А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 33
Текст из файла (страница 33)
— созз —, 2! : - = „2 2!. 1 2 Отсюда следует 61у!'~(Ау, у) ~Л1(1-, (16) где ль 4 лз 6=6+6 =- — '.в — '+ 1: 2 22 а/ ' 2 2! * ! 2 4 зз! 4 2 л!!2 Л =- Л, -,'. Л, =.. — „созх —.' + —, соз' —,'. ! (!7) В квадрате ((, = !1 = 1) па квадратной = )22 ' й) имеем 8 . 2аз 6 = —., з!и — ', Ьз ' а сетке (Ь, = 8 злу 8 Л = —., созз —,, 6+ Л = — „. (!6) Аз Ах п, аналогично, (А,у, у) ) О, так что А ) О, т.
е. А— самосопряженный и положительно определенный оператор. Нетрудно найти границы 6 н Л оператора А, т. е. числа, для которых выполнены неравенства 6Е ~ А ~ ЛЕ, где Š— единичный оператор. В самом деле, в $ 4 гл. ! показано, что И1-1 к! И,-1 61,Е (у(1~~ 12))'61~ ~2~ у-„«1 '2) "1~~Л1 2„(у(1~~!2)) йм 11=1 1,=-11 "1 / !1=! з ь РАзностные схемы для РРАвннния НРАсгонА 2(Т имеет нетривиальные решения (собственные функции). Воспользуемся методом разделения переменных и будем искать репюпие задачи (19) в виде произведения У(хь х,) = Р(х,)ш(х,) та 0 (20) функции Р(х,), зависящей только от х„и функции ш(х,), зависящей только от х,. 1)одстзвив (20) в (19) н разделив па у = в!г, получим х- и —,' ' —. — — '-' ' — Ь, (х„хх) ен юь (21) х и Левая часть зависит только от х„ а правая — только от х,; равенство (21) возмоькно только при условии У- а'- где А'о =соней Отсюда получаем две одномерные задачи ка собственные значения для отрезков 0 < ОЬ, ~ (, п О < ЬЬ,- )х соответственно: -;- ),!па:х О, 0 < х, =- (дй, < ),„в =.
О, (, =- О„У,, х!хх (22) + Ьспш=- », х,х, О < хз == (хйх < )„ю = О, (,=О, !'х', (23) где )си =Ь вЂ” Ь' ', илп А = В"о+ А' '. Обращаясь к и. 8 Т 4 гл. 1, выпишем решение задач (22), (23) в виде сы 4 ., я"'А )х, = — зйгт ,з 2! ох, (х)= — з(в —,, Ь,=1,2!...,Х,— 1, 1 г еп г, „зЛ..А, Ь» = — з)п' — хх '2 Ах з! х х 6. Разноетная задача на собственные значения. Рассмотрим задачу: найти такие значения параметра Ь (собственные значения),прн которых однородная задача у-„+ р-„-)- Ьу =- О, х ен юь, у =- О, х еи уь (19) Гл. Ее эллиптические и'хвнения 2!8 где х„=( Ь, 4 =О, 1, ..., Жх. а=1, 2. Отсюда следует, что задача (19) имеет собственные значения 4 .
~"'~" ( 4 )е х = е(пх — "( + '( з ах 2(,з ( Ь = 1, 2, ..., Ь('. — 1. а = 1, 2, (2У ,(и (ю и соответствующие собственные функции ух = а«, (х()п(х, (хг): ях(х тй х„ "" =""" ""'= Ч '1'3 (а '1 2 ха хх (аЬ«1 (а = О~ 1х ° ( 3а~ Ьа = 1 2: . (Та а = 1, 2, (25) Этн собственные функции ортонормнрованы: (х'х «х'т т ) = бх т бх т Из (17) и (25) видно, что 6 = ппп Хх,х = Х(,(, Л =- шах Хд,«, = Хт,, т, (, где б и Л определяются по формулам (17). Для 6 п Л верны оценки 6 > 8 ~ — + —.), Л < —, + —. /4 (Ь 4 4 ((з ('") ' 1 ье ь) '3 (26) 7. Оценка скорости сходимости схемы «креста. Принцип максимума. Для погрешности а= у — и схемы в и. 3 получена задача (6), (7), где ф(х) = 0(!Ь!2), ! Ь )2 =. Ь1+ Ьа (27) в предположении достаточной гладкости решения и =п(х) юС("((, ) исходной задачи (1) (2).
Докажем, что схема (4) сходится со скоростью О(!Ь!') (имеет второй порядок точности) восточной норме С, т. е. !!г!(а 0()Ь)*), где )х!!с =(пах)з(х) ! Для етого нампопадобитсяоценка хнаа решения задачи (6), (7) через правую часть (). Разност- $ 1, РАзностныв схемы для уРАвнкния пуАссОнА 2!9 ная задача Дирихле (4) является частным случаем задачи .х'(У) = а!11,,/!1С1 — Ь!1-1,!1У!1-1,!х — Ь!1+1,!»у!1-»1,! Ь21,!1 1у!1лг 1 Ь!1 !з"»1У!1, +1 !р!!!1 х=- (11Ь„)1)11) еи ы», у =- р, хану», (28) где а = а1,;и Ь = Ь!ь!з — коэФфициенты.
В случае (4) имеем ! Ь!1 ' 1,!1 = 1 ! ь;,л А (29) Оператор 2'[у) можно записать иначе: Х (У) ~1~!У$1!1+ 11 1Л1(У11Л» У11 1оз) + + !Г»»!1(У~1 !1 У'1Е1 '1) + '!1,!З-1(У!1 !1 Учдз-1) + +Ь...-з„(У,„-,— Уг„т„), (ЗО) где д!1!1 = а;,!1 — Ь1,-1Л, — Ь1,.»1,!1 — Ь;,,1,, — Ьй 1,,, Будем предполагать, что выполнены условия д=д;...~О, Ь,,-. О, Ь,,„з„~о.
(з1) Для задачи (4) имеем д = О. Теорема 1. 1!усть выполнены условия (31) и !р(х) ~ ~0, у~1=-О. Тогда решение уравнения (28) неотрицательно, т, е, у(х) ~ 0 во всех узлах сети е!» = гв»(Г). Д о к а а а т е л ь с т в о. Предположим, что утвержденне теорев!ы неверно и существует по крайней мере один узел х! = (11Ь„»зьз),в котором у(х;,) ~0. Тогда функция у(х) в некотором внутреннем узле сетки догнкна принимать наименьшее отрицательное значение п11п у (х)- хин» =- у(хх). В этол! узле выполняется уравнение (28). Если а(хх) = 0 и !р(хз) =- О, то уравнение (28) выполнено только при условии у(х) = у(хх) во всех узлах шаблона. Однако, так как !9(х) аз О, то существует узел х1„,в котороч у(х!»„) у(х1,) .= Пппу(х) =- с„(0 н по крайней мере в одном узле, например при х =.т;,! и имеем у!1->1.з сг, и, сле- 220 гл.
чг. Элчиптичкскик увавнвяия довательпо, х!у)) =.,„„(О, что противоречит условию .х (у) = фх) «О, Полученное противоречие и доказывает теорему. Теорема 2 (теоретаа сравнения), Пусть у(х) — решение задачи 2'(у) =~р, хыю„, у=)г, хы "~л и выполнены условия (31), Если (~р(х)(»гр(х), хы юь, !р(х)! «и(х), (32) х ы тм (33) то для ре~иения зада чи (28) верна оценка ! у(х)! «у(х) для всех х ю ыь ( з (!с ~~ -т,- ) зр ) с (35) Отсюда и из (9) следует равномерная скоднмость скопы (4) со вторым порядком точности. 3 а м е ч а н и е.
Уравнение (28) можно заменить уравнением более общего вида Ы М .=- а (х) у (х) — 2, 'Ь (, Й) у 6) =- <р (х) а=мы ь Достаточно убедиться, что для функций и = у(х) + + у(х), о = у(х) — у(х) выполнены условия теоремы 1, и, следовательно, и(х) «О, о(х) «О, или у(х) « — у(х), у(х)» «у(х), т.
е. )у( «у. Итак, функция у(х) является малеорантой. Если манго- ранта у(х) найдена, то решение задачи (28) оценивается согласно теореме 2. Для аадачи (4) в качестве мажоранты выберем функцию у(х) = С(йт — (х", + '.)), Ье == (;+ (. (34) Вычислим сначала гр = 2'(У1=- — 1У = — Сл(х1+ хг) == =- С (Л,х, + Аех ) = 4С', так как (х,')„...
— — - —,((х, + й,)е— "з — 2хг+ (х, — й,)') =- 2. Из формулы (34) видно, что рг= =у(х) «О па границе 7ь. Обратимся теперь к задаче (6), (У) для погрешности з = у — и схемы (4). Выбирая 4С = = )зр(, и учитывая, что з(т„= О, получаем (з(х)( « «у(х) «Сь', так что З 2. Регггкннз Рлэпостных ъгхвнкггий 22! где а(х) ) О, Ых, ~) ) О, о(х) — множество узлов;, гь х шаблона с центром в узле х, причем гг(х) а (х) — ~ 6(х, с) ) О. г -.жю Для уравнения (36) верны теоремы 1 и 2, В случае схемы повьппенпого порядка точпостк шаблон состоит пз девяти узлов, мпоя;ество о(х) — нз восьми узлов, причем а= —, (йг + Ьг ), а в правой части имеготся коэффициенты 3 е ': с —.
(5Ь, '-' — )гг '), —, (5)ге — )г, г), которые положительно только прн условин 1/г'5 < )г,Иг .— )'э, и, следоватольно, оценка вида (35) будет получаться прп этом условии. з 2. решение разностных уравнений 1. Прямые методы. Метод разделения переменных. Система разностных уравнений для задачи Дирихле из $1; Луг .= у-, + у- „,:=- — ! (х), х ен юь, у = р, х я у (1) имеет матрицу высокого порядка (Юг — 1)(гУ: — 1). Обычно берут Ло Л', — 50 — 100, так что число уравнений в системе (1) равно 10' — 10'.
Решение систем столь высокого порядка методом Гаусса потребовало бы числа действий порядка (Л',— 1)'(Лгг — 1)', т, е, 10' — 10" действий, если бы у системы (1) пе было одного хорошего качества: матрица системы является слабо заполненной и имеет лишь -5Лг,Лг, отличных от пуля элементов. Поэтому для решеняя системы раэностных уравнений удаатся построить методы, требующие 0(Лг )и Лг) и даже 0(У) депствий, где Ж = (Лг, — 1)(Лг, — 1), Опкшем один пз прямых методов репгения разпостной задачи Дирихле уравнения Пуассона в прямоугольнике. Перепнпгем задачу (1) в вгтде Лу = у-„, „+у-,, == — гр(х), хя егы у(„„= О, (2) где у(х) — у(х) прп х ш гш„а гр(х) определяется по фор- мулам (Рб) пз 1 1. гл. ть аллиптичхскнн »ч»внвния 222 Ее регпе)гпе можно найти методом раэделегп)я переменных. Пусть (с»2) (х»), Х»',,~) (12 = 1, 2,...1 Л㻠— 1) — собственные функции и собственные впачепия задачи Лдп-'гРю=0, х)над', п(0) с((1) О.
(3) Выражения для 4,, и г»2 (х,) даны в и. б, 2 1. < 2) (2) 2 1'азлоягим реьчеипе у(х„х2) и правую часть )р(х„х,) по собственным функциям 1)г», ) ' ~2] К»-1 р(х„х.) =-, с), (х,) г), (х»), ~1 Д. =-1 Л»-1 )г (х) х») -= ~ Ч1»2(х,) п»,(Х»), ».,=! где х,„=1„))„, ) =1, 2, ..., Л вЂ” 1, и=1, 2, сд,,(х,) и Ч)»2(х,) — коэффициенты Фурье, например, Л» — 1 )Г»,, (Х,) = ~ ))ВР (Х„)2)12) Сд„()'.)12). Применим оператор Л Л, + Л, к произведению С».1»,: Лед, (х») ид, (х») =- 1» (х,) Л,с» (х.,) + сд (х)) Л»1)» (х.) =- <2) сд (х2) Л1с», (х1) 2»~ сд (х1) у» (Х2) =- 1(Л)сд (х)) — 2,)~~с» (х))~ сд, (х ). Подставляя эатем это выражение в (2) и учитывая (5), получим Л» 1 (Л)сд (х,) — )»12)с» (х,) + <рд (х))3 и» (х») = О. (6) »1=1 В силу ортогональности (и»2 (х»)) это тождество возможно только при равенстве нулю выражения в фигурных скобках: Л)с»2(х,) — )»»с»2 (х,) = — )р»2(х1), гс» =- 1, 2,..., У» — 1, Г») х1 — — 11)111 0~11(У1, сд (1 Ь1) = О, 1 =- О, Уп (7) $2.
Решенпк Рханостных г'Равнении а2З В самом деле, угшожая (6) скалярпо на гг, (х,), имеем мг г гт -г О= ~~~ ('Ь(иьггьг) = ~х~ ~( 1ьбыг = ( )ьг = О, ь г А=г где ( )»г — содержимое фигурной съобки (6). Задачи (7) решаются методом прогонки; всего требуетсн тг — 1 раз использовать алгоритм прогонки для й,= =1, 2, ..., йгг — 1. Зная сг,(хг), найдем по формуле (4) решение задачи (2). Для этого надо сначала вычислить козффициенты Фурье г)гь (х,) (й,=:1,2,...гд'г — 1) Из формул (4) и (5) видно, что у(х„х,) и ~рг,(х,) вычисляются по формулам одного и того же вида: Ж-г Ьлг и;= т„агз(п —,, г= 1,2,...,Дг — 1. (8) г=г Разработан специальный алгоритм быстрого преобразования Фурье для вычисления сумм, который позволяет вычислить сумму (8) за 5%1оиг)т' арифметических действий (при %=2", п — целое число) вместо 0()Уг) прн обычном способе суммирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
