А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 13
Текст из файла (страница 13)
=-. ДУ) =-У' —.'; 1 г11 'а 2' грорву,ггг трапеуии (два узла): 1 1 Ра= з~ Рг= а1 за=О1 ггг = 1г 81 == 11 Л(У) = —,(У(О) + У(1)); и т. д. Таким образом, задача сводится к иостроениго квздратурной формулы дзя интеграла (3) по единичному отрезку. Выберем на отрезке О.-з -1 узлы О==:з,(з, (... ... < з„а:. 1 (игаблои квадратурной формулы) п поставим интегралу (3) в соответствие формулу и ЛУ) = ~л М(за). а=-а 72 гл.
и. н~Тегполяцня и численное интвггиговлнии формула Симпсона (трп узла): 1 4 "'= Ло Ро = Ро= ио Ро= е~ во= 0~ 1 г,=- — во= 1, 2' ЛЕ= Ц((0)+ЧЯ+ У(1)) о=о формулу Симпсона: Хи[1[= ~)~~И(х;) й = зь (1о+ 41о+ 2/о+ 4/о -Р г=-'о +2Ь- -Р4)н-~-[-Ь) прн Х =- 2(о (0) 2. Построение квадратурных формул. В силу сказанного выше положение достаточно веста для стандартного интеграла (3), которому ставится в соответствие нвадратурная формула 1 т ~ ) (о) пз ж ~з Ро/ (зо).
(10) Й- — о В общем случае узлы и веса неизвестны и подлежат определению. Рассмотрим сначала случай, когда узлы заданы н требуется найти веса квадратурной формулы (Ро). Мы будем пользоваться требованием: формула (10) должна быть точноа для любого полпиома Р,(г) степени г =.ш: Л[Р,) =В[Р„), .= т.
(11) и другие. Па практике, кан правило, применяются формулы с небольшим числом узлов шаблона. Напишем теперь соответствующие формулы для интеграла (1) на равномерной сетке (х;=1Ы с шагом й. Учитывая замену (4) и (5), получим: формулу прямоугольнина; я-1 1 ух [1[ =.= ~~ Ц(хг~ьпо), хоопо = х, -',— —,Й; (7) ~=о формулу трапеций: Ух[1[= ~~с,)(х,)Ь, со=сх= —,, с;=-1, о=-1,,...,Л вЂ” 1, $ 3.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 73 Для того чтобы полипом степени г удовлетворлл (11), достаточно потребовать, чтобы квадратурная формула была точной дчя любого одночлепа з' степени о (о = О, 1, ... ..., Г), Учитывая, что /(з') =1/(о+1), получаем из (11) т + 1 уравнений р.+р, р" -':-р )элзз + р1з~ " ° ° °, /Ьлз.л Л, л,, л Рлзл 4 Р1з~ л . ° ° 4 )злами — 1 (о, 1)~ р,з,", + р,з, + ° ° ° т Р~з"' =- 1'(т + 1) Эта система имеет единственное решение, так как ее определителем является определитель Вандермонда, отличный от нуля, ес:ш нет совпадающих узлов, з,( 3,.
( Так, полагая т=2, з,=О, з, 1/2, з,=1, имеем систему р,+р,+р, 1, р,/2+р,=1/2, р,/4+р,=1/3, решением которой являются веса формулы Симпсона: р, =р. 1/6, р,=4/6. Таким образом, формула Симпсона является точной для полинома второй степени. Однако, в силу симметрии, она является точной н для всех полиыомов третьей степени: Р,(з) = 1+ а,(з — 1/2) + а,(з — 1/2)'+ и,(з — 1/2)', так как она точна для 1(з) =(з — 1/2)'.
В самом деле Л((з — з)~=- с(( — л) +4 О+(з))=О, фз — — )1= )(з — — )~й=О. Формулы прямоугольника и трапеции точны для ли- нейной функции, т. е. для полинома первой степени, е чем легко убедиться непосредственно. В общем случае в качестве Р„(з) можно выбрать ин- терполяционный полипом Лагранжа лл Р.() = Х (з"'()/(з), з-л где )з~ ~ (з) — интерполяцяонный коэффициент Лагранжа, г ", числннное нгггггвпвовлгшн :)та формула иоькет быть доказана ннцукцпей по и.
Для и = О опа верна: в У(г) -- )(О)+Л,(г), Л,(г) = ~1'(г)сМ. о Допустим, что опа верна для и. Интегрированием по ча- стям получаем гоотпоп|енне -(г О уо>1(!)Ж= н) (г — О ~( ~ О ( ~ + ( (г — г) ~>>, ь > ( ) ~1 г о = ('... у'"'п(0)+~(,'„л"1), у'"'м(0а, (14) г которое п доказывает формулу (13) для и+ 1.
1)водя функцию (с ггн( пра $) О, (О прн г~(О, (13) запишем формулу для остаточного ч:шна Л„., в виде: 1 Л„, (г) .- ~ К„(г — () )'""и(!)й. о (! 0) 4. Формула цан погрешности квадратуриой формулы. Перейдем к выводу формулы для погрешности квадратурной формулы Л()) =Л(У) — 7(/) в классе Со'~>' функции, имекнцпх (н+. 1)-ю непрерывную производную па отрезке О - г - 1: /(г) се С'"'о (О, 1).
Тогда верна формула (13), нлп » 1(г) — -- Р, (г) -1- Л„е, (г)> Р„(г) — ~ — ' ~ю (0). (18) »- о Иа предыдущего (см, п. 2) ясно, что для полииома Р„(г) степепп и формула (10) является точной в двух случаятл прп я<т+1 и„если т четно и формула тз гл. и. Питягполнцня н чисчвннов ннткг!ч!говенна симметрична; прп и ~ т = я, во всех других случанх.."!!!! будем пока предполагать, что Л[Р) =1[Р ), т, е. и ~ я,. (10) Обратимся теперь к разности К(1) н подставим 1=- =-Р„+В„!, в (17). Учитывая (16) н (19), получим Л (1) =- Л [1[ — !' [1[ =— =- (Л[Р 1 — ) [Р [) -Р (Л [Лаз!) — 1 Ф„.!.!~) —.-- м ! — 1 [Л~~ !) 1 [)[~~ !) -= ~у Ра ~ Кд (за !) ) (() Й! 1 ! — ~ ) К„(а — !))'" ' "(!) Й оЬ= а о 4[ ~и 1 =1[и „ьз.!.— ! — (к.< — ~>~*~г'"м!>~.
!с а о Пользуясь выратненнем (15) для К,,(з — !), находим Н (! ! й~ь! К„(г — !)о!з=- ~ ' сЬ= В результате формула для погрешности принимает внд Л()) = ~Р„„(!)1о'и(!) ((, б где Р„+, (!) = ~, раК„(зз — 1) —, (21) П--!)" ' (а+ !)! а=о Отсюда следует оценка для погрешности [К(1) [ ~ М„„с„,, (22) пРи [/'" о(!)[ ~ М„.„, где М з,) 0 — ностоапнаа, и пРи сль! — — 1 [Ра-!-! (!) [й.
о Если К„„,(!) не меняет знака на отрезке О~а -1, то в 9 ". чпсленнок пптгггнговлние 79 Иэ (24) видно, что формула прямоугольника имеет четвертый порядок точности: бг()) =-О(6'), если функ- ция ((х) удовлетворяет условию )'(а) =1'(6). )'.сля из- вестны 1'(а) и 1(6), то можно положить )(х) ~р(х)+ + ах + рхз, где ц,(х) удовлетворяет условию гр'(а) = ср (6), если выбрать сз = 1,1 '(.) — а 1' (Ь) Я (Ь) — 1' (з) Тогда Ь вЂ” а ' 2(Ь вЂ” а) ь ь ) 1 (х) с)х = ) ср (х) с)х -,'- с, з з с = ! и (6 — аг) + 1.
р (Ьз — аз). Интеграл от с((х) вычисляется по формуле прямоуголь- ника с точностью 0(Ь'). 2) Формула трапеция: т = 1, рз = р, = 1/2, г,=О, г,=1, Л(7) = —,„1(((0) 6 /(1)), 1 Функция г'з (О = —, 1 (1 — 1) ) 0 анакопостоянна, поэто- му верна оценка г)л (/) = ~,, )'" Д*) (6 — а), с* ~ (а. 6), т. е, коэффициент при Ь- в выражении для погрешности формулы трапеции в 2 раза больше, чем для формулы прямоугольника. Повторяя рассуждения, аналогичные проведенным выше. убеждаемся в том, что верна формула дз(/) — — — 2язЬ '',-аз6' при /я С'"', п ~ 4, где пз определяется согласно ("1), аз = Г)(! ), 3) Форм ула ('ззтз псов а: т =2, гз =.
0; г, =1/2, гз =- 1, р, рз = 1!2, р, = УО, д ()) - —,, ( ((О) + 1) ( —,, ) + )' «) ). Так как ф~рмула Спмгзсопа точна для полпнома третьей степени. то и = 1. и иы нычпсляем: Л ()) == ( lг [!) 1' (1) ги, г ~з(1) =-; ( ъз(0 1) оз() 1)) ' йз ( —., — 1)— яо гл. ге интеРполчция и численное ннтегРиРОВАнне Отсюда находим Г, (О = =,, (2гз — Зг'), т ( —,,; Р;(г) =- —., (2(1 — г)з — 3(1 — г)4), 1> —,, г 4 (г) > О для всех г 4= =(О, 1), и значит, тт, (1) 4и —.— — „ 4 так что верна формула Ьз(/) = ЯО ~ ()), 4) ен (О 1) 40 4'Ы-! Рх(4- Х,2З '-',' "' — —,'„( ~(44,,~— 4- 4 ~~ — 1 Ь вЂ” а 4У сз 114 $ ен(а,Ь), где У = 24„Ь = 1/У, Если )(х) 4п С'"' (л ) 6).
то можно получить разложение вида Рх ф = а,Ь4+ а,Ь', и, = 0(1), и, = — ~ ) (х) 44х =- — — (('" (1) — )"' (0)). 4 6. Повышение порядка точности. Метод Рунге. Для квадратурных формул (по аналогии с предыдущим) можно получить асимптотическое разложение вида П Ц) 1л(1) — 3Ц) а,Ь'+ а,)44+ а4Ь'+,, „ если 1(х) — достаточно гладкая функция. Прн атом а444~ значительно меньше ~а4| (Ь 2, 4), позтому повыпение порядка точности квадратурной формулы весьма важно.
Переходя к интегралам по х и учптывая, что к=.2А, 7т (д) —.- (2Ь)4у" $,), получим Е . числгнног. пнтгп ировлниг. 8! Проведем расчеты на двух равномерных сетках с шал, гани Ь, и Ь, соответственно и найдем выраязения Х (г( = л, =Ул,й и У (Д=Укл(11,7л,Л',=Ь,Л',=Ь вЂ” а. Потре- буем, чтобы погрешность для их линейной комбинации: Р ()) = аР (1) + (1 — а) Р (!') была величиной более высокого порядка по сравнению с лъ лл Р и Р Если для Р" =Рн имеет место формула вида Р" = 1"((1 — 1(/1 = а„Ь»+ а,Ь'+..., д ) р, „дл, Р =(а~ й+(1 — а)У лй) — ~(11 получил! -л л лл лл Рл(!) = ар(аЬР + (1 — а) ЙР) + а,(аЬ~+ (1 — а) Ь.',) + ...
Выберем параметр а иа условия аЬ» + (1 — а) Ь', == О: а =- ЬР/(Й»л — Ь,"). Тогда имеем Р" (~) = аз (аЬ', + (1 — а) М) + ... = 0 (Ьч), Ь = !пал (Ь„Ь ), причем аЬ( -(- П вЂ” а) Ьл ( О. Так. если р = 2, а = 4, то Р (/) =- — алЬ,Йл '; ... — - 0(Ь~). Таким образом, прове- дя вычисления на двух сетках с зпагалш Ь, и Й. геЬ„мы л, повысили порядок точности на 2 (на а — р) для У =- аУ + +(1 — а)У '. ы За!летим, что комбинируя формулу трапеции Ут»л»(11 и прямоугольника У~',р„н(!1 с шагом 2Ь, мы получим фор- мулу Симпсона Хс»„» с шагом Ь: лл лл ~с»мп (Л = » астра» (Л + 1»рлн У1 '=" =- — „, (/л + 4(, -1- 21л +... + 2~ля, + 41»л, + /лл), где Ь = (Й вЂ” а)/(2Ы. й(етод расчета на нескольких сетках применяется для повышения порядка точности даже в том случае, когда неиавестен порядок главного члена погрешности (процесс Эйткени).
11редположим, что для погрешности имеет яй гл и. Питегполяцпя н численнов интегР!!Ровхниа место представление Х)"(/) агйа+ п,Ь'+..., !/ > р. так что )ь(/) )(/) ) у ) Проведем вычпслеипя па трех сетках: Ь, Ь, Ь = рЬ, Ьэ =р'Ь (О ( р(1). Определим сначала р. Прп этом пренебрегаем членом 0(ЬЧ. Образуем отношение /~! (/) )а' (/) !!", — Ьв 1 ре /1 ~г '=,'(,,' 1/)=,а-Ь„= р ( — р) =М п найдем р ж (п А )п —. 1 Б"(/) = 0(Ь').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
