А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Автор стремился сделать изложение доступным для первого чтения, обращая внимание на основные понятия теории численных методов и иллюстрируя их простейшими примерами. В настоящее время при численном решении многих задач физики и техники, описываемых уравнениями математической физики, используется метод конечных разностей. Основные понятия теории разностных методов 1аппроксимация, устойчивость, сходимость) мы иллюстрируем на примерах разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений. При аппроксимации дифференциальных уравнений получаются разностные уравнения, представляющие собой системы линейных уравнений высокого порядка с матрицами специального типа 1имеющими много нулевых элементов), например, трехдиагональными.

Важную роль играет выбор эффективных методов (прямых и итерационных) решения таких систем. В связи с этим в книге излагаются основы общей теории итерационных методов. Большое внимание уделено вопросу устойчивости вычислений на электронных вычислительных машинах. В главе Ч дано простое изложение теории устойчивости задачи Коши для системы разност-ных уравнений первого порядка. Здесь получены совпадающие необходимые и достаточные условия устойчивости разностных схем, а также исследована асимптотическая устойчивость разностных схем.

В последних двух главах книги (главы Ч1 и ЧП) рассматриваются разностные методы решения эллиптических уравнений и уравнения теплопроводности. Эти главы являются дополнительными и позволяют осуществить переход к теории разностных схем для уравнений с частными производными. Колее полное изложение отдельных разделов численных методов можно найти в книгах: Самарский А.

А. Теория разностных схем.— М.: Наука, 1977; Самарский Л. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений.— М.: Наука, 1978, а также в пособиях, список которых приведен в конце книги. Книга рассчитана па студентов младших курсов, специализирующихся по прикладной математике и математической физике; она может оказаться полезной также для аспирантов и научных сотрудников, изучающих численные методы.

Автор пользуется возможностью выразить глубокую благодарность Л. В. Гулипу, прочитавшему рукопись и сделавшему ряд ценных замечаний, Е. С. Николаеву, оказавшему помощь при написании дополнения, а также М. И. Бакировой и Н. П. Савенковой за помощь в процессе работы над книгой и при подготовке ее к печати. А. Л Самарский ввкдкник Появление п попрерывпое совершенствование быстродействующих электронных вычислительных машин (Э))М) привело к подзшппо революционному прсооразовапию пауки вообще и матемапп'н в особенности.

Изменилась ~этнология научных исследовашш, колоссально увслпчп:шсь возможности теоретического изучения, прогноза с:гожпых процессов, проектирования инженерных консгрукцпй. Решоппе крупных научно-технических проблем, примерзни которых могут служить проолемы овладения ядерной энергией гг освоения космоса, стало возможным лишь благодари применению математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для ЭВМ. Первая крупная проблема — овладение ядерной энергией — требует решения комплекса сложных задач фпзпкн и механики (управление работой реактора, использование энергии деления ядер урана, защита от проникающего излучения, охлаж;[ение стенок реактора, изучение тепловых полей п упругих напряжений в степ.

ках, решение многих чругнх задач). Все этп задач~ необходимо решать до начала работы реактора, используя для пнх математическое описание (модель) и проводя численные расчеты па ЗВУК Вторая ъруппая проблезш — освоение космоса — связана с созданием летатсльнтах аппаратов п решением для пнх многих задач аэродппамш:к п баллистики (папрг|мер, расчет движения ракеты и управление ее полетом), Здесь также имеется комплекс сложных задач механкки, фнзпкн и техш1кп, которые могут быть решены только с использованием численных методов. Укажем еще одну проблему, стоящую перед человечеством,— поиск новых источников эперпиг, Один пз основных проектов получения энергии — -использование реакции управляемого термоядерного синтеза ядер дейтерия и трития.

Запасы термоядерного горючего на Земле ввкдгциг. практически неисчерпаемы, а продукты реакции ке загрязпяют среду. Однако термоядерная реакция пачппается только прп экстремальных условиях — прп высокой температуре (порядка десятка и сотпп миллионов градусов) и огромном сжатии (в тысячи раз) дейтерия и трития; кроме того, требуется удержать горючее вещество в этом состоянии в течение времени, достаточпого для развития реакции горения (синтеза). Создание таких условий — пока еще перешеиная научно-техническая проблема. Существует несколько проектов нагрева, сжатия и удержания термоядерного горзочего (плазмы).

Прп их реализации возникает мпого вопросов, которые надо решать до начала проектирования даже экспериментальных установок. Пеооходимо зтрезкдо всего изучить поведение плазмы при высоких температурах и плотностях, в магнитных полях и выяснить условзт, при которых возможна сама реакция терпоядерлого сиптеза. Такие исследования проводятся па основе математического описания (математической модели) физических процессов и последлощего решения соответствующих математических задач на ЭВМ при помощи вычпслптельпых алгоритмов. В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложпых процессов, допускающих математическое оппсапие,— вычислительный эксперимент, т.

е. псслеловакпе естественнонаучных проблем средствамп вычислительной математики. Поясним существо этого способа последования па примере решения какой-либо физической проблемы, Пусть требуется изучить некоторый физический процесс, Математическому псследоваипю предшествует выбор физического приолпженпя, т.

е. решение вопроса о том, какие факторзв кадо учесть, а какими можпо пренебречь, Посты этого проводится исследоваппе проблемы методом вычислительного эксперпмепта, в котором можно выделить несколько основных этапов. На первом этапе проводится выбор математической мо.

дели, т. е. приближенное описание процесса в форме алгебрапчесшзх, дифференциальпых плп пптегральиых уравнений. Эти уравнения обычио выражают законы сохранения основных физических величии (зиергшг, количества движения, массы и др.). Полученную математическую модель необходимо последовать методамп теории дифференциальных уравнеппй.

Паде установить, правильно ли ввгдгппг. поставлена задача, хватает лп исходных данных, пе противоречат ли опи друг другу, существует лк решение поставленной задачи и едииствеиио ли оно. На этом этапе используются методы классической математики. Следует отметить, что многие физические задачи приводят к таким математическим моделям, разработка теории которых находится в начальной стадии. На практике приходится решать задачи математической физики, для которых ие имеется теорем существоваиия л единственности. Второи этан вычислительпого эксперимента состоит в построеиии ириолижениого численного метода решения задачи.

т. е, в выборе вычислительного алгоритма. Под вы игслительпым алгоритмом понимают последовательность арифмепгческих н логических операций, прп помощи которых находится решение математической задачи, сформулированной па первом этапо. 11пже мы подробнее оосудпм требования, предъявляемые к вычислительному алгоритму, предиазиачеииому для использования иа совремеииых ЭВЪ!.

1!о существу вся данная книга посвящена рассмотреипю элементарных вычислительных алгоритмов. На третьем этапе осуществляется программирование вычислительного алгоритма для ЭВМ и иа четвертом атаке — проведение расчетов па ЭВЫ. Мы пе будем останавливаться иа вопросах, связанных с программированием, организацией и проведением вычислений па ЭВМ, так как это выходит за рамки давкой книги, Отметим лишь, что деятельность по программированию должна быть тесно связала с разработкой конкретпых числеппых алгоритмов. 11вкоиец, в качестве пятого этапа вычпслительпого эксперимента можио выделить анализ полученных числепных результатов и погледую~цее уточпекпе математической модели. Может оказаться, что модель слшиком груба — результат вычислений иг согласуется с физическим эксиеримоитом, илп что модель слишком сложна, и решение с достаточной точностью можно получить ири более простых моделях. Тогда следует начинать работу с первого этапа, т.

е. уточпить математическую модель, и снова пройти все этапы. Следует отметить, что вычислительный эксперимент— зто, как правило. не разовый счет по стаидартпым формулам. а прежде всего расчет серии вариантов для различных математических моделей, ввгдкппв Остановимся теперь подробнее на некоторых общих характеристиках и требованиях, относящихся к вычислительным алгоритмам. Разработка и исследование вычислительных алгоритлшв и пх применение к решению конкретных задач составлнет содержание огромного раздела современной математики — вы шслптельной матемаыгкп. ВычпслительІу|о математику определягот в широком смысле этого терзшпа как раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием ВВМ, н в узком смысле как теорию численных методов п алгоритмов решения поставленных математических зада ь В дальнейпзеи мы будем иметь в виду вычислительную математику лшзн в узком смысле слова.

Общим для всех численных методов является сведение лштематической задачи и копечпомерпоп, ')то чаще всего достигается дпскретпзашп й исходной задачи, т. е. переходом от функппй непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. 1!осле дпскретпзашш походной задачи надо построить вычислительный алгоритм, т. е. указать последовательность арифметических н логических действий, выполняемых на ЭВМ и дающих за конечное число действий решение дискретпои задачи. Полученное решение дискретной задачи принимается за приближенное решеш1е исходной матечаткческой задачи.

При решении задачи па ЭВМ мы всегда получаем по точное решение исходной задачи, а некоторое приближенное решение. Чем же обусловлена возпнкаакцая погрешность? Можно выделить зрп основпые причины возникновения погрешности ири численном решении исходной математической задачи, 11режде всего, входные данные исходзгой задачи '(начальные и граничные условия, коэффициенты и правые части уравнений) всег,(а задаются с некоторой погрешностью, Погрешность численного метода, обусловленную неточвым заданием входных даппыт, принято называть неусгранилзой логрешностые. Далее, при вамене исходной задачи гпюкретпой задачей возникает погрешность, называемая погрешносггпо дискретизации или, иначе, ногрешностьнз легода.

Характеристики

Список файлов книги