А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Позтому численное дифференцирование также некорректно. Чтобы найти приближенное значение произво„<- иой по формуле разиостиой производной < и< которой точностью е )О при условии, что фупкнпя зад;ша с погрешностью 6; (!6,~ ~ 6„). необтодпмо выполнение условий согласования е, б„и шага й сетки, например, вида е Э- ГП ввкдкннк ~ й(бг ()г=сопз() О не зависит от Ь, б,), причем шаг сетки ограничен как снизу, так и сверху.
Таким образом, достижимая точность численного дифференцирования лимитируется точностью аадапия самой функция. В данной книге 'мы рассматриваем только корректные задачи и корректные численные методы, ориептировавные на использование ЭВЫ. Численные методы дают приближенное решение задачи. Это значит, что вместо точного решения и (фупкпин плп функционала) некоторой задачи мы находим решение у другой вада ш, близкое в некотором смысле (например, по норме) к искомому. Вак уже указывалось, основная идея всех методов — дпскротизацгтя нлп аппроксимация (замена, приближение) исходной задачи другой задачей, более удобной для регпенпя на ЭВЫ, причем решение аппроксимирующей задачи зависят от некоторых параметров, управляя которытпг, можно определить решение с требуемой точностью.
Например, в задаче численного интегрирования такими параметрамп являются узлы и веса квадратурной формулы. Далее, решение дискретной задачи является элементом копечномеркого пространства. Остановимся на этом подробнее. Рассмотрнтг, например, дискретизацию пространств» П = ()(х)) функций Г(х) непрерывного аргумента х ьв ш Га, Ь). Г!а отрезке а ~ х ( Ь введем конечное множество точек го = (хе 1 = О, 1, ..., Л',х, а, хк = Ь, х, х;,), которое назовем сеткой. Точки х, будем называть узлаьчп сетки ге. Если расстояние 6, =х,— х,, между соседппмп уаламн постоянно (ке зависит от 1), Ь, = Й для всех 1= — -1, 2, ..., )г', то сетку ю называют рааноьнерной (с шагом Ь), в противном случае — неравнозтерной.
Вместо функция 1(х), определенной для всех хне(а, Ь), будем рассматривать сеточную у)ункг)ию у,=1(х;) целочисленного аргумента 1 В=-О, 1...„Лг) илн узла х, сетки ю, а Н=()(х), хж Га, Ь)) заменим кояечпоморньгм (размерности Л'+1) пространством 11к, =(уе О К ( =)т) сеточных функций. Очевидно, что сеточную функцвю у~ = 1(х,) можно рассматривать как вектор у = (у„, у„..., дк). Можно провести также дискретизацию п пространства функций Г(х) многих переменных, когда х=(хо х„...
..., х,) — точка р-мерного евклидова пространства(р ) 1). Так, яа плоскости (х„х.) можно ввесгп сетку го = (х;= = (ЛЬо Л)м), (е(1 = О, ~ 1, ~2, ...) как множество точек ввгдгник (узлов) пересечения нерпенднкулярных прямых х, =(,Ьм (0) л, ' =-(,Ь„Ь,)О,Ьз)0, („(з= О, ~ 1,.+2....., где Ь, ('г) и Ь, — шагн сеткн по па пра вле пням л, п х, соответственно. Сетка ы, очевндио, равномерна по каждому пз переменных в отдельности. Вместо функции ~г(л) =1(хе х,) будем рассматривать сеточную функцпю у,,;, =- ~г (г,й„г,йз). Гслн сотка ~а содержит только те узлы, которые прннадлежат прямоугольнику (О -х, <1„0<х,~),), так что Ь =1,/Ю„Ь~ =1/гг~, то сетка пмсет конечное число Х = (У, + 1)(Ь, + 1) узлов, а пространство Пл сеточных функцпй у;=-унгм является конечномерпым.
Мы всюду рассматриваем только конечноиерное пространство сеточных функций. Заменяя пространство Н = (Йл)) функций непрерывного аргумента и псходную аадачу пространством П,, сеточных функций и днскретной аппроксимацией исходной задачи, мы должны быть уверены, что будем лучше приближаться к решению исходной задачи прн увелнчении числа узлов. Оценка качества приближения и выбор способа аппроксимации— главная задача теории численных методов. Основное содержание книгн в той плп иной степепи связано с примененном разностных методов для решення дифферепцнальных уравнений. Выделим два главных вопроса: — получение двскретпов (разностной) аппроксимация дифференциальных уравненнй и ксследоеаппе получающихся при этом разностных уравнений; — регпепие разностных уравненнй.
11ри получения дискретной апирокспмацин (разностпой схемы) важную роль играет общее требование, чтобы раапосткая схеча как можно лучше приближала (моделнровала) основные свойства исходного днфференцнального уравненпя. Такие разностпые схемы мо>кно получать, например, при поиощп варнацпонных принц~нов п интегральных соотношенпй (см, гл, 1 у). Оценка точпостн разпостной схемы сводится к научении~ погрешности апирокскмацкн н устойчивости схемы.
Изученне устончпвостп— центральный вопрос, теории численных методов и ему уделяется большое викмание в данной книге. Алгоритмы для сложных задач можно представить кзк последова. !8 Введенпн тельность (цепочку) простых алгоритмов (модулей). Поэтому многие пргпгцппнальпые вопросы теории численных методов можно выяснить иа простых алгоритмах. В главе ! рассматриваются одномерные (завнсящне от одного целочисленного аргумента) разностпые уравнешгя. Мы огранпчпваемся изученпем разностных уравнеппй первого и второго порядков. Ревностные уравнения второго порядка представля!от собой систему линейных алгебрам !ескнх уравнений с трехднагональной матрпцей, Для решения краевых задач для этих уравненнй применяется так называемый метод прогонкн.
Б ! главе даны, в энде справочного матернала, сведения о лнпейных операторах в копечномерном пространстве, Б дальп! йшом исследуются свойства равностных операторов как линейных операторов в конечномерном пространстве со скалярным пропэведенпем, Прн этом попользуется простейший математический аппарат — формулы разпостпого днфференцпрованпя пропзвсдспня и суммирования по частям. Во второй главе излагается традпцпонпый материал ч!клеклого анализа: пнтерполяцпя, среднеквадратичная аннрокгпмацня и чпсленпое пптегрпровапне. Прп аппрокспмаппп;Шфферепцпальиых уравненпй на сетке получаются ревностные уравненпя, предстэзля!ощпе собой спстему лппейных алгейранческих уравнений высокого порядка (равного тглу узлов сепп) со спецпальноо (разрс:лепной, т.
е, нмеа!щей много нулевых элем! птоа) мэтр!щси, 1(рогтейнпй) пример такои з!; трины — тр!'~:!вагоне!!! Пая ма!)шн ! -- !1ь!л ) еэ:Ъан выл!!а. Р главе 111 нэлагшотгя чпслевные методы )ншения снстем линейных элгейранч! скнх уравнении которые можно записать в матрпчной форме где А =(ач) — квадратная матрица размера д!!ХХ в=- = (и', и', ..., и' ) — пскомый вектор, /= (/', /, ..., / )— заданный вектор (правая часть). Для решения систем уравненнн прпменяются прямые и птерацноавые методы.
Ввгденнв В 1 2 гл. 1П рассматриваются метод псключепня Гаусса и метод квадратного корня — прямые методы, требующие для решвяия системы 0(Ю') арифметпческих действий. Прн изучения нтерацнопных методов систему лилейпых алгебраических уравнений (2) удобно трактовать как операторное уравнение первого рода с оператором, действующим в Л'-мерном пространстве Н„(А: Н~ -~ Н„), и, ) ~Н,. '1тобы подчеркнуть эквивалентность матрпчпой и операторной форм записи, будем матрицу и соответствующий оператор обозначать одной и той же буквой А.
При пзложепян теории итерационных методов (одношаговых или двухслойных) важную роль играет каноническая форма птерацпонкоя схемы УИ-1 — уе В '' ''-,' Луа=(, й — 0.1,... для всех у,енНя, тв;1 (6) где А, В: Н; — Н„, (т,) — птсраппонныв параметры. Всюду предполагаегся, чзо оператор Л самосопряжеп н положительно определен (Л = Л* ) О).
Доказана общая теорема о сходнмостп стационарного метода с т„ = т = = сопз1. Достаточным условием сходпмости является неравенство (ВУ.У)) —,(1У,У) для всех уеп Н, где ВФВз — вообще говоря, несамосопряжепный оператор. Ото|ода следует сходимость метода простой нтерацпп, метода Зсйделя, метода верхней релаксации. Если известны такпс постоянные 1, > О, 1, ) 1, что ;,(Вх, х) =- Ь!х, х) --- 1,(Вх, х) длв всех х ю Нв, (5) где В =Вт) О, то мо;кпо найтн оптимзльпый чебышев- ~1 скш1 набор параметров (та); при которых вычнслительный процесс устойчпв п безавостен. Рассматривается универсальный попеременно-треугош,ньш метод с набором (т~) п оператором В = (Н + юА,)() '(() + ыА,), (6) гдв 1) - Вв ) О, А, = А„А, + А, = А, матрицы Л, н 20 вввдвнив А,— треугольные. Получена формула для параметра в.
Алгоритм для этого метода очень простой. Всюду приводятся формулы для числа итераций, при которых достигается требуемая точность. Сравнение различных методов проведено на модельной задаче для разпостного уравнения второго порядка у; —,— 2у,+у;,, — Ь')'„1=1, 2, ... ..., Ж вЂ” 1, р = уа =О, й =1/.Ч, соответствующего краевой задаче и" (х) = — )(х)(0(х(1), и(0) =и(1) =О, Это уравнение есть одномерный аналог уравнения Лапласа. Так как число итераций практически пе аавнсит от числа измерений, то при сравнении можно ограничиться этой одномерной задачей. Попеременно треугольный метод )1 1т требует О ~ — 1п — ) итераций, где е > 0 — ааданпая (,(га е ) точность, Заметим, что в главе 111 с помощью простейших математических средств фактически изложена достаточно полная общая теория итерационных методов решения уравнения Аи= ) (А =А*)0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
