А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Основные понятия теории разностных схем: погрешность аппроксимации, устойчивость, сходимость и точность излагаются па примерах краевых задач и задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (гл. 1Ч н гл. Ч). В главе 1Ч изучаются трехточечные разностные схемы для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка а! аит — ()с(х) — ) — д(х) и = — ) (х), 0(х(1, и(0) = и„и(1) = и„й(х))0, д(х)~)0.
(7) Исследованы вопросы о скорости сходнмостн (о порядке точности) однородных разпостных схем на неравномерных сетках и для случая разрывных коэффициентов. Это потребовало получения весьма тонких априорных оценок, выражающих устойчивость разностной схемы по правой части. Для получения разностпых схем могут быть испольаованы рааличные методы — интегроинтерполяцпопный метод, метод аппроксимации квадратичного функционала, методы Ритца и Галеркнна (3 5, гл.
1Ч). Для решения вадачи Коши для уравнения первого порядка —, =- )'(1„и), 1>0, и(О) = иа (8) 2« вввдвнив применяются методы Рунге — Кутта и Лдамса, изложенные в главе Ч. Эти погоды применимы и для системы уравнений, когда 1, и — векторы. Особое место в главе Ч занимает задача Коши для системы линейных уравнений — "+ Ли= 1(1), «)О, и(0) = и, (9) где Л = (аы) — квадратная матрица )Ч Х )Ч, и(г) = (и', и', ..., и'), 1(Г) = (/', )', ..., /л) — вектор-функции размерности )Ч.
Такая задача, в частности, возникает, если в уравнении теплопроводяостп з« з« вЂ” = йи + 1(х, 1), йи = — + —, х = (хм л«) (10) заменить оператор Лапласа йи соответствующим разностным оператором. Тогда (9) можно трактовать как метод прямых для уравнения теплопроводпости (10).
Используя для решения этой задачи какую-либо одношаговую схему, мы приходим к двухслойной операторпо-разностной схеме общего вида, которая записывается в канонической форме л — у, В + Ау« = «рю й =- О, 1,..., для всех у«ен Нк, (и) где А, В; На — Н« — линейные операторы, т — шаг сетки по П Доказано, что необходкмое и достаточное условие устойчивости схемы пмеет впд В )-.— Л нлн (Лх,х) ~ — ', (Лх, л)для любых хан Ни.
(12) Это — основная теорема общей теории устойчивости операторно-ревностных схем (ср. А. А. Самарский «Теория разностных схема), пригодная для исследования устойчивости разностных схем для уравнений с частными производными математической фязнкн (см. гл. Ч11). «Рант««- чески, в 1 4 изложены основы общей теории устойчивости разностных схем, включая н аснмптотическую устойчивость. ввкдкннв Сведения, полученные в главах 1П вЂ” У, позволяют без труда перейти к пзучепню теорип разпостпых методов решения уравнеппй в частных производных. В главе У1 такое изучение проведено для разностяых схем, аипрокснмирующпх уравнение Пуассона и эллппт~чоскпо уравнения в прямоугольнике с краевымк условнямн первого рода.
Здесь рассмотрены как вопросы сходпмости, так и методы решения разкостных уравнений. Наличие общей теорпп устойчивости двухслойных разностных схем (гл. 7) упрощает пзлоя'енпе разпостпых методов для уравпенпя теплопроводностп с постояпнымп и переменными коэффнциентамп, проведенное в главе У11. Здесь рассматривазотся также экономичные схемы (переменных направлений, расщеплеявя п т. д.) для многомерных задач, а также общий прпицни суммарной аппроксимации, который позволяет проводнть расщепленпе сложяых задач на последовательность более простых н существенно упрощать решение многомерных задач математической физики, Следует отметить, что основное содержанке книги излагается с единой точки зрения. Едпнство достигается за счет трактовки разностных схем как операторных пли операторно-разностпых уравнений с операторами, действующими в конечномерном пространстве со скалярным произведением, Прк построении теории нтерапиовных методов и теорки устойчивости разностпых схем попользуются простейшие свойства операторов (матриц): знакоопределенность, самосопряязенность, некоторые свойства собственных вначеяий и собственных векторов; никаких предположений о структуре операторов прн этом пе делается.
Все условия творил оказались очень удобными для проверки в случае конкретных рааностпых схем, Материал глав К1 и Ч11 может служить основой для изучения более полной теории ко книгам 16, 91. Глава 1 РАЗНОСТНЫЕ УРАВНГННЯ В этой главе изучаются сеточные функцпп пелочнслекпого аргумента и разпостные уравнения второго порядка. Излагается простейшей математнческпй аппарат длн пзугения сеточных функций и ревностных операторов. Для решения ревностных уравнений второго порядка применяется метод лсключепня, называемый методом прогонки, й 1.
Сеточные функции 1. Сеточные функции и действия над нимк. Как уже упоминалось, в прпблпженных методах обычно фупкцнп непрерывного аргумента заменнготся фуннпнямп дискретного аргумента — сеточными функциями, Сеточную функцию монпго рассматривать как функцию целочисленного аргумента; УН)=уь 1=0, ~1, ~2. Для у(Н можно ввестп операция, являющиеся дпскреттнвм (разпостпым) аналогом операций дпфференцпровання и ннтегрнроваппя.
Аналогом первой пропзводной явля|отея разместя нер ваго порядки: Лу' = Увев — У; — правая разность; ЧУ =-' Уг — У~-в — левая равность; 1 1 бу' =- 2 (ЛУ1 + ру') = ~ (У вг — у'. Л— г(ентраяьная равность; прн этом легко заметнтть что Лу, =ру,.ь Далее можно паппсать разности второго порядка: Л у,=Л(ЛУ) =Л(уьо — у) =-=у,,— 2у„,+уь Лру, Л(у, у ) (у..., у) (у, =-у;,— 2У;+у; „ так что Лу =ЛЧую гл. 1. РАзностные уРАВнения Апалогичпо определяется разность т-го порядка: Л" У,=Л(Л--'у,), содержащая значения у„у,~ь..., Ум . Очевидно, что Х ЛУ> = У~Р1 — УА~ 1 Ууо = Уо — У1-1. о-о 1= 2. Разностные аналоги формул дифференцирования произведения и интегрирования по частям. Пусть уь о,— произвольные фупьцпн целочисленпого аргумента.
Тогда справедливы формулы Л(удч) = У,ЛВВ+ 1Ч,.~ЛУ, у~.~ло, + ВВЛУ„(1) р(угоо) у;,рг,+ п,тту,= у;реп+ по,дуь (2) которые проверяются иепосредствсппо. Например, л(уои,) — уо1,го„— у,оч; уйу~+ оо Лу1 = у'(гы1 о ) + гы1(у~о~ у ) = = уж~уы1 удч = Л(у,т,). При выводе формулы для У(у,п,) достаточно учесть, что П(у,ио) = Л(у,,г,,). Формулы (1), (2) представляют собой аналоги формулы дифференцирования произведепия (УЬ)г(х)) =уи + + оу', Аналогом формулы иитегрировапкя по частям является формула суммировапяя по частям: и-1 я Х УЛ = — ~ Чуо+(Уо). — (Уг) (2) 1=о которую записывают также в виде и-1 Х-1 ~ Уолг1 — — 2~ Уоруо+ Уя- гя — Уог1 ('1) 1-1 1-1 Для вывода формулы (3) воспользуемся формулой (1); имеем УоЛГ Л(УРо) — Р ЛУ1 Л(УР) — Г 7У 6 1, СЕТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ поскольку 11у, =-ру,„,; отсюда получаем Н-1 1 УАУ1+ ~~' У17У1 = о=о о=1 К-1 Я-1 я = 2.
(1(уао) — Х о1о17У1-:-1+ Х 1'17У .—— .-о о=о 1=1 н я = уяон — у,о, — Х О1ру + Х ОЛу = (уо), — (уо) 1=1 1 1 Н вЂ” 1 я Если уо — -О, уя .—.- О, то ~о у1ЬО; =- —. ~ 1:11УУ1. 1 —.о 1=.1 ((1ормулу суммнрования по частям моя;но испольаовать для вычисления сумм.
я Примеры. 1. Вычнслить сумму Яя =. ~~12 ° Поло1=1 лонм и1 1,1/у;=2', так что уо у;,+2'=у,+~~2 =у,+2' ' — 2. 'Ю О1 о.~-1 1=-1 Выберем у, = 2 — 2ое', тогда у„- О. Так как но = О, Ьи, = 1, то из (3) следует М Ю-1 Я вЂ” 1 Ям = ~ 1~ГУ1= — ~ УАУ1 =- — 2~ Уо = 1.=1 о=о о=о Н вЂ” 1 =- — Дг(у, — 2) — ~ 21+' = Л'2'"~' — (2'"' — 2), 1=-0 так что 8о (111 — 1)2'+'+ 2. я Н вЂ” 1 2. Вычпслнть Яя = ~ 1 (1 — 1) = ~~~ 1(1+ 1). Положим 1=1 1==! у~ = 1, У о, = 1+ 1.
Тогда о.,~ = о, + (1+ 1) = о1+ (2+ 3+... ... + (1+ 1)) (о, — 1) + (1+ 1)(1+ 2)/2, и1 о1 — 1+ 1Х Х ((+ 1)/2. Выберем и, на условия он =О, т. е. О1= 1— — 11'(М+ 1)/2. Применяя формулу (3) и учитывая, что уо — О, ~ъ - О, )/уо = 1, находим Н вЂ” 1 Я вЂ” 1 н Я вЂ” 1 Бн =-,Е ((1 + 1) = 2о У1ЛО1 = —.2) УГУ1 = — Х У1 = 1 1 1=О 1-1 1=1 =- - (/у - 1) (о1- 1) — 2,'~'„1(1+ 1)- 1=1 1 о (/У вЂ” 1) Л' (Л' + 1) он+ 2 2 гл.т.назпостнык гвавпгпкя > так что Бк- . —. (У вЂ” 1) «>(Л>+1) Отс>ода следует, чзо к 2(в= 1«+2«-,ь .. -р рре= 5„-,'-Х(=- ст(тс 1)>2Л 11. «г Г «=ч й 2. Разноетиые уравнения 1. Разностные уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
