее решение имеет вид у, = с,2" + с,( — 1)".
3. Найти общее реп<ение уравнения — о! <! У<<-! У! 6У<-< = 2 (18) Общее решение неоднородного уравнения есть сумма уа = = у«+ у« общего решения у, однородного уравнения н частного решения уа неоднородного уравнения. Найдем сначала общее регаекне однородного уравнения.
Дкскрнминант равен б 1+ 24 = 25 ) О, и корни квадратного уравнения <)' — <) — 6 =0 равны <)! = 3, <)! — 2, так что («по а с В уа = 3ь, уь' = ( — 2)", Частное решение уь будем искать в виде уь = с2а, где с = сопв$. Подставляя уь =- с2" в (18). получим с(2"+' — 2' — 6 ° 2" ') = с ° 2' '( — 4) =2<<<, с = — 1.
Об<дев решение уравнения (18) имеет вид у! — с< ' 3" + с<( — 2) — 2 . 6. Разиостное уравнение кторого порядка с переменными козффициеитамн. Задача Коши и краевая задача. Рассмотрим теперь разностное уравнение с переменнымп козффициентами Ь,у<„.! — с<у<+а,у<,=)<, а<тьО, Ь,чьО, <=О, 1, 2, ... (19) гл.
ь Рхзностныг квэвнвния Так как Ь, т'-" О„то яз (19) получаем следующее рекуррент- ное соотношение: (20) Выразим уи, и у,, через у, и разностл первого и второго порядков. Тогда уравнение (19) перепишется в виде Фуу;+(Ь,— а~)ЛУ,— (с; — а,— Ь)У,=Д, а;аьО, Ь,чьО, Решение разностного уравнения первого порядка зависит от одной произвольной постоянной и определяется однозначно, если задано одно дополнительное условие, например, у, = с,. Решение уравнения второго порядка определяется двумя произвольными постоянными п может быть найдено, если заданы два дополнительных условия. Если оба условия заданы в двух соседних точках, то зто задача Коши.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
