А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Асимптотическая устойчивость. Для задачи 1(оши — -(- Аи =. О, 1 ) О, и (О) = ио оо оо з„о,— ы '1 Преобразуем 2(о~о,уо+о уо) = 2т~Чо, т ) Для атого воспользуемся неравенством: !аЬ! = (1/2еа)(~ — Ь) ~<еа + — Ьо, где а, Ь, з > 0 — любые числа. В нашем случае 2(~ро,у„+г — у„) =.2т!~у„!!~ "~' ~" !!» <2те~ " ' " !! + — БЧ,!!о. Подставляя эту оценку в тождество (39), получим (~В г. т 1) ~о.~-1 зо о~1 "Ло ) + !! < Ь.
бй + — „!! Чр. !!* (40) 1 к устойчивость двухслойиои схимы в т 3, .п. 1 была получена оценка )!и(1))!е е ~ !!и(0))а где Х, == ппв ).р, (А). Найдем условия, при которых аналогичная оценка имеет место для схемы (2). Воспользуемся теоремой 4. Пусть выполнены условия (33). Тогда в силу (34), (35) ))у„))л (~р")!у,!),„р = 1 — туп т~(т„= . (43) г т Отсюда следует оценка, выражагощая свойство асимптотической устойчивости !! у !л < е !! уе !!л (44) (при атом учтено, что р =-- 1 — ту, < е '~'). Рассмотрим схему с весами и предположим, что бЕ -А (ЛЕ, б=)„)0, Л=й )О. (45) Вычислим т, и у., Учитывая (/г5), имеем В =- Е -(- атА ) ! — + ат ! А =-.
— Л; )а /1~!а 1 "/А - А' '1 х 1 б д 1 с сто' ~/а 1 —, стд Для явной схемы т, = б, т. = Л условие асимптотической устойчивости т ==: 2/(б + Л) (47) близко к условию обычной устой ьивостп с р=-'1. Прп атьО условие т -2г О+ (-) приводит и неравенству 2+ 2(а — 1/2)т(6+ Л) — 2а(1 — а)т'бЛ ~ О. Нри а.= 1 оно выполнено для любого т, т. с. чисто неявная схема с а = 1 безусловно асимптотически устойчива. Симметричная схема т " + —.А(1/,,.„+у,.,) =-О, а= —,.
(48) аскмптотически устойчива ири условии т -т", т" =2/Убй (49) З1О гл. ч, зачхчл коши и безусловно устойчива в обычном смысле. В этом случае -ь,~+с,(тз) р==е <е и верна оценка 1д„~!(е ' "1д„/,' прн т(тв, о =- 1!2. (50) Что произойдет, если условие т ( т, пе вьпюлнено, т. е. т ) т,? Тогда п~ат / 1 — тЛь / достигается не прн Ус = 1, а прп й = )Ч и р = тт. — 1. Лснмптотика (прп больпнзх Ю„) решения разностной задачи не имеет ничего обгцего с асимптотпческнм решением исходной задачи.
Таням образом, нарутпенне асимптотической устойчивости приводит к потере точпостл схемы при большнх й Глава У! РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В этой главе мы рассмотрим рааностные схемы и методы решения разностных уравнений для уравнения Пуассона и эллиптических уравнений с переменными коэффициентами. й 1. Разностные схемы для уравнения Пуассона 1. Исходная задача, д и Аи — — —, де,'- !'ассмотрим уравнение Пуассона (1) 2 Будем яскать его решение, непрерывное в прямоугольнике С=СЗГ=(х=(х„х): 0<х,<(„, а 1,2) п прлнимаюгцее на границе Г заданные значения: и(г = (т(х), (2) Задача, определяемая уравнением (1) и условием (2), называется задачей Дирихле (переой краевой задачей). 2. Разностная схема «крест». Для численного решения задачи (1), (2) введем в П сетку оь = ыч 0 тч = (х~ =(1йи (й,), ( =О, 1„..., )У, Ь =(/)ч', а=1, 2) и обозначим через У = Уу, = У((м (е) = У(хе) сеточную функцию, заданную на ь,; й, и й, — шаги сетки по координатам х, и х,.
Чтобы написать разпостную схему для (1), (2), аппраксимируем каждую из производных д'и'Охи на трехточечном шаблоне, полагая и(,,— а,, е) — ги(з„,)+ (..„-, а„.„) 1 дее ь' «1е1 1 3 да "(*1 *е '"е) З«(*их)+и(*и* +де) — идхе д. «че 2 3 гл. т! эллиптичкскик ддлвпгпня 2!2 знак — означает аппроксимацию. Пользуясь этими выражениями, аамеш!м (1) разпостным уравнением д(,— 1, 1,) — 2д(!и !э)+д(,-'-1, !э) 1з 1 1 (1„! ), (3) д (! . 1,, — 1) — 2д (!и 1,) —,'.
д (1, 1, + 1) 6,, илн, в сокращенной записи, у (1~ !з) '! у,. „(!о !з) = 1(1~ !т) В бсзындекспыя обозначенная имеем у-„„(х) + У- (х) =- — У(х), х =- О,)П ~тйз) ~ !эь(6). (4) К этому уравпепн!о надо присоединить краевые условия у= р(х), х = (ОЬь Щ) ~м'(э. (5) Граница (~ сетки состоит вз всех узлов (О, !;), (Ль 1,), П„О), И, Л',), кроме вершин прямоугольника (О, О), (О, Л!,), (Юо О), (У,Л',), которые не используются, 1'азностное уравнение (3) записано иа пятпточечпом шаблоне (!, — 1, 1,), (!, +1, !,), (!ь 1,), (!о !',— 1), (!ь !, +1). Схему (4) часто называют схемой арест.
Если Ь, =Ь, = =Ь, т. е. сетки по х, и х, совпадают, то сетку им называют квадратной. Па такой сетке разпостную схему (4) можно записать в виде у(,')= д(1,— 1, !)-', д(1 — '1, 1) ' д(1к 1,— 1)-'-д(! . 1,--!)+ь. 1 (1к 1) Для одкородпого уравнения (!' = 0) получаем 1 у(1„!' ) = — (у(1, — 1, 1,) + у(1„+ 1, !.) + + у(1„(з — 1) + у (гы гз -) 1)), т. е. эяачение в центре шаблона определяется как среднее арифметическое значений востачьных узлах шаблона. 3. Погрешность аппроксимации. Пусть и = и(х) — решеяие задачи Дириале (1), (2), а у = уП„1,.) — решение разностной задачи (4), (5).
1'ассмотрим погрепшость з(х) =у(х) — м(х), х=((,Ьь !зЬг) ыы„. 5 1. Рлзностные схемы для уРАВнения пулссонл 2!3 с однородным краевым условием г=О прв хшуз. (7) Здесь зр (х) = Ли + ,/(х) =- и- + и- + / (х) (8) есть невязка или погрешность аппроксимации для схемы (4) ва решепип и = и(х) уравнения (1). Покажем, что 24 (9) где Из — игал В самом пеле, учитывая формулы и(х, ~/г„хз) —.-. и(х„х ) 4-/11 —,(хо х,) + 1 ди ли з .з + —,—.
(.г„хз) ~ —,— (х„х,) + д.л' О диз '1 1 л, ° .4 24 и.г, -' —,,' —,(.1, хз), х, --= х, -'. 91/1„0. 0,~~1, л7и Ь. дз и ц (ХО Х. -1-/1 ):= и (Хг, Хг) ~ /гг — (Хг Хг) Л вЂ” „(Хгг*З)~ /12 д' и, Вз 'л гл 3 з гл — — (х,, хз) -', —,," — (х„хз), тч -= хз + О /12, О -22 1' ' '-' ' 2лл 9<92<1, находим /'1 ди —, /'1ди 2 .з — /(х) .— —.( )+ — — ( ).
24 дл 1' з 24д з '1 следует (9). /ди ди дх'г дх, 1 Отсюда и пз (1) 11одставляя у = г+ и в (4), (5), получаем для погрешности г = г(х) неоднородвое уравпение Лг = г- „+ г- = — 2)7(х)л хан игл (С), (О) 214 Гл. »г. Эллиптических угавпииия Тани»а образом, схема (4) имеет второй порядок ап- проксимации. 4. Схема повышенного порядка точности. Используя девятиточечный шаблон (х„х,), (х, ~Ь„х,), (х„х,~Ь,), (х, ~ Ьо ха ~ Ь,), можно построить схему, имеющую чет- вертый порядок аппроксимации (и точности), если пред- положить, что решение задачи (1) — (2) и и(х) лн ж С»о(б).
Эта схема имеет вид зла+ И Л'у Л, + Л,+ — Л,Л„У=. — »Р(х), х~ ыл, у(х) = р(х), хан ул, Л,у й х лала Ь,а ьа лр "- 1+ л 2 Л | + ~а2 Л»1' Непосредственная проверка показывает, что невязка равна лр = Л'и+ лр = О(!Ь|'), (11) Для погрешности з у — и, где у — решение задачи (10), получаем Л'г -лр(х), х ж елл', г = О, х ге '(». ( 12) л 5. Свойства разностного оператора.
Пусть у(х) — сеточная функция, заданная на сетке «лл = елл((') и равная нулю на границе (л сетки, и пусть 1) — множество сеточо ных функций у. Определим оператор А следующим образом: о л Ау=- — Лу- — у- --у- для всех уен(), (13) хлтл лал' где П вЂ” пространство сеточных функций, заданных во внутренних узлах сетки ыл п совпадающих там с у, а у(т) р(х) при хан елл. Обозначая )л(1 '*а) ~р *1+ ', а прн х,=(,— Ь„О<х,<1„ 1 )л(0, х ) у- ~+ —,', х,=)лн О<ха<1„ 1 9 1.
РАзностные схемы для уРАвнения пуассонА Ерз Е( ',) о (х , О) Ч» = ~ + ', О < х, < )„х2 = Ь, »2 2 ф(х) =)(х) в остальных точках х»на»1, запишем разностную схему (4), (5) в операторном виде: А»р = »р, у, ф ж Н, (14) где Н= 1). Введем в Н скалярное произведение А1-1 А2-1 (у, п) = ~ ~~~~ у (11, 12) 1'(1 1, 12) Ь,Ь2 и» вЂ” — 1 и покажем, что оператор Л самосопрян1ев.
Представим А о в виде сув»мы А Л»+Ам где Л»у = — у-„„, Л,у =— н покажем, что каждый из 2одномерпых» операххх»' торов А, и А, является самосопряжепным. Достаточно показать зто для оператора А,. Рассмотрим скалярное произведение Яз-1 , Л,-1 (А,у, о) =- — Х )12~ Х у-„„((„12)г(1„12)Ь, .
(15) 12=1»1 — — 1 1 1 Воспользуемся одномерной формулой Грина (гл, 1, з 4): И,-1 А»1-1 О * а о хо ух о (1~ 12) (1» 12)Ь1 хо у(11~ 12) Р' х (»о»2)Ь», х»х1 о:»х» Подставляя зто выражение в (15), получаем »22-1 К;1 о о (А,у, г) = — х~з Ь, Д у (1„1Д»»- (»'„12) Ь, =(у, А,г). х»х» Аналогично убеждаемся в том, что Л2 =-4„и, следова- тельно, (Лу, о) ИА, + А,)у, о) = (А,у, о) + (А,о, у)— (у, А»и)+(у, Л,ь) (у, Ао), т, г, Л"=Л, 2(6 ГЛ.
тг. ЗЛЛИПТИа!ЕСКИЕ УРАВНЕКИЯ Если воспольаозаться первой разностной формулой Грина И,— 1 а Ух 2 (1' 2)У(1' 2) 1 ~~ (,Зй "1 "1 .1 то получим — И1 (А,у, у).=- ~ 1!2 ~ч~ ~(у- (1„!2))26 ) О, 11=1 11=1 ! где ,! аз Л, = —, соз —,'. 2 ! А2 2! 1 4 лl!! 6 = —,з!и' —. 2 2! Ьз Суммируя зти перавонства по !1=1, 2, ..., Уа — 1, получим 6,(у, у) < (А,у, у) ( Л,(у, у). Аналогично находим 6,(у, у) ~ (Аау, у) < Л,(у, у), где 4 . 2з!2 4 6,:=- — „з)п' —,', Л2 =-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
