А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(48) 7. Условие самосопрягкенностн разногтного оператора второго порядка. Мы уоедплись в том, что условие (31) достаточно для самосопря кеипосгп )сзспссг тпого оператора (30) в пространстве Н Рао,. Покажем, что условие [31) необходимо для самосопрнжеиностп 7,. Представим гл. !. гхзностнын ! ! !вннннн бо2 в виде суммы: ~у,=у„у,+!.оу„ Ь,у! «,,(унн — у,) — «!(у, — у; —,) — (с, — а, — Ь,)ун ! оу!= (Ь; — «! !)у! .!.
Оператор Г.!у! = )!тАун Лу; = (ау-,,), ! — !(!ун как было показано в предыдущем пункте, является еамосопряженным в пространстве !! =От„плн !! Йн, со скалярным и-! произведением (у, г) =- ~ у,г;Ь. Поэтому можно наппеаттн к-! 1 (Ь; — «;,,) (у:+,г; — у;и„,)!!. о о с Отсюда видно, что (уу, п) = (у, !'.е), т, е. !'.
= 1« только пря условии и ! ~, (Ь, — и,,) (у;з,г; — у;г;,) 6:= Рь (61)) 1=-! И си:!у произвольности у, и и; мож!и! ваять у; --6,; ! „ ' 'О !; =-- 6 д„. где („— любой !Ьикеиронанны!1 узел (со = 1,2,... .. „й — 1), 6н!, — символ 1(рсн!спера. Тогда получим у; з,г; — у;гьы =- ба!а и условие (49) дает Ь;„== «;„, !. Теч самым необходимость условия (31) доказана. Следует отметить, что уравненпе ! у! '!! (50) можно привести к виду (,>1) У:У, - 6(А,ПУ,) — (),У, = -1:н где à — самосопрян!енпьй оператор.
В самом деле, умножпм обе части уравнения (боО) па р; чь бл Гу, рса,у!-, — р,с,у,+ Ь,р,у„,= — 1!;!! н потребуем, чтобы для полученного уравнения выпол- в !. глэносгныь углаиенпя клк Опег.гтогнык пялось условие (31), т. е. 63|,=(р|!); ! =а„!)|,.|! = Л!, Л,. Отсюда получаем и;. ! =- — ~ р; = р, Ц 6л|ил|, и урав";~ ! 'Л=! некие (51), где Л, = а!рь 6)! р,(г; — а, — Ь,), Е! р|(,. 8.
Собственные значения разностного оператора второго порядка. Рассмотрим разпостпук! задачу па собственные значения: (ау-) — |(|у! -, 666 == О, ! -1,2,...,Х вЂ” 1, у,-=. ук =0„ (52) нли Лу=йу. уш(),. „где А определяется равенством (44), Оператор Л самосопряя|еп и полол|нтелеп, поэтому к нему отпосптсн все сказанное в п. 4. Для простейшего случая а, 1, Н, 0 собственные вначепия н собственные векторы можно найти в явном виде. Итак, требуется найти нетривиальные решения однородного уравнения с однородными краевымп условиями р-„а + 6|6 —.-.
О, |:-: 1,2, ..., Х вЂ” 1, ИЛ' = 1, у„= О, ул = О, |6~0. (53) Перепишем уравнение (53) е вя;|е у;, — 2сов ау!+ у;, = О, 2сов а = 2 — )Лг!. (54) Об!нее решение этого уравнения имеет впд у, = г, сов |и + с, в(п (и. (55) Требуем выполнения краевых условии: у„= г, =- О, д,- г,в|п |!'а=О. Так как ищется нетривиальное решение. то с|выл н в1п 3!!а О, т.
е. Ха = я!я (л! =0,1,2, ), а а„, тл/6' тяИ. Нз соотпо|пе|п|я 2сов и = 2 — 66! наводим ййв =- 2 (1 — сов а) = 4 в(ив —. а 2 ' (56) 4, лтв Х .== л!!! = —., Лпг —, Л Этому значению )„„соответствует собственная функция. у (1)=св1пля|гь с~О, и, (И, ( О, 1, 2, „6', (57) определеннан с точностью до произвольного постоянного гл, !. Рдзкостпые 1'Рлвнвпяя множителя. Нетрудш> заметить, что у, (1) .= с »!и лдтх, = с»!и л! = О, 1 =.
О, 1, 2, у, ь,(!) = с е>п л(Х+ 1)х, = с»!и (л)Ух, + лх) = =- с»он лх! со»л1= ( — 1)у1(!), у;„„„1О) ( — 1)!у„,(!), ьч = 1, 2...., Х вЂ” 1, Следовательно, линейно пезависпмы лишь функции у„,(!) при и ~Ж. Таким образом, найдено нетривиальное решенпе (собственные функцнн у.,(1), соответствующие собственным значениям Х ). Выберем мпононтель с так, чтобы норма функцнб у.,(1) была равна единице: 1у„(1)1 =с1»(п люх!1 = 1, с)О.
Для этого надо вычислить М вЂ” 1 л ))е)ил>лх>,'1 =- ~, Ье!нелтха = —,. х Ь (1 — со» 2льчх1). 1==1 !х! Обозначая я = 2лглЬ п заменяя =- Ве е!"", найдем ж — ! л — 1 Ь со» 2лтхь = Вс ~~„Ье!аь .— Ь Ве 1=1 1-.. 1 сое 2лл>х! = сое яу Г'е — еехх == — Ь, ,>о Л-1 '1 (Л 1) Ь 1 Ът )»Ро лглхз 1 — — Ь сое '>лл>х 2 1-1 дь 2 ' 1»ш лтх!', = 1 !' у '1; следовательно, с =- )'2, Такнм образом, функция у„,(!) = )'2»ш лп>х; (58) Задача (88) является частным случаем задачи (8) с оператором Ау (1) = — у-„.„(!), Этот оператор, очевидно, нормирована к единице.
Собственные фупкцнп у,(д и у„,(!), соответствующие разным собственным значениям Х, и Ь.„ортогональны в смысле скалярного пронзведеппя Л-1 (У, Р) == ~ У!Р,)1. 2=-1 а ь пепи!тип млкспыуыл саыосо1ци!жсп п поло!ни<слеп, так как к — ! Поэтому все сказанное в п. 3 остается в спло п в дапиом случае. (:обствекиые эиачепия )., возрастают с ростом г, так пй пй как а)п —, в<в!и —., (г+ 1)(1 при гг-.Ж. !1апмекьй ., лй тисе собственное акачеппе равно й =- —, е!Пт —,. Пап! =- пй болыпее собствеипое авачеиие равно Хт, — —, сове "~ <<г лй ' , .
! п лй ! Пй так как <Оп — ', (Х вЂ” 1) = эпп( — , '— — ",,' ! .— соэ — ',, ./ мп 1 '<г Переписав )., в виде )., — л-~ — '. !,$=л)</2(п/4 п учитывая, что г!П$/с убывает и имеет минимум ирч 2 =и/1!. получасы )<! >(( при Ь < '!/2. Для ),т ! пчеем оценку )„-, ( '!/Ь! и, следовательно, 1( <)., ( б</)1'-', У = 1, 2, ..., <Ъ' — 1.
5. Принцип максимума для рааио<тпь<к уравнений !. Принцип максимума и его следствия. Для раэкостпык уравпекий второго порядка с положптельиымп коэффициентами Ьу< а,у, , — с,у, + Ь.у, „ = — <, !'=1,2, ...,й — 1,у„=-р„уг=рг, (1) а,>0. Ь<>О, с!>а,+)1,, 1=1, 2, ..., Ж вЂ” 1, (2) имеет ыесто следующий принцип ыаксичуча. Т е о р е и а ! (принцип л!аксимума). Г!усть рпэностный оператор 1, определен !рор!<</.<а.ни ('!), (2). Если для <Г<уннции у, заданной на сетке <! и отличной от постоянной при ! = ! < <у — 1, вь!полнепо условие /у< > 0 (Г,у< с 0) при всех (=- 1, 2, ..., ГУ вЂ” 1, то эта функция не <воэкет приникать наьмйольшего полояситез!ьнозо (и<и<пеньи<его отрицательного) значения во внутренних уэ.!ах сетки.
Дока аа тельство. Пусть Гу! > О () = 1. 2, ..., )(< — 1). Предположим, что теорема неверна п у! в ие- ьй гл, 1 Рхзностныг ГРлннгнпя котором внутреннем .узле (=-тч, 1» тв» Х вЂ” 1, достигает ванболыцсго положительного значения у; == шах у,-:= Ф Ос;,л' Мь ) О, Так как у, Ф сопз(, то найдется внутренний узел (ь ((„моткет совпадать с тв), в котором У;„= У, = т)т, ) О, а в одном из соседних узлов, например, в узле 1=(„— 1, выполняется строгое неравенствоу;,-т < у;„.
Запишем выражение для Еу, в виде 1.у~ = Ь~(у,ч~ — у;)— — а,(у, — У;,) — (с, — и, — Ь;)уь В узле т = 0 имеем ьутз = Ь', ',у;+г — у',) — ать (у~ь — у',-т)— — (с;, — а;, — Ь;,) ут„» О, что противоречит предноложенню Еу, > О для всех ! = 1, 2, ..., тт' — 1, в том числе для (= т',, Первое утверждение теоремы доказашт. Второе утверждение доказывается аналогично (достаточно заменить у; на — у, н воспользоваться только что доказанным утверждением). Следствие 1.
Если выполнены ус.товия (2), 1,У, ~ 0 П='1, 2, ..., Ж вЂ” 1), !т>0, у ~0, то У~О П= = О, 1, .... 1ч'). Если 1У,~О, уь~О, у, ~0. то у,»0 И=О, 1, .... Д). Доказательство. Пусть 1У, < И и у, » О хотя бы в одном внутреннем узле 1== т„;тогда у, достигает наименьшего отрнцателыюго значеннн во внутреннем узле, что невозможно в силу принципа максимума. С лед ст вне 2. Если ср, ~ О, р< ~ О, рт ~ О, то ретт~ение задачи (!) — (2) неотрицательно. у, ~ 0 (( = О, 1,..., Л), Сл едс,тв не 3. Если.
выполнены условия (2), то задача 1,У, О, ( 1,2, ...,)У вЂ” 1, У„=О, У,=О (3) имеет только тривиальное ртииение и задача (!), (2) однозначно разрештьтта прп .твоих т('ь р„р,. Доказательство, Предполагая, что решение у; вадачн (3) отлично от пулн хотя бы в одной точке т — — („„ мы приходим к противоречию с нршщипом максимума: если у, »0(у; »О),то у, достигает положительного наибольшего (отрицательного наименьшего) апачепня в некоторой внутренней точке 1= („, что невозможно.
Следовательно, у, = О. Те ор е м а 2 (теоре.на сравнения). Пусть у, — решение задачи (!), (2), у, — решение зидачи Хут — трц 1 1 2,...,Х вЂ” 1, у, р„уч=-р„ 6 ь пгинцип ылксиытмв и выло.)мены условия (Ч:) - (ь (р !-р, !р !-))е. Тогда елрпведлива оценка (у,! ~уь дг)я нсех ) = О, 1, ..., Х Доказательство. В силу следствия 2 имеем у)Э «О.
Для разности у; — у, и суммы у;+ у, получаем уравнение вида (1) с праными частями )р, — гр,«О, р, — р, «О, р,— ре«О к )р,+)р,«О, р,+!)~«О, р.+р «О соответственно. Тзк как )р, ~-<р, = О н ))„~ р «О Ъ= 1, 2), то в силу следстння 2 у< — д, «О, у, + у, «О, откуда следует — у, < у, ( дь )у,! < д„ что и требоналось доказать. Функцпю д; называют иожорпнтой для решения знлачя (1), (2). 2. Оценка решения краевой задачи, Решение краевоп задачи (1), (2) представим в виде суммы у; = — У1' -)- у' ()) (е) где у; — решение неоднородного уравнения с однород- (1) ными краевыми условиями: 1лд — )рь )=1, 2...,, ))) — 1, у, дь О, (4) а У) — решение однородного уравнения с неоднородны<е) ми краевыми условиями: Ьу;=О, )=1, 2, ..., Х вЂ” 1, д„=))1, уь-И).
(5) Докамеем, что для у; спранедлина оценка ) -... [и гпах ) у'; ! ( )па х (! р„(, ! !), !). (6) ве)гл 11уи)ь у, — решение задачи Ьу, - О, ( = 1, 2, ..., Ю вЂ” 1, у д. = р Р =))ах(!Р~! (Р~!) си! Тогда по теореме сравнения !У, )- )У,!, а в силу принципа максимума )пах (у,! ~)ц так как у,«О может доев)ел стнгать наибольшего положительного значения тотьма на границе, т. е. при ) =О пли ) ))). Нетрудно доказать, что нелпчниа шах (у;! является егьзт кормой.
1(орму принято обозначать спмнолом ))уре. Таким образом,мыполучилиоценку 1у"')!, "шах (!р,(, !р,!), гч, ь Рлзиостныв углвнсння Т е о р е м а 3, Пусть выполнены условия (а,! > О, )Ь,! > О, с7, = (с,! — (а;! — )Ь,! > О, г = 1, 2, ..., % — 1.
(7) Тогда для решения задачи (4) справедливо оуеняа )!у!'<!! р'д! (8) Д о к а з а т с л ь с т в о. Для доказательства псрешгшом (4) в видо с у, = а у,, + Ь у,, + с0. (4') Пусть !у,! достигаот наибольшего значения !у1в)>0 при 1= )„(О < („< аб), так что ! у,)~(! у,„! ири любом ! = О, 1, ..., Х Тогда пз (4 ) ири ! = (, следует )с,„!!у,„!=!а;,у„„,+Ь,„у,, г-';~рч)~<)а, )!у...!+ +!Ь.! . !- !ЧП.!<(!"„!+!Ь„!))у'.!+!'!.! ! гм! !(р! (!'.! — !а,! — !',!)!у„!~! в! !у.!-=<'=' 'о Тем самым опенка (8) доказана. Замечание.
Если условие д,=с,— а,— (н> О пли с7, =- )с,,' —,'а,! —,'Ь,! > 0 ие выполнено, например, д; = с, — а, — Ь, > О, и, > О, Ь, > О, 1 = 1, 2..., )1' — 1, (9) т, е. с), могкет в некоторых узлах обращаться и нуль, то теоремой 3 пользоваться нельзя. 1) атом случае для оценки решения у; задачи (4) можно поступать так.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
