А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Есин же два условия заданы в двух разных (но не соседяих) точках, то получаем краевую задачу. Для пас основной интерес будут представлять краевые аадачи. Введем обозначение Бу; = Ъ,у, 1 — с у~ + а,у;, и сформулируем атп задачи более подробно. Задача Коши: найти решение уравнения 1У;=/;, (-1, 2, ..., (21) при дополнительных условиях у =ра у~=рэ (22) Второе условие (22) можно записать иначе: Лу~ у~— — у = рэ — )г~ = — рь и говорить, что в случае задачи Коши аадапы в одной точке (= О вели шпы )1а = Ро ЛУО Н~ (22') Краевая задача: найти решение уравнения 1у;=1ь ( 1,2,...,К вЂ” 1, прн дополнительных условиях уо ро уч=рм У~2, (23) В граничных узлах 1= О и ( = Ю чшжпо задать не только значения функций, по п пх разности и комбина- ге Рлляосткит гггянвнпя цин, т.
е. выражения а,йу„+(),у„при 1 0 и а,)/у„-+ + р,у, при 1=Л). Такие условия можно записать в виде у, х,у,+рь у„=х,ув,+р,. (24) Если х,=х, О, то отсюда получаем условия первого рода; при х, 1, хе = 1 имеем угловая второго рода (25) Л у е Р и Ч у р 3 Если х,, ть 0; 1, то (24) называют условижчи третьего рода: — х,ЛУ, + (1 — х,)у„= р„ хгру . + (1 — хе)ув р„ (26) Кроме того, возможны краевые задачи с комбинацией эгнх краевых условии: прп 1 = Π— условия одного типа, крн 1 = — Ю вЂ” условия другого типа.
Е'ешепие задачи Кошп находится непосредственно из уравнения (21) по рекуррептпой формуле (20) с учетом начальных данных у„= рь у, = рг. !'ешенпе краевых задач находптсл более сложным методом -- методом нсклгочения — п будет наложено нп;кс. Для уравнении с настоянными козффнппентамп решение краевой задачи может быть найдено в явном виде. Пример. Пайтп решение краевой задачи Л"у,, 1, 1. 1, 2, ..., Ю вЂ” 1, У„=О, у;=О, (27) у- =- — — 1Ю вЂ”:; —, У = — —,1(Л' — 1) ).е 1 2 ' ' 2 2 есть решение задачи (27), Однородное уравнение Л-уь, = у,, — 2у, + у,, == О имеет общее решение У, = с, + с;1. Частное решение У; неоднородного уравнения Л"у,, = у,~, — 2у, + у,, = 1 ищем в виде у; =- с)'.
Подставляя это вырагкснне в уравнение (27), находим Л'у; г --.= с ((~ + 1)е — 20 + (1 — 1)е) =- 1, т, е, с =— = 1/2, так что У:,.—" У;+ У; = . с, + се(+ Р 2 Для определения с, и с, служат краевые условия прп 1 О, 1=У: у, = с, = О, у» = с;)У+ )У-"/2 =. О, с, — Ру/2. Таким образом, гл. !. Р шиостные РРАвннния й 3. Решение р!ииостиь!х краевых задач дзя уравнений второго порядка 1. 1'сшснис разиостиь!х красных задач методом прогонки. 1(равная задача ььу! — г у, + Ь у,, =- — 1„а, чь О, Ь, Ф О, !=1,3, ..., г! — 1, (1) У» ="!Ч!+ й! У» = !мУ»-!+ Р! ~! -к О .О О О „,0 О О О 0 и 0 О,--', Ь, „,0 О О О О .лад — г, Ь »' — ! 'з'-! я — ! оо ...о — з„ 0 О О ...
О О 0 О ... О Вместо (1) можно написать Лу=), у= (у„, уь ..., у;), 1= (и„— 1„.. „— 1к ь !г,). (2) В случае первой краевой задачи со<ннетствующая матрица имеет размерность (Л' — 1) Х (»!' — !). Для решения краевой зада ш (1) можно использовать следующий метод исключения. называемый негоден прогонки, Предиолонгнм, что имеет место соотиоигснпе Ч =гам!Ч»!+!».! (3) с неопределенными коз!Ьфи!(вантами н,„, и й!»„н подставим у,, = — а,у, + д, н (1): (аюь — с,)у, + Ь,у;„= — (1!+ 0,3,), сравнивая зто тождество с (3), иагн>дим /, г!й, -'.
1! (3) 11сиользуем красное условие прн !.= О для определения представляет собой систему лпне|шых алгебраических уравнений с трехдиагоиальиой ь!атрице!! размера (у+ 1) Х Ю+ 1): а 3 Р (зностныг БР (Гвыг. 3 (и )чп 35 ап )),. Пз формул (3) и!1) для ) =- О находим а;=х„р,=р,. (6) Зная а, и р, и переходя от ) к 1+ 1 в фор)(улах (1) и (5), определим а, и 3; для все( ) = 2, 3, ..., Л, Вычисления по формуле (3) ведутся путем перехода от 1+ 1 к 1 (т.е. зная у;~о находим у;), н для начала этих вычислоний надо задать ух. Определим у; из краевого условия ух = =х,у;,+р, и условия (3) прп )=Л вЂ” 1: у,,= = а;ух + рх. Отсюда паходпм р, -гх !)х —,х (7) Соберем все формулы прогонки и запишем кх в порядке применения: ( ) а;„1---- ', 1== 1.
2,..., Л) — 1, а, = )ч; (8) ( ) а((),+ 1,) 1== 1. 2,...,Л вЂ” ), (1, =- р,; (9) "га( ( ) у;=а;,у;;.,--, '()„.„(=-Л) — 1,Л' — 2,...,2,1, О, и, — ' х,!)т ((О) Стрелки показывают направлоние счета: ( ) от ) к )+1. ( -) — от )+1 ь ). Такиз( образом, краевая задача для уравнении второго порядка сведена к трем задачам Коши для уравнений первого порядка. 2, Устойчивость метода прогонки. Формулы прогонки моя(по применяттн если знаменатели дробей (8) и (10) ке обращаются в пуль.
Достаточнымп усзовиямп этого являются неравенства )с;! ~;а,(+ )1),!, 1=1, 2, ..., 1'т' — (, (11) (х,! «1, )х,! «1, (и,! т (х,! "2. Покажет(, что при условиях (11) знаменатели с,— а;с(, п 1 — аххт не обращаются в нуль п ! а) ! «1, 1 = 1, 2, ..., Л'. (12) Предположим, что (а,! «1, и покажем. что (а,е,! ~1; Зй гл >. Р <лпостпь>к <"Рлвкгния тогда отса>да и пз условии 1я>! !х,! -1 будет следовать, (12). Пас< >штрих разность !с> — а,я,! — !Ь,> Р> !с,!— — '.а,)1и,! — .Ь,! «!ш!(1 — !а,!) ~ О, так что 1<, — а,а<! « ~ 1Ь,! «О, п 'а<т> ! = 1Ь;!/'с, — о и<1 ~ 1. Заметим, что если !с „~)!л,„! . )Ь>„) хотя бы в одной точке > = ь'„то 1и,! ( 1 для всех («ь,, и в том числе для (=Ю; 1им (1.
Тогда:1 — а,;м;! «1 — 1а;1!х>! ~ ~ 1 — 1а>! «О, и ус п>ане 1х,! + 'х ! (2 является лишним. Если !х,! ( 1, то !а..1(1. Гс»н же 1м,! 1, то ,и> ( ! и а ! «1. и мы имеем !1 — а;м>1«1 — 1а,! Х Х 1х>! ~ 1 — !х,! ) О. '!аким образом, при выполнении услови» (1!) задача (1) имеет единственное решение, которое мы находим по формулам прогонки (8) — (10). Вычисления по формулам (8) - (!0) ведутся на ЭВЬ! приблшкеиио, с конечным числом зиача>цих цифр. В результате оп>ибок округления фактически находится пе функция у; — решение задачи (1).— а у;-- решение той же задачи с возмущенными коэффициентами а., Б„с<, х„м> и правыми частяхш ~о )>,.
8>. Возникает естественный вопрос: не происходит лп в ходе вычислений воарастанпе ошибки округления, что может привести как к потере точности, так и к неаозмо;кпостн продолжать вычисления пз-аа роста определяемых величии. Примером может служить нахождение у; по формуле у;„= уу< прн у) !. Поскольку у„= </"у„, для любого у„можно указать такое и,, при котором у„„будет машинной бесконечностью. <Рактичес>п> в силу ошибок округления определяется не точное значение уь а аначенпе у, иа уравнения у<, =</у<+ >), где >) — ошибка округления. Для погрешности Ьу, = уь — у, получим уравнение бу,т, = ()бу<+ ц 0 = 0, 1, ..., Ьу„= ц).
Па формулы 6у, = </'>)+ ц(д' — 1)/ /Ц вЂ” '!) видно, что ошибка Ьу, при </«1 экспонеьи(иально растет с ростом й Вернемсн к методу прогонки и покажем, что прн !я,1-"= 1 ошибка бу< не нарастает. В самом деле, из у; = а„<у;„+()< „у; а,,у,т,+))<ь, следует бу; а<,,буц.о 1бу,! ( !а,„, ! !6у„, ! ( !Ьу<„1, так как !а„.,! ~ 1. Если учесть. что в ходе вычислений возмущаются и коэффиц»енты а< „!)<.„то можно показать, что ошибка бу, пропорциональна квадрату числа узлов )т': шах ! бу; ! < ~,ьт'>, где е, — ошибка округления. Отсюда видна связь между 3 3. Рлзпостнык 1!Рйевыз з.я.!чп (13) ! Ь!Чььт+!! с,.
— 6!г! Чк = Рг (14) рг-'; х,ч, 1 — Ь х ! 1 ! ! угг! = $; !у!+ т)!ьм ! = О, 1,..., !)! — 1, (15) В самом деле, пРедполагаЯ, что Уьо ~аыУ,+ Ч„„ исключим из (1) у„,; получим -1, =,у - + (Ь!в!, — с,) у + Ь!Ч!ч о или а,.
11+ 6!Ч! У =- . У1-!+ : — ь, '' '' — г.;. !ыа! ! ! 1-.1 Сравнивая с формулой у, = $;у! !+ рч получим (13) и (14). Значение у, находим из условия у„х,у,+)г, н формулы у, = 5!у, + Ч,. 1!з неравенства (с, — Ь!2 г!( ~ ~ (с,( — )Ь;(($!„,( ~ )в!(+!Ь,((1 — )гьы,1), (1 — $,х,! ~1— — !$,1(х,( видно, что условия (11) гарантируют применимость формул левой прогонки н их вычислительную устойчивость, так как 1г!~ ~ 1 (! = 1, 2, ..., Я).
Комбинация левон н правок прогопок дает з!егод встречных нрогонон, В этом методе в области 0<!~ = г, + 1 по формулам (8), (9) вычксляются прогоночные коэффициенты а„!!)ь а в области г, ~ ! ~ Л по формулам (13), (14) находятся гы и 1)!. При ! 1, производится сопря!кение решений в форме (10) и (15). Р)в фоух!Ул У!а= сг!в-.-гу!вч-! ~ ()!а!-1, У, ! -- з!г;-!У!г+Ч!ве! находим !оэ! 'ое' )'а у, 1 — а!., Ь 'г " !а !ребуемой точностью е решения задачи, числом г!' уравнений и числом значащих цифр ВВЫ, поскольку е,гт! ж е, 3, Другие варианты метода прогонкк. Рассмотренный выше метод прогонки (8) — (10), прп котором определение у, производится последовательно справа налево, называют правой прогонкой, Апю~шпчпо вьтпсываютсз форму!я! левой прогонки: !*.! а.
41=,,!Ь, (=Л' — 1,У вЂ” 2,,2,1, ~к =х, '! ь! 1-!! Г;1 1 Р 1ЛПОСТШ1Г МР 1ВПННПЯ Эта формула имеет смыл », т»к к»к копг бы о;ипа из величии )ьы,«11 илп ~се,„«1! н силу (1'1) меиыие ецииицы, и, следовательно, 1 — и... Д;,«,) О. Зная у;,, можно по формуле (1О) и»йти нсе у, при ! < )„, а по формуле ('(й)— эиачепия у, ирп 1.» 1'„. 1)ычислеипп при 1= й и 1<1«проводятся автономии (имеет место распараллеливание нычислеипй). Метод нстречиыл прогоиок особенно удобен, если, например, требуется найти у, лппп, в одном узле 5 б«.
Разиостиь1е уравиеиия как операторные уравиеиия 1. Линейное пространство.*) Рассмотрим множество Н элемеитон х, р, .", ..., относительно которыя известно, что: каждои паре элементов х и у из Н каким-то образом сопоставляется трею1й элемент з вз Н, пазынаемый пк суммой и обозначаемый 1=х+у: каждому элемепту х ~я Н и каждому числу ), сопоставляется элемент и~ П, называемый пропзнедеиием х па число ), п обозпачаемъ111 через и = »х. Ыиожество П называется»инейныьв простри»с«вол, если операции сложения п умножения па число, оиределеииые Лля его элемеитон х, у, ...., удонлетноряют следующим аксиомам: 1) х+у=у+х для лгобыч х, р~иН (коммутатпвиость сложения); 2) (х+ р) + =-х+(у+1) для любыл х, у, з~ Н (ассоциативность сложения); 3) существует элемент «пуль», обозначаемый О, такой, что х+ О = х при л1обом х ес У; 4) для любого элемента х ы Н существует противоположный этемеит ( — х), такой, что х+ ( — х) = О; й) 1 х.=х; О) Ои)х=)(рх) (ассоциативность умножения); 7) Л(х+ у) =-).х+ йу; ().
+ 11)х=),х+ рх (дястрпбутпвпость умпожеипя относительно сложения), где ). п р.— любые числа. Липейиое пространство называют комплексным, если для его элемептов определено уипожеияе иа комплексиые числа, и действительны.к, если определено умпожеппе только па действительные числа. *] Ом,, в»пример, П»1,ин В, А., Позняк Э.
Г. Линейная алгебра.— Ы.: 1/нуае, 1Э74, ф ь Рьзкосгпыв тт гвиения кьк опеглтотнык Эв длемеиты х, у, =, ... линейного пространства Н называют вектораии, Векторы хь хь ..., х, иазывагот линейно >гезивисимыми, если равенство сх +сит +...+тех> =О возможио только пря с, =-с, =...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
