А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 12
Текст из файла (страница 12)
д. Отсюда получим для Р(х) формулу Р(х) Р(х„) + + (х — х,)Р(х„, х,) + (х — х„)(х — х,)Р(хо х„х,) +... ...+(х — х,)(х — х,)...(х — х,)Р(х„хо..., х ). (с1) Если Р(х) — интерполяцнонный полипом для функции у(х), то его значения в узлах сеток совпадают со значениями функции у(х), а значит, совпадают и разделенные разности. Позтому вместо (4) мокино написать ь 1 (х) = у, + 3г (х — х„) (х — .т,)... А:1 (х гд-1) у (з'г х11 " ° 1 за) (полипом Ньютона), После того как вычислены разделеи- х ь инткгполяцпя и пгикшжхннк фхнкции ез ные разности, вычислять полинам Ньютона удобно по схеме Горнера: )(х) = у(х ) + (х — х )(у(х„,х ) + (х — х )1у(х„ х„х ) + .. 11.
Вычисление 1(х) для каждого х требует а умножение и 2и сложений нли вычитаний. Существуют и другие формулы интерполяции, Среди них наиболее употребительна эрмитова интерполяция. Здесь задача ставится так. Заданы и уалов (х;), и значений функции (у;1 и и значений производной (у,(; требуется найти по:шном максимальной степени 2а — 1, тако(|, что Р (х;) = у„Р'(х;) = у„( =- 1, 2, ..., п. 1(роме того, на границе прп х = х, и х = х„ставятся условия (" (х,) О, 1" (х„) О. (5) Будем искать кубический полинам в виде ((х) а~+ Ь;(х — х;,) + с,(х — х;,)'+ а,(х — х,—,)'", х,,~х~х,.
(6) 11з условия (, = у, имеем 1(х; т)=а~ уз и / (х,) = а; + Ь;Ь; + с,Ь( + И,Ь,'- = уь й,=х; — х; о (=1,2...,,п — 1. (7) Если все х; различны, то существует единственное решение, которое находится способом, аналогичным методу Лагранжа. Следует иметь в виду, что применение полинома высокой степенп мо;кет приводить к трудным проблемам, связанным с ошибками округления. 4.
Сплайн-интерполяция. 1'ассмотрим специальный случай кусочно-полинами альной интерполяции, когда между любыми соседними узлами сетки функция интер- полируется кубическим полиномом (кубичсская салайииитерполяйия). Его козффпциенты на каждом интервале определяются пз условий сопряжения в узлах: /, = уь У'(х,— 0) =('(х,+0), У" (х; — 0)=("(х,+0), 1 1, 2, ..., я — 1, се гл.
и. интивноляция и числкннок интхгеиеовхнггн Бычггслгггг производные: <" (х) = 6, + 2с,(х — х,,) + Зг),<х — х,,)', У" (х)= с,+Ог<х-х,,), и потребуем пх непрерывности прн х хл 6; ., =- 6, -;- 2с,)г, -,'- Зг(гй'н с;,, == с;+ Зг)г)гь < 1,2,..., и — !. (8) Обшее число неизвестных козффш(иентов, очевидно, равно йо, число уравнений (7) и (8) равно йгг — 2. 11едостакнцпе деа уравнения получаем пз условию (5) прп х х„ гг х=х<к с,-О, с„+Ы„Ь,=О. Выраэгган пз (8) г), = <сн, — с,)ээЗЬ„ггодсгавлягг зто выражекпе в (7) и исключая а; у; „получим 6, = = ((рг — р;,) 'Уг;) — —,, Ь; (с, э г + 2с;), г =-1, 2, ..., и — 1, г 2 6и ((<<~~ рй — г) )г! з 6|эс 1 ° с краевымк услоннямн с, == О, с„,, = О.
(!0) условно с,, , .== 0 зьепеаленгно условию с„ + Зг1„6„ - 0 и уравпепшо с,„., = с, + г<,Ь,. Разпостпое уравнение (9) с условнямп (10) решается методом прогонки. 61ояггго ввести понятие снлайна порядка яг как функции, которая является иолшюмом степени т на каждом пз отрезков сетки н во всех внутренних узлах сетки удовлетворяет условиям непрерывности функции и производных до порядка т — 1 включительно. Обычно для интерполяции используются случаи т = 3 (рассмотренный выше кубический снлайн) и т = 1 (линейный снлайн, соответствующий аппроксимации графика функций у(,г) ломаной, проходящей через точки (х„у,)), Подставив теперь выражения для 6„6,.„п с1, в первую формулу (8), после несложных преобразований поггучаем ;шя определения с; разностное уравнение второго порядка <э,, г ьг нь! г †.= 1, 2...,, и, — 1, (О) % ь иптнгшспппьк н п1пнлпжкппт члнкцпн 6; 5, Применение интерполяции, Интерполяция применяется во многих задачах, связанных с вычислениями, Укалкель некоторые пз этвх задач.
Обработка физического зксперкмепта — построение приближенных формул для характерных величин по таблнчным данным, полученным зкспернчентально. Построение приближенных формул по данным вычислительного зкспернмевта. Здесь возникают нестандартные задачи интерполяции, так как обычно пишутся формулы возмолшо более простой структуры. Субтабулирование, т. е. сгущение таблиц; применнется в тех случаях, когда непосредственное вычисленпо функций трудно нли когда имеется мало зкспериментальпых данных. В машину вводится небольшая таблица, а нужные прн расчетах значения функции находятся но мере необходимости по иптерполяцпонной формуле. Интерполяция применяется также в задаче обрптпозо интерполирования: задана таблица у, у(х~); найти х~ как функцию от уь Примером обратного интерполирования льожет служить задача о нахожденвп корлеп уравнения.
Пптерполяцпонпые формулы используются также прп вычислении интегралов, прп написании разностиых аппроксимаций для дифференциальных уравнений на осяове интегральных тождеств. й)ательатпческое обеспечение любой ПВМ содержит стандартные програмльы интерполирования.
6. Среднеквадратичнан аппроксимация. До сих пор мы рассматривалв построение пптерноляцпоппых полнномов у(х), совпадающих со значениями исходной функции )(х) на некотором множестве узлов па сетке ин у(х,) =/(х,), х,~ьо, Функция у(х) приближает (аппрокспмпрует) функцию )(х) ва интервале сетки. Пусть Ил, Ы вЂ” пространство вещественных функций со скалярным произведением ь () 'т) ) .) ( ) 'р (х) ' а п нормой !)!,',ел - 3тФ /). 53 гл, 1! интегполяция и числгнное ннтвггнговлнпе Рассмотрим общую задачу об аппроксимацнп функ- ции /(х) функциями Ем заменяя требование у, = /; усло- вием минимума нормы: )(/ — у|)г., нлп малости нормы: г'/ — у ~~ге(е, где е > Π— заданная точность. Отыскание (и((/ — у(с, есть задача о нахождении наияучигего среднеквадратичного приблихсения, В каче- стве у(х) возьмем обоби(енный полипом я у (х) -.— ~г се~)» (х), е-в где (гр„(х)) — семейство ортонормпрованных на (а, Ы функций (1, у==т, (е».
гг„) =- дь„„дм =- ~ с,— произвольные коэффициенты. Тогда задача нахождения наилучшего среднеквадратичного приближения сводится к отысканию минимума функции и+ 1 переменных с,, с,, с„; Я ппп '., / (х) — ~~~~ се~уз (т) ~ —.=. р (ге, с„..., с„). ы) я=.о Вычислим среднеквадрати нное уклонение Ц вЂ” уР = Ц~Р— 2(/, у) + (у~~'. Подставляя сюда выра>кения и я (/ у) = ч' ся (/, <ря) = ~~ сг/ю /я = (/, ~рь) я=о ь-з (у)'=,е'.) сю получим "/ — у(е — ~'/(е+ Х «» — /)' — Х /я Отсюда видно, что минимум погрешности достигается прк се=/,, т, е, ва функции у (х) =- у. (и) =- Х М (х) я-е з е нптегполяцпя н пгнвлнженпе Фупкцпгг оз В этом случае Ну — Ч (х)Ил=1))Н' — ~ Рьх (11) ь=а Такпьл образом, наилучшее среднеквадратичное прнблпженне существует и едпнствеппо.
Опо приводит к задаче о вычисления интегралов для определения г, („(),лра). Волн функции (~ра) образуют волную ортонормпрованную систему, то выполняется равенство 1)врсеваяя— Стеклова ь ~~э, )ьт =- ) 1ь(х) Нх = ))1. а Сравнивая (11) с (12), находпм И вЂ” уГ= Х lь ь=а ал т. е. 1) — у„~(- 0 при и; наилучшее среднеквадратичное приближение сходится к 1(х) и возможна аппроксимация с любой точностью; Ц вЂ” у.1< е, если и ~Л'(е) (и достаточно велико). (12) 3 а м е ч а н и е. Все рассуькденпя сохраняют силу, если скалярное произведение берется с весом р(х) ) О: ь (1, ~р) =- ~ 1 (т) <г (х) р (х) Их. а Возможны и другие критерии аппроксимации, когда уклонение ( — у мппимпзпруется в другой норме, например, в норме пространства С (равномерное нриблихгение), При наилучшем равномерном приближении мы отыскиваем функцпю у(х), на которой достигается пни гпах )1(х) — у(х)!.
ааааа Однако пока не найдено метода нахождения за конечное число действнй козффнцпентов наилучшего равномерного приближения для функции, ааданной па отрезке (а, й). Возможны н другие постановки задач апвроксимацви — на дискретном множестве, на совокупности отрезков и др. Изучаются также методы нелинейной аппрокснмацпп, напрпмер, при помощи рациональных функций. Это оказывается аффективным при обработке экспериментов.
5!! Гл и нсгтегполицпя и '5пс'5!5пяог нлтгггигоихппе $ 2. т1цслекпое интегрпроваипе 1. Постэвовка задачи. Простейппсе квакратуриые формулы. Задача иссленнпго интегрирования состоит в нахождении приближенного зпачеппя интеграла ,1 ()) -=: ~ ) (.т) сйг, а где ((х) — задаппая фупкция. Па отрезке [сс, й) вводится сетка со =.(хл х„.= а < х, - ... < х, < х„, « ... хн 6) и в качестве приближенного зпачепия интеграла рассматривается число Хх У) — -- Х е 5'(х) (2) где )(х,) — зиачепыя функции )(х) в уг.спх х =-хь с! — весовые гзнохсигели (веса), зависал(пе только от уалов, ко пе зависящие от выбора 5(х). Формула (2) Называется ввадрптурной с))орлусой.
Задача численного иитегрировапия при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов (х,) и таких весов (г,), чтобы погреисноггь ввпдрагурнои у)ориу.сы н Ь В()] = хи е!) (х,) — ) )(х)псх = Ун (5'1 — У (!') '=-о а ) (х) с(х, и каждый пз которых сводится к стапдартиому пптегралу по отрезку единичной длпиы: ! (2) г помощью аамекы х =- а + (5т — сх) г, 5(х) )(а+ (р — сс)в) ~(в), (4) (б) была мисспмальпой для функций из заданного класса (величина И/) зависит от гладкости 1(х)).
Прп построепип каадратурпой формулы обычно представлясот интеграл (1) в виде суммы интегралов вида $ а численное ггнтегенеовлнкг так что ~ /(х)агх=- х~1(з)г)з= хЬ(г), х р — сг (черту сверху над 1(з) будем опускать). Будем считать, что аг — равномерная сетка. Тогда маятно написать -ЧЛ= Х |ь 1 г аи 1 — г' (х) г(х = 1г ) / (х; г + )ге) 0з. а ! — г Есин гг' = 2й — четное число, то 'а уИ=--1 ум *, аа~ г Уп г —.= ) 1(х)ггх== 2/г)1(хг~ г-',-2гге)~Ь., а г рассмотрим простейппге квадратурные формулы: формула прямоуео.гьника (шаблон содеряодт одпп узел): —.(, Р—.1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
